Soi diferențiat

În matematică și în special în geometria diferențială , noțiunea de varietate diferențiată este o generalizare a conceptului de curbă și suprafață diferențiată în dimensiune arbitrară. Este o realizare a conceptului de varietate care folosește instrumentele de calcul infinitesimal .

Introducere

Așa cum o curbă diferențiată este un obiect care seamănă local cu o linie dreaptă sau o suprafață diferențiată care seamănă local cu un plan , o varietate $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională seamănă local cu spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Adjectivul „diferențiat” indică faptul că această „similitudine” locală este definită prin intermediul parametrizărilor cu o structură diferențiată care va fi descrisă mai târziu și care garantează posibilitatea asocierii în mod unic a unui „ spațiu tangent ” de aceeași dimensiune ca și varietatea din fiecare punct. (cum ar fi o linie tangentă la o curbă sau un plan tangent la o suprafață).

Multiple diferențioase sunt elementele de bază ale geometriei diferențiale , punct de întâlnire de analiză și topologie. În esență, teoria varietăților diferențiate servește la transferul conceptelor și instrumentelor de calcul diferențial, definite în general pe spații euclidiene, pe obiecte descrise de obicei ca spații topologice . Studiul diferitelor varietăți este fundamental în fizică, deoarece permite definirea câmpurilor vectoriale și a fluxurilor de fază pe spații care nu sunt neapărat plane. De asemenea, găsește nenumărate aplicații în matematica pură, datorită interconectărilor cu alte ramuri, cum ar fi topologia și teoria numerelor .

Definiție

Un colector topologic este un spațiu topologic Hausdorff complet separabil pentru care este posibil să se definească o suprapunere $W=\{W_{i}\}$ ${\ displaystyle W = \ {W_ {i} \}}$ $W = \ {W_ {i} \}$ constând din seturi deschise astfel încât fiecare deschidere să poată fi legată de o deschidere în spațiul euclidian printr-un homeomorfism $\varphi _{i}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {i}}$ $\ varphi _ {i}$ . Cuplul $(W_{i},\varphi _{i})$ ${\ displaystyle (W_ {i}, \ varphi _ {i})}$ ${\ displaystyle (W_ {i}, \ varphi _ {i})}$ se numește card local sau pur și simplu card . Ansamblul homeomorfismelor constituie atlasul . Compoziția funcțiilor constând dintr-o carte și funcția inversă a altei cărți se numește funcție de tranziție și, dacă avem de-a face cu funcții diferențiate, varietatea este diferențiată.

Fiecare set fiind deschis $W_{i}$ ${\ displaystyle W_ {i}}$ $W_ {i}$ izomorfă la un set deschis de $\mathbb {R} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ , toate teoremele locale ale calculului diferențial obișnuit pot fi extinse direct la varietăți.

Sub-soi

O sub-varietate diferențiată $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ într-o varietate diferențiată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este un subset care poate fi descris local ca zero dintr-o funcție diferențiată:

f\colon U\to \mathbb {R} ^{k},

{\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R} ^ {k},}

f \ colon U \ to \ mathbb {R} ^ {k},

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este o deschidere a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și al cărui diferențial (citit pe orice carte) este surjectiv peste tot. De fapt, este, de asemenea, o varietate diferențiată, având codimensiune $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ în $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ (adică dacă $\dim M=n$ ${\ displaystyle \ dim M = n}$ $\ dim M = n$ asa de $\dim N=n-k$ ${\ displaystyle \ dim N = nk}$ $\ dim N = n-k$ ). Ipoteza unui diferențial surjectiv este necesară pentru a obține efectiv o varietate diferențiată.

In caz $k=1$ ${\ displaystyle k = 1}$ $k = 1$ , colectorul se mai numește hipersuprafață , iar condiția diferențială este echivalentă cu cerința ca gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este (pe fiecare carte) oriunde altul decât zero.

În jurul tubular

Un rezultat important în ceea ce privește submanifoldurile este teorema vecinătății tubulare . Teorema afirmă că fiecare submanifold diferențiat $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ are un cartier făcut ca un tub, adică difeomorf la un pachet de discuri $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensional pe $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

Bibliografie

M. Abate, F. Tovena, Geometrie diferențială , Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5 .
G. Gentili, F. Podestà, E. Vesentini, Lecții de geometrie diferențială , Torino, Bollati Boringhieri , 1995, ISBN 978-88-339-5556-8 .
Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
( EN ) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Operatori naturali în geometrie diferențială ( PDF ), Springer-Verlag, 1993. Accesat la 5 iulie 2013 (arhivat din original la 30 martie 2017) .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Varietate diferențiată , în MathWorld , Wolfram Research.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 31544 · LCCN (EN) sh85037884 · BNF (FR) cb119667819 (data) · NDL (EN, JA) 00.560.654

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică