Distribuție discretă

Funcția de masă a probabilității (PMF) p (s) specifică distribuția probabilității pentru suma S a numărărilor de la doi zaruri.

În teoria probabilității, o distribuție discretă este o distribuție de probabilitate definită pe un set discret S. În special, acest set poate fi finit sau numărabil (elementele sale pot fi listate prin numere naturale : $S=\{s_{0},s_{1},s_{2},...\}$ ${\ displaystyle S = \ {s_ {0}, s_ {1}, s_ {2}, ... \}}$ $S = \ {s_ {0}, s_ {1}, s_ {2}, ... \}$ ).

O variabilă aleatorie (sau stocastică , sau aleatorie din engleza random ) este discretă dacă urmează o distribuție discretă de probabilitate.

Dacă mulțimea S este conținută în numere reale , putem defini funcția de distribuție a distribuției, care își asumă valori pe S ; dacă este reprezentată pe toate numerele reale, atunci capătă forma unei funcții de pas , constantă la intervale pe jumătate deschise $[s_{n},s_{n+1}[$ ${\ displaystyle [s_ {n}, s_ {n + 1} [}$ $[s_ {n}, s _ {{n + 1}} [$ .

Exemple

Distribuțiile de probabilitate discrete particulare sunt:

distribuția uniformă discretă ,
distribuția binomială ,
distribuția Bernoulli ,
distribuția Poisson (sau evenimente rare ),
distribuția geometrică ,
distribuția Pascal ,
distribuția hipergeometrică ,
distribuția Wilcoxon ,
distribuția Benford (sau prima cifră ),
distribuirea testului Kolmogorov-Smirnov ,
distribuția Spearman ,
distribuția lui Rademacher
distribuția binomială negativă

Un caz special este distribuția degenerată pe un singur element: $S=\{s\}$ ${\ displaystyle S = \ {s \}}$ $S = \ {s \}$ Și $P(s)=1$ ${\ displaystyle P (s) = 1}$ $P (s) = 1$ .

Distribuțiile multidimensionale ( multivariate ) pot fi, de asemenea, discrete, cum ar fi distribuția multinomială .

Tabelul distribuțiilor discrete comune

Tabelul următor rezumă proprietățile celor mai frecvente distribuții discrete, la care ne referim $\mathbb {N} ^{+}:=\{1,2,\ldots \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}: = \ {1,2, \ ldots \}}$ ${\ mathbb {N}} ^ {+}: = \ {1,2, \ ldots \}$ Și $\mathbb {N} :=\mathbb {N} ^{+}\cup \{0\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}: = \ mathbb {N} ^ {+} \ cup \ {0 \}}$ ${\ mathbb {N}}: = {\ mathbb {N}} ^ {+} \ cup \ {0 \}$

Distribuție	Parametrii	A sustine	Funcția de probabilitate	Valorea estimata	Varianța
Bernoulli	$p\in [0,1]$ ${\ displaystyle p \ in [0,1]}$ $p \ in [0,1]$	$\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$ $\ {0,1 \}$	$P(0)=1-p,\;P(1)=p$ ${\ displaystyle P (0) = 1-p, \; P (1) = p}$ $P (0) = 1-p, \; P (1) = p$	$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$	$p(1-p)$ ${\ displaystyle p (1-p)}$ $p (1-p)$
Uniformă	$n\in \mathbb {N} ^{+}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {+}}$ $n \ in {\ mathbb {N}} ^ {+}$	$\{1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}}$ $\ {1,2, \ ldots, n \}$	$P(k)={\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle P (k) = {\ frac {1} {n}}}$ $P (k) = {\ frac 1 {n}}$	$(n+1)/2$ ${\ displaystyle (n + 1) / 2}$ $(n + 1) / 2$	${\frac {n^{2}-1}{12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {12}}}$ ${\ frac {n ^ {2} -1} {12}}$
Geometric	$p\in \;]0,1[$ ${\ displaystyle p \ in \;] 0.1 [}$ $p \ in \;] 0,1 [$	$\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$	$P(k)=p(1-p)^{k-1}$ ${\ displaystyle P (k) = p (1-p) ^ {k-1}}$ ${\ displaystyle P (k) = p (1-p) ^ {k-1}}$	${\frac {1}{p}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}}}$	${\frac {1-p}{p^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1-p} {p ^ {2}}}}$ ${\ frac {1-p} {p ^ {2}}}$
Binom	$p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle p \ in [0,1], \; n \ in \ mathbb {N}}$ $p \ in [0,1], \; n \ in {\ mathbb {N}}$	$\{0,1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, n \}}$ $\ {0,1, \ ldots, n \}$	$P(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ${\ displaystyle P (k) = {\ binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {nk}}$ $P (k) = {\ binom {n} {k}} p ^ {k} (1-p) ^ {{n-k}}$	$n p$ ${\ displaystyle np}$ $np$	$np(1-p)$ ${\ displaystyle np (1-p)}$ $np (1-p)$
de Pascal	$p\in [0,1],\;n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle p \ in [0,1], \; n \ in \ mathbb {N}}$ $p \ in [0,1], \; n \ in {\ mathbb {N}}$	$\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$	$P(k)={\binom {-n}{k}}p^{k}(p-1)^{n-k}$ ${\ displaystyle P (k) = {\ binom {-n} {k}} p ^ {k} (p-1) ^ {nk}}$ $P (k) = {\ binom {-n} {k}} p ^ {k} (p-1) ^ {{n-k}}$	$n\left({\frac {1}{p}}-1\right)$ ${\ displaystyle n \ left ({\ frac {1} {p}} - 1 \ right)}$ $n \ left ({\ frac 1 {p}} - 1 \ right)$	$n\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{p}}\right)$ ${\ displaystyle n \ left ({\ frac {1} {p ^ {2}}} - {\ frac {1} {p}} \ right)}$ $n \ left ({\ frac 1 {p ^ {2}}} - {\ frac 1 {p}} \ right)$
Hipergeometric	$n\in \mathbb {N} ,\;r,h\in \{0,1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}, \; r, h \ in \ {0,1, \ ldots, n \}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}, \; r, h \ in \ {0,1, \ ldots, n \}$	$\{0,1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle \ {0,1, \ ldots, n \}}$ $\ {0,1, \ ldots, n \}$	$P(k)={\frac {{\binom {h}{k}}{\binom {n-h}{r-k}}}{\binom {n}{r}}}$ ${\ displaystyle P (k) = {\ frac {{\ binom {h} {k}} {\ binom {nh} {rk}}} {\ binom {n} {r}}}}$ $P (k) = {\ frac {{\ binom {h} {k}} {\ binom {n-h} {r-k}}} {{\ binom {n} {r}}}}$	${\frac {rh}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {rh} {n}}}$ ${\ frac {rh} {n}}$	${\frac {r(n-r)h(n-h)}{n^{2}(n-1)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {r (nr) h (nh)} {n ^ {2} (n-1)}}}$ ${\ frac {r (n-r) h (n-h)} {n ^ {2} (n-1)}}$