Soi cu margine

În geometrie , o varietate mărginită este un spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional local similar cu spațiul euclidian și având o „margine”. Un exemplu este un cerc în plan: are dimensiunea 2, iar muchia sa este o circumferință .

Colectorii cu margini sunt un instrument important în topologie și geometrie diferențială .

Definiție

Un colector de margine este în primul rând un spațiu topologic . Aceasta poate fi, de asemenea, echipată cu alte structuri, cum ar fi, de exemplu, o structură diferențiată. Cele două definiții topologice și diferențiate extind conceptele de varietate topologică și varietate diferențiată : soiurile cu limite topologice și diferențiale diferă de acestea din urmă doar pentru că includ posibilitatea că există într-adevăr „puncte de margine”.

Spațiul topologic

Definiție

O varietate topologică cu margine de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un spațiu topologic $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în care fiecare punct are un cartier deschis homeomorf până la o deschidere a jumătății spațiului

S={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}\geqslant 0{\big \}}.

{\ displaystyle S = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} \ geqslant 0 {\ big \}}.}

{\ displaystyle S = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} \ geqslant 0 {\ big \}}.}

Puncte interne și de margine

Jumătatea-spațiu este delimitată de marginea sa, dată de hiperplan

\partial S={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}=0{\big \}}

{\ displaystyle \ partial S = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} = 0 {\ big \}}}

{\ displaystyle \ partial S = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} = 0 {\ big \}}}

descris de ecuație $x_{1}=0$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ . Pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ există un mediu deschis $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ și un homeomorfism

\phi :U(x)\to V\subset S

{\ displaystyle \ phi: U (x) \ to V \ subset S}

{\ displaystyle \ phi: U (x) \ to V \ subset S}

la valori într-un set deschis $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Imaginea $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi un punct de margine $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ ${\ displaystyle \ partial S}$ sau un punct interior la $S\setminus \partial S$ ${\ displaystyle S \ setminus \ partial S}$ ${\ displaystyle S \ setminus \ partial S}$ . În primul caz, punctul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ se numește punct de margine , altfel se numește interior în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ ^[1] .

Setul tuturor punctelor de margine ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este hotarul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ și este indicat cu $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ . Celelalte puncte ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt punctele interne ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Structură diferențiată

O varietate diferențiată cu margine de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un spațiu topologic având un atlas în jumătate de spațiu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ unde hărțile de tranziție sunt funcții diferențiate . Definiția este deci analogă cu cea a varietății diferențiabile : singura diferență constă în luarea $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ în locul întregului spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

O varietate diferențiată cu graniță $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în special, este o varietate topologică cu o margine: prin urmare, o margine este, de asemenea, bine definită în acest caz $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ .

Soiuri închise

O varietate topologică (sau diferențiată ) $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este o varietate topologică particulară (sau diferențiată) cu margine, a cărei margine $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ ${\ displaystyle \ partial V}$ cu toate acestea, este gol. Conceptul de varietate mărginită îl extinde astfel pe cel al varietății.

În multe contexte, „varietate” înseamnă pe scurt o varietate cu chenar. Prin urmare, termenul de varietate închisă este folosit pentru a defini un soi fără margine, care este și compact .

Marginea

Marginea $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ de o varietate de dimensiuni $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este, de asemenea, o varietate, de dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ și fără graniță. De fapt, fiecare punct al $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ are în jur $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ homeomorf la un hiperplan deschis $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ , care este la rândul său homeomorf $\mathbb {R} ^{n-1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$ .

Prin urmare, poate fi scris, pentru fiecare soi cu chenar $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ :

\partial \partial V=\emptyset .

{\ displaystyle \ partial \ partial V = \ emptyset.}

{\ displaystyle \ partial \ partial V = \ emptyset.}

Marginea $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ este, de asemenea, un subgrup închis de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (atâta timp cât $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ este închis în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ). Dacă soiul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este compact , marginea $\partial V$ ${\ displaystyle \ partial V}$ $\ parțial V$ prin urmare, este și compact; rezultă că este format dintr-un număr finit de componente conectate .

Exemple

Un corp cu două mânere de gen .

Multe exemple de soiuri mărginite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ poate fi descris ca subseturi de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

În plan

Un cerc și o coroană circulară sunt două exemple de 2-manifolduri (adică suprafețe ) cu margine. Granița este formată din unul și, respectiv, două cercuri.

În spațiul tridimensional

Un corp cu mânere este o varietate tivită conținută în spațiul tridimensional. Marginea sa este o suprafață, al cărei sex este egal cu „numărul de găuri” din corp.

În spațiul euclidian

Mingea s-a închis $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

D^{n}={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}\leqslant 1{\big \}}

{\ displaystyle D ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1 } ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2} \ leqslant 1 {\ big \}}}

{\ displaystyle D ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1 } ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2} \ leqslant 1 {\ big \}}}

este un soi tivit $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Marginea

\partial D^{n}={\big \{}(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}=1{\big \}}

{\ displaystyle \ partial D ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2} = 1 {\ big \}}}

{\ displaystyle \ partial D ^ {n} = {\ big \ {} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n} ^ {2} = 1 {\ big \}}}

este o sferă de dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , indicat în general cu $S^{n-1}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ .

Suprafețe în spațiu

Un cilindru în spațiu (doar peretele lateral este prezent)

Multe suprafețe din spațiul tridimensional sunt varietăți la bord. Dintre acestea, cilindrul și banda Möbius prezentate în figură.

O bandă Mobius conținută în spațiu.

Marginea cilindrului este formată din două cercuri (la cele două baze), în timp ce marginea benzii Möbius este formată dintr-o singură circumferință. Banda Möbius poate fi realizată în spațiu, dar nu ca subset al planului.

Orice suprafață compactă cu margine poate fi de fapt trasă în spațiu; totuși, acest lucru nu este valabil pentru suprafețele fără margini: sticla Klein este o suprafață (fără margine) care are nevoie de 4 dimensiuni pentru a fi reprezentată.

Notă

^ Definiția este bine pusă, deoarece nu depinde de fapt de alegerea mediului înconjurător $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ și homeomorfism $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ . Acest lucru provine din faptul că punctele din $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ sunt „inerent diferite” de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ : demonstrarea acestui fapt nu este însă evidentă și necesită câteva instrumente tipice topologiei algebrice .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului « Varietate cu margine »

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Definiția este bine pusă, deoarece nu depinde de fapt de alegerea mediului înconjurător $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ și homeomorfism $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ . Acest lucru provine din faptul că punctele din $\partial S$ ${\ displaystyle \ partial S}$ $\ partial S.$ sunt „inerent diferite” de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ : demonstrarea acestui fapt nu este însă evidentă și necesită câteva instrumente tipice topologiei algebrice .

[1]