Viteza unghiulară

În cinematică , viteza unghiulară este o mărime vectorială definită ca variația unui unghi în funcție de timp , încadrându-se astfel în conceptul general de viteză , adică variația unei coordonate spațiale în timp. Cu alte cuvinte, reprezintă viteza cu care un unghi este măturat de raza vectorială a unui punct care se deplasează de-a lungul unei curbe.

Fiind implicat, împreună cu viteza areolară , în definirea vitezei de rotație pentru a descrie mișcarea de -a lungul unei curbe, utilizarea sa principală este în studiul mișcărilor periodice, cum ar fi mișcarea circulară și mișcarea armonică . Viteza unghiulară și viteza areolară sunt întotdeauna vectori paraleli, dar nu sunt neapărat proporționale în modul.

Unitatea de măsură din sistemul internațional este $\mathrm {[rad\cdot s^{-1}]}$ ${\ displaystyle \ mathrm {[rad \ cdot s ^ {- 1}]}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {[rad \ cdot s ^ {- 1}]}}$ ( radiani pe secundă ), adică s ^-1, deoarece radianul este un număr pur.

Descriere

Având în vedere un obiect în mișcare, al cărui vector de poziție se numește raza vectorului $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , viteza unghiulară depinde de punctul de referință, care este originea sistemului de coordonate al razei vectoriale, care este o funcție a timpului.

Se numește viteza unghiulară medie ${\bar {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ raportul dintre deplasarea unghiulară , înțeleasă ca variația unghiului măturat de raza vectorială, $\Delta {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}_{2}-{\boldsymbol {\theta }}_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {\ theta}} = {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ și intervalul de timp $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ angajat să-l meargă:

{\bar {\boldsymbol {\omega }}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}

{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ Delta t}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ boldsymbol {\ omega}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ Delta t}}}

unde este ${\boldsymbol {\theta }}_{1}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {1}}$ Și ${\boldsymbol {\theta }}_{2}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} _ {2}}$ sunt pozițiile unghiulare la momentele inițiale $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și final $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

Se numește viteză unghiulară instantanee ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ valoarea este limita vitezei medii în jurul unui moment dat sau prima derivată a poziției unghiulare în raport cu timpul:

{\boldsymbol {\omega }}={\dot {\boldsymbol {\theta }}}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {{\boldsymbol {\theta }}(t_{2})-{\boldsymbol {\theta }}(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\boldsymbol {\theta }}(t+\Delta t)-{\boldsymbol {\theta }}(t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta }} (t_ {2}) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta}} (t + \ Delta t) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol { \ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta }} (t_ {2}) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {{\ boldsymbol {\ theta}} (t + \ Delta t) - {\ boldsymbol {\ theta}} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol { \ theta}}} {\ mathrm {d} t}}}

Se alege direcția axei de rotație, adică cea normală față de planul de rotație, în timp ce direcția este direcționată către observatorul care vede o rotație în sens invers acelor de ceasornic.

Vectorul vitezei unghiulare ( convenția dreptaci ).

Conform acestei viteze tangențiale $\mathbf {v} _{\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta}}$ a unui punct care descrie o cale circulară de rază $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ cu viteza unghiulară ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ Și:

\mathbf {v} _{\theta }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ theta} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}

Această formulă este de fapt valabilă doar pentru mișcări rigide sferice. Acest lucru poate fi demonstrat ținând cont de faptul că determinarea riguroasă a vitezei unui punct este dată de derivata în timp a vectorului care îi identifică coordonatele, într-un sistem de referință fix, altfel vorbim de viteză relativă.

În cazul mișcării circulare uniforme , viteza unghiulară este: ^[1]

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\theta }}}{\mathrm {d} t}}={\frac {2\pi }{T}}{\hat {\mathbf {n} }}=2\pi f{\hat {\mathbf {n} }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {2 \ pi} {T }} {\ hat {\ mathbf {n}}} = 2 \ pi f {\ hat {\ mathbf {n}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {2 \ pi} {T }} {\ hat {\ mathbf {n}}} = 2 \ pi f {\ hat {\ mathbf {n}}}}

după ce a indicat cu ${\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ vectorul unitate perpendicular pe planul orbitei. De când, în timp $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , care în mișcare circulară uniformă este perioada , unghiul descris de rază este corect $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ radiani , care este un unghi rotund . Dimensiunea scalară $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este inversul $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , și se numește frecvență . În acest context, ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ se mai numește și pulsație .

Legătură cu impulsul unghiular și momentul mecanic

Același subiect în detaliu: Moment unghiular și Moment mecanic .

În cazul unui corp rigid rotitor, momentul impulsului $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ , adică impulsul unghiular este proporțional cu viteza unghiulară:

\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Sub aceleași ipoteze, derivând impulsul unghiular, obținem a doua ecuație cardinală a dinamicii, care este egală cu:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} \iff \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ if \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ if \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

Prin substituirea valorii obținute anterior, se obține valoarea momentului mecanic:

\mathbf {M} ={\cancel {\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {I}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + \ mathbf {I} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {I}} {\ mathrm {d} t}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} + \ mathbf {I} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I } \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right) = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ left (\ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} \ right)}

unde este ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ este accelerația unghiulară . Prin urmare, dacă se află în sistemul în cauză $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ este paralel cu ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , avem că momentul mecanic este:

\mathbf {M} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {I} \ cdot {\ boldsymbol {\ alpha}}}

Mai mult, energia cinetică de rotație este:

E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Aplicații

În ingineria electrică este definită și pulsația complexă referitoare la un fazor , reprezentată de obicei cu un număr complex . De fapt, tendința sinusoidală a fazorului (imaginat ca un vector care se rotește în sens invers acelor de ceasornic în circumferința goniometrică cu viteza unghiulară ω) în timp poate fi asociată cu proiecțiile modulului fazor pe axa y a circumferinței goniometrice.