Varietate (geometrie)

Local, suprafața pământului seamănă cu un plan și, din acest motiv, este o varietate de dimensiuni 2. Cu toate acestea, această similitudine nu păstrează distanța dintre puncte, deoarece sfera are o curbură diferită. Curbura afectează suma unghiurilor interne ale unui triunghi: în plan această sumă este întotdeauna 180 °, în timp ce pe o sferă este întotdeauna mai mare. De exemplu, suma unghiurilor interne ale triunghiului din figură este de 230 °. Figura din dreapta jos este un triunghi în sens euclidian, dar nu în ceea ce privește geometria sferei, deoarece laturile acesteia nu reprezintă geodezica sferei.

În geometrie , o varietate este un spațiu topologic similar local cu un spațiu topologic bine cunoscut (de exemplu, spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional), dar care la nivel global poate avea proprietăți geometrice diferite (de exemplu poate fi „curbat” spre deosebire de spațiul euclidian).

Soiurile similare local cu linia se numesc curbe , în timp ce cele similare local cu planul se numesc suprafețe . Soiurile sunt utilizate în multe ramuri ale matematicii, cum ar fi topologia , analiza reală , analiza complexă , algebra și geometria algebrică . Soiurile găsesc aplicații în grafica computerizată și sunt adesea întâlnite în fizică, cum ar fi în mecanica lagrangiană , mecanica cuantică , relativitatea generală și teoria șirurilor .

Structuri pe soiuri

În cazul mai general, un soi este definit doar cu o structură a spațiului topologic , iar în acest caz este specificat folosind termenul de soi topologic . Cu toate acestea, cel al varietății este un concept suficient de simplu pentru a se putea adapta la diferite contexte, deoarece este posibil să se definească alte structuri pe același soi. De exemplu, în contextul geometriei diferențiale puteți fi definit pe o varietate topologică o structură diferențiată, pentru a obține ceea ce se numește o varietate diferențiată . În mod similar, în alte domenii definim varietățile Riemanniene , varietățile complexe , varietățile simplectice și varietățile Kähleriene . Un caz oarecum diferit este cel al soiurilor algebrice : un soi algebric nu este un soi topologic în sensul pe care urmează să-l definim, deoarece soiurile algebrice nu sunt spații Hausdorff .

Soi topologic

Circumferința este o varietate topologică de dimensiune 1. Aici este descris un atlas cu patru hărți: fiecare este un homeomorfism între un interval deschis și un interval deschis de

\mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Conceptul de varietate topologică consideră un spațiu doar din punct de vedere topologic . Prin urmare, în definiția unui anumit soi topologic, sunt luate în considerare doar proprietățile „de bază” ale formei spațiului respectiv, cum ar fi conexiunea , compactitatea , orientabilitatea sau „ numărul de găuri ”.

Definiție

O varietate topologică $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un Hausdorff topologic și al doilea spațiu numărabil în care fiecare punct are un vecinătate homeomorfă deschisă față de spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ . Numarul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este mărimea soiului. ^[1]

O varietate de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este adesea numit pe scurt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -variitate . Curbele sunt definite $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ - soiuri și suprafețe $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ -varietate.

În definiție poate fi necesar, în mod echivalent, ca. $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ fie homeomorf local la un set deschis de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ . De sine $\varphi :U\rightarrow V$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ rightarrow V}$ ${\ displaystyle \ varphi: U \ rightarrow V}$ este un homeomorfism între o deschidere de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și o deschidere de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ , apoi cuplul $(U,\varphi )$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ ${\ displaystyle (U, \ varphi)}$ se numește card . Astfel, dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate topologică, apoi există o familie de cărți ${\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ în A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} = \ {(U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha}) \} _ {\ alpha \ în A}}$ acea acoperire $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , sau astfel încât

$X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ ${\ displaystyle X = \ bigcup _ {\ alpha \ în A} U _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle X = \ bigcup _ {\ alpha \ în A} U _ {\ alpha}}$

O astfel de familie de cărți se numește atlas . Numele „hartă” și „atlas” sunt alese în analogie cu cartografia . De fapt, suprafața Pământului nu poate fi descrisă în întregime pe o foaie (în sensul că nu este homeomorfă pentru o deschidere $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ ), totuși este posibil să o descriem „în bucăți” printr-un anumit număr de hărți geografice: de exemplu, cu două hărți care descriu emisferele nordice și sudice . De sine $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ ${\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha})}$ ${\ displaystyle (U _ {\ alpha}, \ varphi _ {\ alpha})}$ Și $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ ${\ displaystyle (U _ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})}$ ${\ displaystyle (U _ {\ beta}, \ varphi _ {\ beta})}$ sunt două cărți astfel încât $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \emptyset$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ neq \ emptyset}$ ${\ displaystyle U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} \ neq \ emptyset}$ , apoi harta

${\begin{matrix}\varphi _{\alpha }^{\beta }:&\varphi _{\beta }{\big (}U_{\alpha }\cap U_{\beta }{\big )}&\longrightarrow &\varphi _{\alpha }{\big (}U_{\alpha }\cap U_{\beta }{\big )}\\&x&\longmapsto &\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}(x)\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ varphi _ {\ alpha} ^ {\ beta}: & \ varphi _ {\ beta} {\ big (} U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} { \ big)} & \ longrightarrow & \ varphi _ {\ alpha} {\ big (} U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} {\ big)} \\ & x & \ longmapsto & \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1} (x) \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ varphi _ {\ alpha} ^ {\ beta}: & \ varphi _ {\ beta} {\ big (} U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} { \ big)} & \ longrightarrow & \ varphi _ {\ alpha} {\ big (} U _ {\ alpha} \ cap U _ {\ beta} {\ big)} \\ & x & \ longmapsto & \ varphi _ {\ alpha} \ circ \ varphi _ {\ beta} ^ {- 1} (x) \ end {matrix}}}$

se numește funcția de tranziție . Funcțiile de tranziție sunt homeomorfisme.

Alegerea unui atlas și, prin urmare, a funcțiilor de tranziție, joacă un rol decisiv în definirea unei varietăți. De fapt, funcțiile de tranziție permit definirea unor structuri suplimentare, cum ar fi cea diferențiată, pe o varietate topologică.

Exemple

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ este, desigur, una $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -varietate.

De sine $g:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {n} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ , cu $n\leq m$ ${\ displaystyle n \ leq m}$ ${\ displaystyle n \ leq m}$ , este un homeomorfism local (de exemplu dacă este diferențiat și cu un determinant iacobian niciodată zero), atunci graficul său $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ e o $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -varietate. De fapt cărțile locale ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt inversul local al $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , în timp ce condițiile de a fi ale lui Hausdorff și al doilea numărabil sunt satisfăcute în acest sens $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un subspatiu al $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ . O astfel de varietate se numește varietate grafică.

Fiecare emisferă a sferei este conținută într-o carte.

Sfera $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional

S^{n}={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}:x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1{\big \}}

{\ displaystyle S ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1 {\ big \}}}

{\ displaystyle S ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1}: x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1 {\ big \}}}

este o varietate de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Pentru a demonstra acest lucru, trebuie doar să te uiți la proiecții

$\varphi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{n+1})$ ${\ displaystyle \ varphi _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {i-1}, x_ {i + 1}, \ ldots, x_ {n + 1})}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {i} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) = (x_ {1}, \ ldots, x_ {i-1}, x_ {i + 1}, \ ldots, x_ {n + 1})}$

induce homeomorfisme între emisferele din $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ (adică intersecția dintre $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ cu o jumătate de spațiu de tipul $\{x_{i}>0\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i}> 0 \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i}> 0 \}}$ sau $\{x_{i}<0\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} <0 \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {i} <0 \}}$ ), și mingea deschisă a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ cu originea centrului și raza $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Deci sfera este una $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -variantă, deoarece este local o varietate de tip de diagramă de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Un alt atlas al $S^{n}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ ${\ displaystyle S ^ {n}}$ dacă se folosesc proiecții stereografice în locul proiecțiilor canonice.

Clasificare cu dimensiuni reduse

Topologia cu dimensiuni reduse este ramura topologiei care studiază varietăți de dimensiuni până la 4.

În studiul soiurilor, clasificarea soiurilor topologice își asumă un rol cardinal. Clasificarea soiurilor topologice se efectuează fără homeomorfisme . De fapt, la fel ca în geometria euclidiană două obiecte sunt considerate echivalente dacă sunt egale cu mai puțin decât o izometrie (chiar și intuitiv, două sfere cu centre diferite, dar aceeași rază sunt considerate echivalente, deoarece sunt egale cu mai puțin decât o traducere), deci topologic soiuri sunt considerate până la homeomorfisme.

Prin urmare, observăm că fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -variația este unirea disjunctă a componentelor sale conectate, care sunt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -varianta la randul ei.

După această premisă, susținem că există practic doar două varietăți topologice de dimensiune $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ : circumferinta $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ și linia dreaptă $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$ . Orice altă curbă conectată este de fapt homeomorfă pentru una dintre aceste două.

Soiuri de mărime $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ sunt mai variate: printre acestea găsim sfera $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ , torul , banda Möbius și sticla Klein .

Mai mult, suprafețele sunt infinite: i $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ -magazin, adică taurii cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ găuri, sunt suprafețe distincte topologic ca $g\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle g \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle g \ in \ mathbb {N}}$ .

3-colectoare nu sunt vizualizate cu ușurință, iar studiul lor este o ramură importantă a topologiei. Conjectura lui Poincaré , demonstrată în 2003 de Grigori Perelman , a fost o problemă importantă nerezolvată de mai bine de un secol, cu privire exact la acest domeniu.

O varietate de dimensiuni $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ este un obiect și mai dificil de vizualizat. Studiul varietăților cu patru dimensiuni este un punct central al matematicii moderne, cu numeroase legături cu fizica teoretică : relativitatea generală descrie spațiu-timp ca o $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ -varietate.

Sticla Klein : fiecare „pătrat” este conținut în

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ mathbb {R} ^ {3}

, dar sticla Klein nu este un subspatiu al

\mathbb {R} ^{3}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

\ mathbb {R} ^ {3}

pe măsură ce se intersectează.

Soiuri scufundate

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ o varietate topologică de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Se spune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este cufundat în $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ , cu $n\leq m$ ${\ displaystyle n \ leq m}$ ${\ displaystyle n \ leq m}$ , de sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un subspatiu al $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ . O 'scufundare (în engleză, încorporare) a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ este o incluziune topologică $f:X\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f: X \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f: X \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ , care este o hartă continuă și injectivă care induce un homeomorfism cu imaginea $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ . Un exemplu de varietate imersată este cel al sferei $S^{2}$ ${\ displaystyle S ^ {2}}$ $S ^ {2}$ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ . Nu este adevărat că toate suprafețele se pot cufunda în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ . Sticla Klein ${\mathbb {K} ^{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ este un exemplu: deși se poate scufunda local $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ , nu este realizabil „global” ca subspatiu al $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ evitarea „intersecțiilor de sine”, adică păstrarea injectabilității scufundării.

${\mathbb {K} ^{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ în schimb, este „realizabil” în spațiul cu patru dimensiuni $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ , adică există o imersiune $f\colon {\mathbb {K} ^{1}}\to \mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle f \ colon {\ mathbb {K} ^ {1}} \ to \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle f \ colon {\ mathbb {K} ^ {1}} \ to \ mathbb {R} ^ {4}}$ .

În cazul în care ${\mathbb {K} ^{1}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbb {K} ^ {1}}}$ este considerat ca o varietate diferențiată, apoi este obișnuit să se ia în considerare o definiție diferită a "imersiunii", sau aceea a imersiei diferențiabile . O imersie injectabilă diferențiată este, de asemenea, o incluziune topologică în sensul descris mai sus. Imaginea sticlei Klein din figură arată o imersiune diferențiată a $\mathbb {K} ^{1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {1}}$ în $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ . Mai general, datorită teoremei lui Whitney știm că fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -soiul diferențiat admite o imersiune diferențiată în $\mathbb {R} ^{2n-1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n-1}}$ și o imersiune injectabilă diferențiată în $\mathbb {R} ^{2n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ .

Soi diferențiat

Același subiect în detaliu: varietate diferențiată .

O varietate topologică $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate diferențiată dacă funcțiile sale de tranziție sunt diferențiate . Astfel de funcții de tranziție sunt de obicei înțelese ca clase $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ , și pentru aceasta se mai spune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate netedă . În special, din definiție rezultă că funcțiile de tranziție sunt difeomorfisme netede.

Solicitarea diferențierii funcțiilor de tranziție permite definirea conceptelor de spațiu tangent , funcție diferențiată , câmp vectorial și formă diferențială , precum și utilizarea altor instrumente tipice calculului infinitesimal .

În cazul în care funcțiile de tranziție sunt de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ , cu $k\geq 1$ ${\ displaystyle k \ geq 1}$ $k \ geq 1$ , atunci se spune că $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate diferențiată de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ . Dacă, pe de altă parte, funcțiile de tranziție sunt analitice , atunci spunem asta $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o varietate analitică .

Soi complex

O varietate complexă de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este o varietate topologică de dimensiune $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ ale cărei funcții de tranziție , văzute ca hărți între seturi deschise de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ prin identificarea naturală a $\mathbb {R} ^{2n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}$ cu $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ , sunt holomorfe .

Un soi complex este un soi topologic pe care este posibil să se utilizeze instrumentele de analiză complexă: soiurile complexe sunt analogul complex al soiurilor diferențiate.

Deoarece funcțiile holomorfe sunt diferențiate, o varietate complexă are, de asemenea, o structură diferențiată a varietății sau mai specific o structură analitică a varietății.

Soiuri complexe de dimensiune (complexă) $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ se numesc suprafețe Riemann .

Soi algebric

Același subiect în detaliu: varietate algebrică .

Un soi algebric este definit cu tehnici diferite de cele utilizate pentru soiuri topologice, diferențiabile sau complexe. ^[2]

O varietate algebrică este un obiect care este definit local ca setul de zerouri ale unuia sau mai multor polinomii cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile în $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ , unde este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp fix, cum ar fi câmpul numerelor reale sau complexe . Cele mai simple exemple de varietăți algebrice sunt varietăți afine și varietăți proiective .

Soiuri înrudite în

\mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\ mathbb {R} ^ {2}

definit de niște polinoame simple în două variabile: două cercuri , o parabolă , o hiperbolă , un cub (definit printr-o ecuație de gradul III).

Varietate afină

Același subiect în detaliu: varietate afină .

O varietate afină este un subset $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ care este locusul zerourilor unui set $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ de polinoame în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ variabile. Cu alte cuvinte, $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este setul de puncte pe care se anulează toate polinoamele din același timp $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , acesta este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este ansamblul soluțiilor unui sistem de ecuații polinomiale. Este indicat în general $V=V(S)$ ${\ displaystyle V = V (S)}$ ${\ displaystyle V = V (S)}$ pentru a sublinia dependența de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din ansamblu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

Polinoamele din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu trebuie neapărat să fie finite. De sine $I(S)$ ${\ displaystyle I (S)}$ ${\ displaystyle I (S)}$ este idealul generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , se pare ca $V(S)=V(I(S))$ ${\ displaystyle V (S) = V (I (S))}$ ${\ displaystyle V (S) = V (I (S))}$ : prin urmare, fiecare varietate este în adevăr locusul zerourilor unui ideal de polinoame. Importanța idealurilor în teoria inelelor derivă din acest fapt.

Soi proiectiv

Același subiect în detaliu: varietate proiectivă .

Un distribuitor proiector este un subset $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a spațiului proiectiv $P^{n}(K)$ ${\ displaystyle P ^ {n} (K)}$ ${\ displaystyle P ^ {n} (K)}$ , definit analog cu varietatea afină ca locusul zerourilor unei mulțimi $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ de polinoame. Singura diferență cu cazul afin este că astfel de polinoame au $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ variabile și, deoarece coordonatele omogene ale unui punct din spațiul proiectiv sunt definite până la o constantă multiplicativă, ele trebuie să fie omogene pentru ca ecuațiile să aibă sens.

Soi Riemannian

Același subiect în detaliu: soiul Riemannian .

Un triunghi într-o varietate cu curbură negativă: suma unghiurilor interne este mai mică de 180 °

Un soi Riemannian $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o varietate diferențiată în care spațiul tangent la $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ intr-un loc $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ are un produs dot $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ care variază ușor ca $p\in M$ ${\ displaystyle p \ în M}$ ${\ displaystyle p \ în M}$ . Acest produs scalar se numește metrica Riemanniană . În mod similar cu ceea ce se întâmplă pentru spațiile euclidiene , prezența acestei valori ne permite să vorbim despre distanța dintre puncte, lungimile curbelor, unghiurile și volumele (sau ariile din dimensiune) $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ).

O varietate Riemanniană este un exemplu particular de spațiu metric , a cărui metrică este puternic caracterizată de geodezie . O geodezică este o curbă care realizează local distanța dintre două puncte. Prin urmare, toate entitățile geometrice clasice ale geometriei euclidiene sunt prezente pe o varietate riemanniană, deși caracteristicile lor pot diferi enorm de cele ale entităților obișnuite ale spațiului euclidian. De exemplu, postulatul V al lui Euclid sau celelalte axiome ale lui Hilbert s- ar putea să nu fie valabile . Local, această geometrie diferită afectează curbura varietății Riemanniene.

Exemple de varietăți Riemanniene sunt submanifertele diferențiabile ale spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ . Sfera $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional in $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ este un exemplu fundamental al unei varietăți riemanniene cu curbură pozitivă. Pe de altă parte, spațiul euclidian are o curbură zero. Un exemplu important de varietate Riemanniană cu curbură negativă este discul Poincaré : este bila obișnuită din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ a razei unitare, pe care totuși este definită o metrică diferită de cea euclidiană.

Originea termenului

Același subiect în detaliu: Număr adjectiv § Etimologie și paralele .

Cuvântul varietate este traducerea italiană a termenului german Mannigfaltigkeit , care apare pentru prima dată în teza de doctorat a lui Bernhard Riemann din 1851 , Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse . În teza sa Riemann pune problema introducerii „multiplicării mărimilor extinse”, adică având „mai multe dimensiuni” și le definește folosind acel termen.

Analizând cuvântul descompunându-l ca Mannig-faltig-keit , recunoaștem o paralelă cu termenul latin multi-plic-itas , astfel încât să poată fi tradus literal prin „multiplicitate”.

Notă

^ Kosniowski, C. , p. 75 .
^ În engleză, termenul de varietate algebrică se traduce ca varietate algebrică . Utilizarea varietății în locul varietății subliniază diversitatea sa față de soiurile topologice, diferențiate sau complexe.

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) RW Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
( EN ) FW Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Group , Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Variety , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85080549 · GND (DE) 4037379-4 · BNF (FR) cb119446082 (data) · NDL (EN, JA) 00.57274 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Kosniowski, C. , p. 75 .

[2] În engleză, termenul de varietate algebrică se traduce ca varietate algebrică . Utilizarea varietății în locul varietății subliniază diversitatea sa față de soiurile topologice, diferențiate sau complexe.

[1]

[2]