Soi pseudo-Riemannian

În matematică , în special în geometria diferențială , o varietate pseudo-Riemanniană este o varietate diferențiată cu un tensor metric cu care se definește un produs scalar nedegenerat pe spațiul tangent al fiecărui punct. Această noțiune o generalizează pe cea a varietății Riemanniene pentru care tensorul metric, pe lângă faptul că nu induce un produs scalar degenerat, trebuie să fie, de asemenea, astfel încât produsul rezultat să fie definit ca pozitiv .

Manifoldurile pseudo-riemanniene sunt utilizate în formularea relativității generale sub forma varietății lorentziene , care este o varietate pseudo-riemanniană al cărei tensor metric are semnătură $(n-1,1)$ ${\ displaystyle (n-1,1)}$ $(n-1.1)$ sau $(1,n-1)$ ${\ displaystyle (1, n-1)}$ $(1, n-1)$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mărimea soiului. În special, relativitatea generală modelează spațiul-timp ca o varietate lorentziană cu semnătură $(3,1)$ ${\ displaystyle (3,1)}$ $(3.1)$ sau $(1,3)$ ${\ displaystyle (1,3)}$ $(1.3)$ , în funcție de convenții, corespunzătoare a trei coordonate spațiale și una temporală.

Proprietate

Curbură

Noțiunile obișnuite de curbură definite pentru varietăți Riemanniene se extind la varietăți pseudo-Riemanniene. La fel ca în cazul Riemannian, de fapt, este definită o singură conexiune Levi-Civita care, prin urmare, ne permite să vorbim despre tensorii Riemann și Ricci , curbura scalară și curbura secțională .

Topologie

Fiecare varietate diferențiată admite diverse metrice riemanniene; cu toate acestea, este posibil să nu admită valori Lorentziene sau valori cu alte semnături. De fapt, nu este posibilă utilizarea unei partiții unitare pentru a construi metrici non-riemanniene.

Sub-varietate

Un submanifold diferențiat al unei varietăți pseudo-Riemanniene nu poate fi o varietate Riemanniană. Acest lucru se datorează faptului că restricția la un subspațiu vector al unui produs scalar nedegenerat poate fi degenerată. De exemplu, o curbă poate avea la un moment dat o tangentă izotropă .

Exemple

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ poate fi echipat cu un produs dot cu semnătură arbitrară $(k,n-k)$ ${\ displaystyle (k, nk)}$ $(k, n-k)$ . Rezultatul este o varietate pseudo-Riemanniană cu curbură zero. Spaţiu $\mathbb {R} ^{4}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ mathbb {R} ^ {4}$ cu semnătură $(3,1)$ ${\ displaystyle (3,1)}$ $(3.1)$ este spațiu-timp al lui Minkowski .

Bibliografie

IM Benn și RW Tucker, O introducere la spinori și geometrie cu aplicații în fizică , publicat pentru prima dată în 1987, Adam Hilger, 1987, ISBN 0-85274-169-3 .
Richard L. Bishop și Samuel I. Goldberg,Tensor Analysis on Manifolds , First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6 .
Bang-Yen Chen, Geometrie Pseudo-Riemanniană, [delta] -invariante și aplicații , World Scientific Publisher, 2011, ISBN 978-981-4329-63-7 .
G. Vrănceanu & R. Roșca (1976) Introduction to Relativity and Pseudo-Riemannian Geometry , București: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică