Viteza areolară

În cinematică , viteza areolară este o mărime vectorială definită ca variația unei suprafețe în funcție de timp , încadrându-se astfel în conceptul general de viteză , adică variația unei coordonate spațiale în timp. Cu alte cuvinte, reprezintă viteza cu care o suprafață este măturată de raza vectorială a unui punct care se deplasează de-a lungul unei curbe.

Fiind implicat, împreună cu viteza unghiulară , în definirea vitezei de rotație pentru a descrie mișcarea de -a lungul unei curbe, utilizarea sa principală este în studiul mișcărilor periodice, cum ar fi mișcarea circulară și mișcarea armonică . Viteza areolară și viteza unghiulară sunt întotdeauna vectori paraleli, dar nu sunt neapărat proporționale în modul.

Unitatea de măsură în sistemul internațional m ² · s ⁻¹ ( metri pătrați pe secundă ).

Descriere

Având în vedere un obiect în mișcare, al cărui vector de poziție se numește raza vectorului $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , viteza areolară depinde de punctul de referință, adică originea sistemului de coordonate al razei vectoriale, care este o funcție a timpului.

Se numește viteza areolară medie ${\bar {\dot {\mathbf {A} }}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}}}$ raportul dintre deplasarea areolară , înțeleasă ca variația suprafeței măturate de raza vectorială, $\Delta \mathbf {A} =\mathbf {A} _{2}-\mathbf {A} _{1}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _ {2} - \ mathbf {A} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {A} = \ mathbf {A} _ {2} - \ mathbf {A} _ {1}}$ și intervalul de timp $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ ${\ displaystyle \ Delta t = t_ {2} -t_ {1}}$ angajat să-l meargă:

{\bar {\dot {\mathbf {A} }}}={\frac {\Delta \mathbf {A} }{\Delta t}}

{\ displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ dot {\ mathbf {A}}}} = {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}}}

unde este $\mathbf {A} _{1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$ Și $\mathbf {A} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2}}$ sunt pozițiile areolare la momentele inițiale $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ și final $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

Se numește viteză areolară instantanee ${\dot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}}}$ valoarea este limita vitezei medii în jurul unui moment dat sau prima derivată a poziției unghiulare în raport cu timpul:

{\dot {\mathbf {A} }}=\lim _{t_{2}\to t_{1}}{\frac {\mathbf {A} (t_{2})-\mathbf {A} (t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {A} (t+\Delta t)-\mathbf {A} (t)}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {\ mathbf {A} (t_ {2}) - \ mathbf {A } (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {A} (t + \ Delta t) - \ mathbf {A} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {t_ {2} \ to t_ {1}} {\ frac {\ mathbf {A} (t_ {2}) - \ mathbf {A } (t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {A} (t + \ Delta t) - \ mathbf {A} (t)} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {A}} {\ mathrm {d} t}}}

Se alege direcția axei de rotație, adică cea normală față de planul de rotație, în timp ce direcția este direcționată către observatorul care vede o rotație în sens invers acelor de ceasornic.

Viteza areolară este aria (prezentată în verde) măturată pe unitate de timp de vectorul de poziție al unei particule care se deplasează de-a lungul unei curbe (în albastru). La momentul

t

{\ displaystyle t}

t

este plasată o particulă mobilă

B.

{\ displaystyle B}

B.

, în timp ce în acel moment

t+\Delta t

{\ displaystyle t + \ Delta t}

t + \ Delta t

particula s-a mutat în

C.

{\ displaystyle C}

C.

. Aria măturată de raza vectorială este exact egală cu aria triunghiului

{\overset {\triangle }{ABC}}

{\ displaystyle {\ overset {\ triangle} {ABC}}}

{\ displaystyle {\ overset {\ triangle} {ABC}}}

pentru

\Delta t\rightarrow 0

{\ displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}

{\ displaystyle \ Delta t \ rightarrow 0}

. Purtători

LA B.

{\ displaystyle AB}

AB

Și

LA C.

{\ displaystyle AC}

B.C

adunați cu regula paralelogramului în vector

LA D.

{\ displaystyle AD}

LA

, deci ideea

D.

{\ displaystyle D}

D.

rezultă al patrulea unghi al paralelogramului

LA B. C. D.

{\ displaystyle ABCD}

ABCD

prezentată în figură.

Așa cum se arată în figură, aria triunghiului în galben ${\overset {\triangle }{ABC}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ triangle} {ABC}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ triangle} {ABC}}}$ este jumătate din aria paralelogramului $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ , iar aria paralelogramului este egală cu magnitudinea produsului exterior al vectorilor $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ , astfel încât:

\mathbf {A} _{(ABCD)}=\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)\ \Longrightarrow \ \mathbf {A} _{(ABC)}={\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {(ABCD)} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t) \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {A} _ {(ABC )} = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {(ABCD)} = \ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t) \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {A} _ {(ABC )} = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2}}}

