Soi Riemannian

Bernhard Riemann a introdus noțiunile de varietate și curbură a varietății în 1854 , în „Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen”, „Despre ipotezele care stau la baza geometriei”, publicat postum în 1867 .

În matematică , noțiunea de varietate riemanniană este centrală pentru geometria diferențială și este utilă pentru modelarea spațiilor „curbate” de dimensiuni arbitrare. O varietate Riemanniană este o varietate diferențiată pe care sunt definite noțiunile de distanță , lungime, geodezie , zonă (sau volum ), curbură . Acesta poartă numele matematicianului german Bernhard Riemann .

Definiție

Un soi Riemannian este un soi diferențiat $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ echipat cu un tensor metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ cu care să definim un produs scalar pozitiv definit pe spațiul tangent al fiecărui punct al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ . Soiul Riemannian este adesea menționat ca o pereche $(M,g)$ ${\ displaystyle (M, g)}$ $(M, g)$ .

Relaxând cerința ca tensorul metric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este întotdeauna definit pozitiv și impunător doar că nu este degenerat avem o varietate pseudo-riemanniană .

Noțiuni geometrice de bază

Datorită tensorului metric singur $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , este posibil să se definească pe o varietate riemanniană $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ numeroase noțiuni prezente în spațiul euclidian obișnuit. Toate aceste noțiuni depind în mare măsură de alegerea $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Unghiuri și module de vectori

Este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un punct de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ spațiul său tangent. Tensorul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ definește un produs punct pozitiv definit pe $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ , și, prin urmare, o noțiune de lungime și unghi între vectorii tangenți în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

În special, dacă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt două curbe diferențiate

\alpha ,\beta :(-1,1)\to M

{\ displaystyle \ alpha, \ beta: (- 1,1) \ to M}

\ alpha, \ beta: (- 1,1) \ to M

cu $\alpha (0)=\beta (0)=x$ ${\ displaystyle \ alpha (0) = \ beta (0) = x}$ $\ alpha (0) = \ beta (0) = x$ , vectorii lor tangenți $\alpha '(0)$ ${\ displaystyle \ alpha '(0)}$ $\ alpha '(0)$ Și $\beta '(0)$ ${\ displaystyle \ beta '(0)}$ $\ beta '(0)$ sunt elemente ale $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ și, prin urmare, modulul lor este definit $\|\alpha '(0)\|,\|\beta '(0)\|$ ${\ displaystyle \ | \ alpha '(0) \ |, \ | \ beta' (0) \ |}$ $\ | \ alpha '(0) \ |, \ | \ beta' (0) \ |$ ca

\|\alpha '(0)\|={\sqrt {g(\alpha '(0),\alpha '(0))}}

{\ displaystyle \ | \ alpha '(0) \ | = {\ sqrt {g (\ alpha' (0), \ alpha '(0))}}}

\ | \ alpha '(0) \ | = {\ sqrt {g (\ alpha' (0), \ alpha '(0))}}

și unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ între acestea (dacă ambele sunt nenule), prin relație

\theta =\arccos {\frac {g\left(\alpha '(0),\beta '(0)\right)}{\|\alpha '(0)\|\|\beta '(0)\|}}.

{\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ frac {g \ left (\ alpha '(0), \ beta' (0) \ right)} {\ | \ alpha '(0) \ | \ | \ beta' ( 0) \ |}}.}

\ theta = \ arccos {\ frac {g \ left (\ alpha '(0), \ beta' (0) \ right)} {\ | \ alpha '(0) \ | \ | \ beta' (0) \ |}}.

Lungimea unei curbe

\gamma (t)

{\ displaystyle \ gamma (t)}

\ gamma (t)

este definit prin integrarea lungimilor vectorilor tangenți la curbă de fiecare dată

t

{\ displaystyle t}

t

.

Lungimea $L(\gamma )$ ${\ displaystyle L (\ gamma)}$ $L (\ gamma)$ de o curbă diferențiată

\gamma :[a,b]\to M

{\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to M}

\ gamma: [a, b] \ to M

este deci definit de integral

L(\gamma )=\int _{a}^{b}\|\gamma '(t)\|dt

{\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ gamma '(t) \ | dt}

L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ | \ gamma '(t) \ | dt

Distanţă

Distanța $d(x,y)$ ${\ displaystyle d (x, y)}$ $d (x, y)$ între două puncte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este definit ca

d(x,y)=\inf\{L(\alpha )\}

{\ displaystyle d (x, y) = \ inf \ {L (\ alpha) \}}

d (x, y) = \ inf \ {L (\ alpha) \}

deoarece toate curbele diferențiate variază $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ care pleacă în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și ajunge în $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Distanta $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ definește pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ o structură a spațiului metric .

Geodezie

O geodezică este analogul unei linii drepte în spațiul (sau planul) euclidian obișnuit. Este o curbă diferențiată $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ care minimizează local lungimea. Mai exact, fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ în cadrul domeniului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ are înconjurător $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât distanța dintre $\alpha (t)$ ${\ displaystyle \ alpha (t)}$ $\ alfa (t)$ Și $\alpha (t')$ ${\ displaystyle \ alpha (t ')}$ $\ alfa (t ')$ este egală cu lungimea subarcului de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ care leagă cele două puncte, pentru fiecare $t^{'}$ ${\ displaystyle t '}$ $nu$ în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Volum

O varietate orientată $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ are o formă de volum $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ . Pe fiecare spațiu tangent $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ , este singurul tensor antisimetric de tip $(n,0)$ ${\ displaystyle (n, 0)}$ $(n, 0)$ asta merită

\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})=1

{\ displaystyle \ omega (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1}

\ omega (e_ {1}, \ ldots, e_ {n}) = 1

pe orice bază ortonormală pozitivă $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ ${\ displaystyle (e_ {1}, \ ldots, e_ {n})}$ $(e_ {1}, \ ldots, e_ {n})$ din $T_{x}$ ${\ displaystyle T_ {x}}$ $T_ {x}$ . Într-un card , este scris ca

\omega ={\sqrt {\det g}}\,dx^{1}\wedge ...\wedge dx^{n}

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ det g}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}}

\ omega = {\ sqrt {\ det g}} \, dx ^ {1} \ wedge ... \ wedge dx ^ {n}

unde este $\det g$ ${\ displaystyle \ det g}$ $\ det g$ este determinantul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , ceea ce este bine pentru că $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este definitiv pozitiv, iar baza $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x_ {n})$ este o bază pozitivă în ceea ce privește orientarea. Este vorba despre un $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - forma diferențială , care, dacă este integrată pe un domeniu $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ definește volumul de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ :

{\rm {Vol}}(S)=\int _{S}\omega .\,\!

{\ displaystyle {\ rm {Vol}} (S) = \ int _ {S} \ omega. \, \!}

{{\ rm {Vol}}} (S) = \ int _ {S} \ omega. \, \!

Este necesară o orientare pentru a defini forma volumului: o astfel de formă există doar pe varietăți orientabile .

Proprietăți metrice

Completitudine

Un distribuitor Riemannian este în special un spațiu metric și, ca atare, poate fi sau nu complet . Există diverse criterii echivalente de completitudine, furnizate de teorema Hopf-Rinow .

O varietate compactă este întotdeauna completă. Un distribuitor diferențiat non-compact poate fi complet sau nu: completitudinea este în acest caz puternic dependentă de tensorul de curbură.

Curbură

Curbura măsoară tendința geometriei locale pe o varietate riemanniană de a se abate de la geometria euclidiană obișnuită. Curbura este o măsură locală, care poate fi realizată în diferite moduri.

Curbura unei suprafețe $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se măsoară prin curbura Gaussiană , un număr real asociat cu fiecare punct al $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Pentru o varietate mai mare, codarea și studiul curburii sunt mai complexe. Obiectul care descrie complet curbura unui distribuitor este tensorul Riemann , un tensor de ordine $(3,1)$ ${\ displaystyle (3,1)}$ $(3.1)$ .

Tensorul Riemann este un obiect algebric foarte complex și, prin urmare, recurgem adesea la noțiuni de curbură care sunt mai ușor de manipulat. Curbura secțională măsoară curbura pe orice plan care trece printr-un punct: această noțiune mai geometrică de curbură este foarte bogată, conține aceleași informații ca tensorul Riemann și este adesea mai ușor de aplicat. Tensorul Ricci și curbura scalară sunt două versiuni „simplificate” ale tensorului Riemann, obținute prin contractarea unor indici ai tensorului. Tensorul Ricci este un tensor de tip $(2,0)$ ${\ displaystyle (2,0)}$ $(2.0)$ , iar curbura scalară un număr, similar cu curbura Gaussiană.

Toate aceste noțiuni măsoară curbura intrinsecă a varietății, determinată exclusiv de structura ei variabilă riemanniană. Noțiunile de curbură extrinsecă sunt aplicabile numai atunci când colectorul este conținut într-un alt colector mai mare: de exemplu, în cazul unei suprafețe conținute în spațiu $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ există, de asemenea, noțiuni de curbură principală și curbură medie , care spre deosebire de curbura gaussiană nu sunt definite pe o suprafață abstractă.

Bibliografie

( EN ) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry , 1994.
( EN ) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 , Wiley-Interscience, 1996 (ediție nouă), ISBN 0-471-15733-3 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) LA Sidorov, metrică riemanniană , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 31542 · LCCN (EN) sh85114045 · GND (DE) 4128295-4 · BNF (FR) cb11959398f (dată) · BNE (ES) XX552043 (dată) · NDL (EN, JA) 00.569.452

Portalul de fizică

Portalul de matematică