Viteza areolară este

{\begin{aligned}{\dot {\mathbf {A} }}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {A} }{\Delta t}}&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times \mathbf {r} (t+\Delta t)}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times [\mathbf {r} (t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\Delta t]}{2\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t)\times {\dot {\mathbf {r} }}(t)\Delta t}{2\Delta t}}\\&={\frac {\mathbf {r} (t)\times {\dot {\mathbf {r} }}(t)}{2}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}} & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times [\ mathbf {r} (t) + {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ Delta t]} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times {\ dot {\ mathbf {r} }} (t) \ Delta t} {2 \ Delta t}} \\ & = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)} { 2}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ dot {\ mathbf {A}}} = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ Delta \ mathbf {A}} {\ Delta t}} & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times \ mathbf {r} (t + \ Delta t)} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times [\ mathbf {r} (t) + {\ dot {\ mathbf {r}}} (t) \ Delta t]} {2 \ Delta t}} \\ & = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times {\ dot {\ mathbf {r} }} (t) \ Delta t} {2 \ Delta t}} \\ & = {\ frac {\ mathbf {r} (t) \ times {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)} { 2}} \\\ end {align}}}

Dar ${\dot {\mathbf {r} }}(t)$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {r}}} (t)}$ este viteza liniară a vectorului $\mathbf {v} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t)}$ ${\ mathbf v} (t)$ , prin urmare:

{\dot {\mathbf {A} }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{2}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {2}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {A}}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {2}}}

unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ reprezintă viteza tangențială .

Legătură cu impulsul unghiular și momentul mecanic

Același subiect în detaliu: Moment unghiular și Moment mecanic .

Cunoașterea impulsului unghiular $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ $\ mathbf {L}$ reprezintă momentul impulsului $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ este asta $\mathbf {v} =\mathbf {v} _{r}+\mathbf {v} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {r} + \ mathbf {v} _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {r} + \ mathbf {v} _ {0}}$ , este posibil să se deducă relația sa cu viteza areolară:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =2m{\dot {\mathbf {A} }}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {v} = 2m {\ dot {\ mathbf {A}}}}

Prin derivarea impulsului unghiular, se obține a doua ecuație cardinală a dinamicii, care în cazul unui corp rigid rotativ este egală cu:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} \iff \mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ if \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {M} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L} \ if \ mathbf {M} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {L}}

unde este ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ este vectorul vitezei unghiulare. Dacă în sistemul în cauză masa este constantă, înlocuind valoarea obținută anterior, se obține valoarea momentului mecanic:

\mathbf {M} =2{\cancel {\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}{\dot {\mathbf {A} }}+2m{\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times 2m{\dot {\mathbf {A} }}=2m({\ddot {\mathbf {A} }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {A} }})

{\ displaystyle \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = 2 {\ cancel {\ frac {\ mathrm {d} m} {\ mathrm {d} t}}} {\ dot {\ mathbf {A}}} + 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times 2m {\ dot {\ mathbf {A}}} = 2m ({\ ddot {\ mathbf {A}}} + {\ boldsymbol { \ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {A}}})}}

unde este ${\ddot {\mathbf {A} }}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {A}}}}$ este accelerația areolară . Prin urmare, dacă se află în sistemul în cauză $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ este paralel cu ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , avem că momentul mecanic este:

\mathbf {M} =2m{\ddot {\mathbf {A} }}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = 2m {\ ddot {\ mathbf {A}}}}

Mai mult, energia cinetică de rotație este:

E_{k}={\frac {1}{2}}\mathbf {L} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=m{\dot {\mathbf {A} }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle E_ {k} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {L} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}} = m {\ dot {\ mathbf {A}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ omega}}}

Mișcare centrală

Dacă mișcarea are loc sub acțiunea unei forțe centrale , aceasta este întotdeauna direcționată de-a lungul liniei drepte care unește poziția instantanee cu un pol fix, față de acest pol avem că momentul mecanic este zero și, prin urmare, impulsul unghiular și areolarul viteza sunt reținute.

Într-o mișcare centrală, viteza areolară este constantă în timpul mișcării:

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{c}\ \Longrightarrow \ \mathbf {a} _{t}={\frac {\mathbf {h} }{r}}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!t}}(r^{2}{\dot {\mathbf {A} }})={\frac {2}{r}}{\frac {\operatorname {d} \!{\dot {\mathbf {A} }}}{\operatorname {d} \!t}}\mathbf {h} =0\ \Longrightarrow \ {\frac {\operatorname {d} \!{\dot {\mathbf {A} }}}{\operatorname {d} \!t}}=0

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {c} \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathbf {h}} {r}} {\ frac { \ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} (r ^ {2} {\ dot {\ mathbf {A}}}) = {\ frac {2} {r}} {\ frac { \ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} \ mathbf {h} = 0 \ \ Longrightarrow \ {\ frac {\ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {c} \ \ Longrightarrow \ \ mathbf {a} _ {t} = {\ frac {\ mathbf {h}} {r}} {\ frac { \ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! t}} (r ^ {2} {\ dot {\ mathbf {A}}}) = {\ frac {2} {r}} {\ frac { \ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} \ mathbf {h} = 0 \ \ Longrightarrow \ {\ frac {\ operatorname {d} \! {\ dot {\ mathbf {A}}}} {\ operatorname {d} \! t}} = 0}

și, prin urmare, zona măturată de o rază vectorială are o ecuație orară tipică unei mișcări uniforme :

\mathbf {A} _{r(t)}={\dot {\mathbf {A} }}(t-t_{0})+\mathbf {A} _{r(t_{0})}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r (t)} = {\ dot {\ mathbf {A}}} (t-t_ {0}) + \ mathbf {A} _ {r (t_ {0}) }}

{\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r (t)} = {\ dot {\ mathbf {A}}} (t-t_ {0}) + \ mathbf {A} _ {r (t_ {0}) }}

Aceasta este o generalizare a celei de -a doua legi a lui Kepler la toate mișcările centrale.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică