Căderea mormântului

Căderea unui mormânt.

Căderea corpurilor este unul dintre principalele tipuri de experimente efectuate de Galileo pentru a studia gravitația pământului și mișcarea corpurilor . Constituie una dintre etapele care au dus la nașterea științei moderne . ^[1]

Legea accelerării

Redați fișierul media

Explicația funcționării izocronismului în caderea corpurilor de-a lungul unei spirale pe un paraboloid.

Galileo Galilei a arătat că toate corpurile materiale cad în vid (excluzând astfel orice efect de frecare al aerului) cu aceeași accelerație , indiferent de masa lor; acest fenomen este o consecință directă a echivalenței dintre masa gravitațională și masa inerțială . Din aceasta s-a dedus că fiecare corp, lângă suprafața pământului, suferă o accelerație egală cu aproximativ:

g\approx 9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}

{\ displaystyle g \ approx 9 {,} 81 \, \ mathrm {\ frac {m} {s ^ {2}}}}

{\ displaystyle g \ approx 9 {,} 81 \, \ mathrm {\ frac {m} {s ^ {2}}}}

Formula exactă pentru accelerație poate fi găsită prin legea forței gravitaționale :

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {Gm_{g}M}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {Gm_ {g} M} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {Gm_ {g} M} {r ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}}}

unde este

M este masa Pământului;
G este constanta gravitațională ;
m _g este masa (gravitațională) a obiectului supus forței gravitaționale;
r este distanța corpului de centrul Pământului .

Deoarece distanța dintre mormânt și centrul Pământului este aproximativ egală cu raza R a Pământului, această ecuație aproximează cu

\mathbf {F} \approx -{\frac {GMm_{g}}{R^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-m_{g}g{\hat {\mathbf {r} }}=m_{g}\mathbf {g}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ approx - {\ frac {GMm_ {g}} {R ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} = - m_ {g} g {\ hat { \ mathbf {r}}} = m_ {g} \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} \ approx - {\ frac {GMm_ {g}} {R ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} = - m_ {g} g {\ hat { \ mathbf {r}}} = m_ {g} \ mathbf {g}}

unde este $g:={\frac {GM}{R^{2}}}$ ${\ displaystyle g: = {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle g: = {\ frac {GM} {R ^ {2}}}}$ .

Înlocuind în a doua lege a dinamicii pe care o avem

\mathbf {F} =m_{i}\mathbf {a} =m_{g}\mathbf {g}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {i} \ mathbf {a} = m_ {g} \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {i} \ mathbf {a} = m_ {g} \ mathbf {g}}

Deoarece masele gravitaționale și inerțiale sunt proporționale, aceeași unitate de măsură este aleasă pentru ele astfel încât, simplificând, să obținem pentru accelerație

\mathbf {a} =\mathbf {g}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {g}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {g}}

indiferent de masa corpului supus forței gravitaționale. Relația, proiectată de-a lungul verticalei, devine:

a_{r}\approx -9{,}81\,\mathrm {ms^{-2}}

{\ displaystyle a_ {r} \ approx -9 {,} 81 \, \ mathrm {ms ^ {- 2}}}

{\ displaystyle a_ {r} \ approx -9 {,} 81 \, \ mathrm {ms ^ {- 2}}}

.

Legea orară

Legea orară care descrie căderea corpurilor este cea tipică a mișcării uniform accelerate : ^[2]

x(t)=x_{o}+v_{o}t+{\frac {1}{2}}at^{2}

{\ displaystyle x (t) = x_ {o} + v_ {o} t + {\ frac {1} {2}} la ^ {2}}

{\ displaystyle x (t) = x_ {o} + v_ {o} t + {\ frac {1} {2}} la ^ {2}}

unde x (t) este distanța parcursă de corp (exprimată în funcție de timp), $x_{o}$ ${\ displaystyle x_ {o}}$ ${\ displaystyle x_ {o}}$ poziția corpului în momentul inițial $t_{o}=0$ ${\ displaystyle t_ {o} = 0}$ ${\ displaystyle t_ {o} = 0}$ , t timpul luat, $v_{o}$ ${\ displaystyle v_ {o}}$ ${\ displaystyle v_ {o}}$ viteza inițială și l ' accelerația la care este supus corpul. În cazul analizat, luarea în considerare a unui corp care este supus acțiunii gravitației cu viteza inițială $V_{o}$ ${\ displaystyle V_ {o}}$ $V_o$ egal cu zero, într-un sistem de referință care are o direcție pozitivă care se îndepărtează de sol, legea orară scrisă mai sus devine: ^[3]

x(t)=-{\frac {1}{2}}gt^{2}

{\ displaystyle x (t) = - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}

{\ displaystyle x (t) = - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}

unde semnul negativ se datorează faptului că corpul se mișcă contrar direcției alese ca pozitive în sistemul de referință .
Cu toate acestea, notația utilizată mai sus este utilă dacă studiați o mișcare care apare în mai multe direcții (sau posibil direcție), cum ar fi mișcarea proiectilului ; dacă mișcarea corpului are loc într-o singură direcție și într-o singură direcție, este convenabil să atribuiți o valoare pozitivă accelerației gravitației . Dacă ne imaginăm că aruncă două obiecte de masă diferită de la aceeași înălțime și cu aceeași viteză inițială în absența fricțiunii $v_{o}$ ${\ displaystyle v_ {o}}$ ${\ displaystyle v_ {o}}$ , din legea orară rezultă direct că timpul de cădere va fi identic (rețineți că masa nu apare în niciuna dintre ecuațiile anterioare).

Spațiu a călătorit în timpul al doilea n - lea

Pentru un corp în cădere liberă , cu o viteză inițială egală cu zero, supus forței de greutate singur, distanța parcursă (exprimată în metri) în timpul al doilea nth este egal cu:

g\left(n-{\frac {1}{2}}\right)

{\ displaystyle g \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ displaystyle g \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)}

De fapt, calcularea acestui spațiu înseamnă calcularea diferenței dintre spațiul parcurs după $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ secunde și spațiul parcurs după $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ secunde, adică:

x(n)-x(n-1)={\frac {1}{2}}gn^{2}-\left[{\frac {1}{2}}g(n-1)^{2}\right]

{\ displaystyle x (n) -x (n-1) = {\ frac {1} {2}} gn ^ {2} - \ left [{\ frac {1} {2}} g (n-1) ^ {2} \ dreapta]}

{\ displaystyle x (n) -x (n-1) = {\ frac {1} {2}} gn ^ {2} - \ left [{\ frac {1} {2}} g (n-1) ^ {2} \ dreapta]}

din care urmează dezvoltarea pătratelor și simplificarea rezultatului. Semnul pozitiv în accelerație $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ se presupune că determină un spațiu pozitiv, indiferent de orice sistem de referință. Rețineți că, având în vedere generalitatea formulei , rezultatul obținut este același pentru toate intervalele de lățime de 1 secundă.

Viteza de impact

Pentru un corp în cădere liberă, viteza maximă $v_{f}$ ${\ displaystyle v_ {f}}$ ${\ displaystyle v_ {f}}$ impactul cu solul este egal cu: ^[3]

v_{f}={\sqrt {2gh}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {2gh}}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {2gh}}}

unde h este înălțimea inițială (exprimată în metri) a corpului de la sol. Ecuațiile necesare pentru calcularea $v_{f}$ ${\ displaystyle v_ {f}}$ $v_f$ sunt cele ale vitezei v (t) și ale legii orare care caracterizează mișcarea uniform accelerată , adică (în formele compacte respective):

\left\{{\begin{matrix}x(t)={\frac {1}{2}}gt^{2}\\v(t)=gt\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} \\ v (t) = gt \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x (t) = {\ frac {1} {2}} gt ^ {2} \\ v (t) = gt \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

Prin introducerea datelor problemei, sistemul devine:

\left\{{\begin{matrix}h={\frac {1}{2}}gt_{f}^{2}\\v_{f}=gt_{f}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} h = {\ frac {1} {2}} gt_ {f} ^ {2} \\ v_ {f} = gt_ {f} \\\ end {matrix }} \ dreapta.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} h = {\ frac {1} {2}} gt_ {f} ^ {2} \\ v_ {f} = gt_ {f} \\\ end {matrix }} \ dreapta.}

unde este $t_{f}$ ${\ displaystyle t_ {f}}$ $t_f$ este momentul în care corpul impactează cu solul. Din prima ecuație obținem:

t_{f}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}

{\ displaystyle t_ {f} = {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}}}

{\ displaystyle t_ {f} = {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}}}

prin urmare, înlocuind în ecuația vitezei:

v_{f}=g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\sqrt {g^{2}{\frac {2h}{g}}}}={\sqrt {2gh}}

{\ displaystyle v_ {f} = g {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}} = {\ sqrt {g ^ {2} {\ frac {2h} {g}}}} = {\ sqrt { 2gh}}}

{\ displaystyle v_ {f} = g {\ sqrt {\ frac {2h} {g}}} = {\ sqrt {g ^ {2} {\ frac {2h} {g}}}} = {\ sqrt { 2gh}}}

Același rezultat ar putea fi obținut prin utilizarea legii conservării energiei mecanice; de fapt, dacă sunăm $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ $E_ {0}$ energia inițială e $E_{1}$ ${\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ ultima va fi:

\left\{{\begin{matrix}E_{0}=U=mgh\\E_{1}=T={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} E_ {0} = U = mgh \\ E_ {1} = T = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} \\ \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} E_ {0} = U = mgh \\ E_ {1} = T = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} \\ \ end {matrix}} \ right.}

unde este $v_{f}$ ${\ displaystyle v_ {f}}$ $v_f$ este viteza finală. Din legea conservării energiei rezultă că:

mgh={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}

{\ displaystyle mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2}}

{\ displaystyle mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2}}

de la care:

gh={\frac {1}{2}}v_{f}^{2}

{\ displaystyle gh = {\ frac {1} {2}} v_ {f} ^ {2}}

{\ displaystyle gh = {\ frac {1} {2}} v_ {f} ^ {2}}

;

2gh=v_{f}^{2}

{\ displaystyle 2gh = v_ {f} ^ {2}}

{\ displaystyle 2gh = v_ {f} ^ {2}}

;

v_{f}={\sqrt {2gh}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {2gh}}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ sqrt {2gh}}}

Relația care leagă viteza de timp este: $v_{f}=v_{0}+gt$ ${\ displaystyle v_ {f} = v_ {0} + gt}$ ${\ displaystyle v_ {f} = v_ {0} + gt}$

unde este $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ este viteza inițială cu care cad corpul.

Limitarea vitezei

Același subiect în detaliu: Viteza terminală de cădere și Viteza stării de echilibru .

Dacă examinăm cazul unui corp în cădere liberă supus rezistenței vâscoase a unui fluid (de ex. Aer), din al doilea principiu al dinamicii este posibil să se exprime viteza acestui corp în funcție de timp.

v(t)={\frac {mg}{\beta }}(1-e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}})

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {mg} {\ beta}} (1-e ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}})}

{\ displaystyle v (t) = {\ frac {mg} {\ beta}} (1-e ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}})}

unde β este un coeficient care variază în funcție de forma corpului și de fluidul în care se mișcă; dimensional :

[M][LT^{-2}]=[\beta ][LT^{-1}]\iff [\beta ]=[MT^{-1}]=[{\frac {Kg}{s}}]

{\ displaystyle [M] [LT ^ {- 2}] = [\ beta] [LT ^ {- 1}] \ iff [\ beta] = [MT ^ {- 1}] = [{\ frac {Kg} {s}}]}

{\ displaystyle [M] [LT ^ {- 2}] = [\ beta] [LT ^ {- 1}] \ iff [\ beta] = [MT ^ {- 1}] = [{\ frac {Kg} {s}}]}

rezultat care se obține din ecuația care exprimă forța de rezistență a mediului :

f=-\beta v

{\ displaystyle f = - \ beta v}

{\ displaystyle f = - \ beta v}

Pentru a identifica funcția de viteză indicată mai sus, trebuie să pornim de la a doua lege a dinamicii :

f=ma=m{\frac {dv}{dt}}

{\ displaystyle f = ma = m {\ frac {dv} {dt}}}

{\ displaystyle f = ma = m {\ frac {dv} {dt}}}

care este o ecuație diferențială cu variabile separabile:

mg-\beta v=m{\frac {dv}{dt}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {dv}{dt}}=g-{\frac {\beta }{m}}v\quad \Rightarrow \quad {\frac {dv}{g-{\frac {\beta }{m}}v}}={dt}

{\ displaystyle mg- \ beta v = m {\ frac {dv} {dt}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dv} {dt}} = g - {\ frac {\ beta} {m}} v \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dv} {g - {\ frac {\ beta} {m}} v}} = {dt}}

{\ displaystyle mg- \ beta v = m {\ frac {dv} {dt}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dv} {dt}} = g - {\ frac {\ beta} {m}} v \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dv} {g - {\ frac {\ beta} {m}} v}} = {dt}}

Prin integrarea fiecărui membru:

\ \int _{v(0)}^{v(t)}{\frac {dv}{g-{\frac {\beta }{m}}v}}\,=\int _{0}^{t}dt

{\ displaystyle \ \ int _ {v (0)} ^ {v (t)} {\ frac {dv} {g - {\ frac {\ beta} {m}} v}} \, = \ int _ { 0} ^ {t} dt}

{\ displaystyle \ \ int _ {v (0)} ^ {v (t)} {\ frac {dv} {g - {\ frac {\ beta} {m}} v}} \, = \ int _ { 0} ^ {t} dt}

primesti:

{\left[\ln \left(g-{\frac {{\beta }v}{m}}\right)\right]}_{v_{0}}^{v}=-{\frac {\beta }{m}}t\quad \Rightarrow \quad \ln \left({\frac {{\beta }v-mg}{{\beta }{v_{0}}-mg}}\right)=-{\frac {\beta }{m}}t\quad \Rightarrow \quad {\frac {{\beta }v-mg}{{\beta }{v_{0}}-mg}}=e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}\quad \Rightarrow \quad v\left(t\right)={\frac {mg}{\beta }}+\left({v_{0}-{\frac {mg}{\beta }}}\right)e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}

{\ displaystyle {\ left [\ ln \ left (g - {\ frac {{\ beta} v} {m}} \ right) \ right]} _ {v_ {0}} ^ {v} = - {\ frac {\ beta} {m}} t \ quad \ Rightarrow \ quad \ ln \ left ({\ frac {{\ beta} v-mg} {{\ beta} {v_ {0}} - mg}} \ right ) = - {\ frac {\ beta} {m}} t \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {{\ beta} v-mg} {{\ beta} {v_ {0}} - mg}} = și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}} \ quad \ Rightarrow \ quad v \ left (t \ right) = {\ frac {mg} {\ beta}} + \ left ({v_ {0} - {\ frac {mg} {\ beta}}} \ right) și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}}}

{\ displaystyle {\ left [\ ln \ left (g - {\ frac {{\ beta} v} {m}} \ right) \ right]} _ {v_ {0}} ^ {v} = - {\ frac {\ beta} {m}} t \ quad \ Rightarrow \ quad \ ln \ left ({\ frac {{\ beta} v-mg} {{\ beta} {v_ {0}} - mg}} \ right ) = - {\ frac {\ beta} {m}} t \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {{\ beta} v-mg} {{\ beta} {v_ {0}} - mg}} = și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}} \ quad \ Rightarrow \ quad v \ left (t \ right) = {\ frac {mg} {\ beta}} + \ left ({v_ {0} - {\ frac {mg} {\ beta}}} \ right) și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}}}

Formula de mai sus descrie cazul particular $v_{0}=0$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {0} = 0}$

Am notat asta:

\lim _{t\to +\infty }\left[{\frac {mg}{\beta }}+\left({v_{0}-{\frac {mg}{\beta }}}\right)e^{-{{\frac {\beta }{m}}t}}\right]={\frac {mg}{\beta }}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ left [{\ frac {mg} {\ beta}} + \ left ({v_ {0} - {\ frac {mg} {\ beta}}} \ right) și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}} \ right] = {\ frac {mg} {\ beta}}}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} \ left [{\ frac {mg} {\ beta}} + \ left ({v_ {0} - {\ frac {mg} {\ beta}}} \ right) și ^ {- {{\ frac {\ beta} {m}} t}} \ right] = {\ frac {mg} {\ beta}}}

care este valoarea constantă spre care tinde viteza corpului care cade, pe măsură ce timpul crește ( viteza limită sau viteza stării de echilibru ). Acest rezultat arată modul în care viteza de limitare depinde (în plus față de g ) de raportul dintre masa corpului și coeficientul β: fix m , viteza de limitare scade odată cu creșterea β, adică pe măsură ce crește suprafața pe care se transformă obiectul. spre direcția mișcării. Există, de asemenea, o altă caracteristică, dacă corpul pleacă vertical cu o viteză $v_{y_{0}}$ ${\ displaystyle v_ {y_ {0}}}$ ${\ displaystyle v_ {y_ {0}}}$ poti sa scrii:

v(t)=v_{y_{0}}{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {mg}{\beta }}\left(1-{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}\right)

{\ displaystyle v (t) = v_ {y_ {0}} {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} + {\ frac {mg} {\ beta}} \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} \ right)}

{\ displaystyle v (t) = v_ {y_ {0}} {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} + {\ frac {mg} {\ beta}} \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} \ right)}

Aplicarea limitei pentru $m\to \infty$ ${\ displaystyle m \ to \ infty}$ ${\ displaystyle m \ to \ infty}$ avem:

\lim _{m\to \infty }\left[v_{y_{0}}{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}+{\frac {mg}{\beta }}\left(1-{\mathit {e}}^{-{\frac {\beta }{m}}t}\right)\right]=v_{y_{0}}+gt

{\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} \ left [v_ {y_ {0}} {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} + {\ frac {mg} {\ beta}} \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} \ right) \ right] = v_ {y_ {0}} + gt}

{\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} \ left [v_ {y_ {0}} {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} + {\ frac {mg} {\ beta}} \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- {\ frac {\ beta} {m}} t} \ right) \ right] = v_ {y_ {0}} + gt}

Adică, viteza este aceeași ca și fără rezistență la aer, aceasta înseamnă că cu cât masa este mai mare, cu atât traiectoria sa seamănă cu o parabolă și mișcarea este parabolică. În special, acest lucru ne informează că, dacă luăm două corpuri cu un coeficient $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ egală, dar cu masă diferită, cea cu masă mai mare va avea un interval mai mare decât cea cu masă mai mică. De fapt , rezistența la aer în sine reduce intervalul în comparație cu cea parabolică.

Ecuații de mișcare cu rezistența la aer

Odată cu rezistența la aer, mișcarea corpului care se încadrează este diferită de cea parabolică ideală, acest lucru se datorează faptului că în timpul fazei de zbor corpul suferă o frecare care îi încetinește calea, de aceea există o forță care se opune mișcării care este rezistența la aer . De fapt, corpul se mișcă în interiorul unui fluid care este aer și, prin urmare, este supus unei fricțiuni vâscoase . Forța de frecare care se opune mișcării poate fi exprimată ca:

\mathbf {D} =b\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = b \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = b \ mathbf {v}}

Unde b este o constantă care depinde strict de caracteristicile corpului. Deci forța totală care acționează asupra corpului va fi

\mathbf {F} =\mathbf {P} -\mathbf {D}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {P} - \ mathbf {D}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {P} - \ mathbf {D}}

Prin descompunerea în componentele carteziene și luarea în considerare a forței gravitaționale constante (prin urmareaccelerația gravitațională va fi egală cu g ), prin colectarea se poate scrie

ma_{x}{\hat {u_{x}}}+ma_{y}{\hat {u_{y}}}=-bv_{x}{\hat {u_{x}}}-(mg+bv_{y}){\hat {u_{y}}}

{\ displaystyle ma_ {x} {\ hat {u_ {x}}} + ma_ {y} {\ hat {u_ {y}}} = - bv_ {x} {\ hat {u_ {x}}} - ( mg + bv_ {y}) {\ hat {u_ {y}}}}

{\ displaystyle ma_ {x} {\ hat {u_ {x}}} + ma_ {y} {\ hat {u_ {y}}} = - bv_ {x} {\ hat {u_ {x}}} - ( mg + bv_ {y}) {\ hat {u_ {y}}}}

Primești sistemul

\left\{{\begin{array}{lc}ma_{x}=-bv_{x}\\ma_{y}=-mg-bv_{y}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} ma_ {x} = - bv_ {x} \\ ma_ {y} = - mg-bv_ {y} \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} ma_ {x} = - bv_ {x} \\ ma_ {y} = - mg-bv_ {y} \ end {array}} \ right.}

Aducem totul la primul membru și împărțim totul la masa corpului m , putem în acest moment înlocui accelerația cu a doua derivată a spațiului cu privire la timp și viteza cu prima derivată cu privire la timp, obținem

\left\{{\begin{array}{lc}{\ddot {x}}+{\frac {b}{m}}{\dot {x}}=0\\{\ddot {y}}+{\frac {b}{m}}{\dot {y}}+g=0\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} {\ ddot {x}} + {\ frac {b} {m}} {\ dot {x}} = 0 \\ {\ ddot {y }} + {\ frac {b} {m}} {\ dot {y}} + g = 0 \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} {\ ddot {x}} + {\ frac {b} {m}} {\ dot {x}} = 0 \\ {\ ddot {y }} + {\ frac {b} {m}} {\ dot {y}} + g = 0 \ end {array}} \ right.}

Pentru simplitate înlocuim $\varepsilon ={\frac {b}{m}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {b} {m}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {b} {m}}}$ obținem astfel:

\left\{{\begin{array}{lc}{\ddot {x}}+\varepsilon {\dot {x}}=0\\{\ddot {y}}+\varepsilon {\dot {y}}+g=0\\\varepsilon ={\frac {b}{m}}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} {\ ddot {x}} + \ varepsilon {\ dot {x}} = 0 \\ {\ ddot {y}} + \ varepsilon {\ dot {y}} + g = 0 \\\ varepsilon = {\ frac {b} {m}} \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} {\ ddot {x}} + \ varepsilon {\ dot {x}} = 0 \\ {\ ddot {y}} + \ varepsilon {\ dot {y}} + g = 0 \\\ varepsilon = {\ frac {b} {m}} \ end {array}} \ right.}

Acestea sunt două ecuații diferențiale, o soluție a celei de-a doua a sistemului este

u(x)=-{\frac {gt}{\varepsilon }}

{\ displaystyle u (x) = - {\ frac {gt} {\ varepsilon}}}

{\ displaystyle u (x) = - {\ frac {gt} {\ varepsilon}}}

Mai mult, luăm în considerare și condițiile inițiale $x(0)=x_{0},{\dot {x(0)}}=v_{x_{0}}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}, {\ dot {x (0)}} = v_ {x_ {0}}}$ ${\ displaystyle x (0) = x_ {0}, {\ dot {x (0)}} = v_ {x_ {0}}}$ și $y(0)=y_{0},{\dot {y(0)}}=v_{y_{0}}$ ${\ displaystyle y (0) = y_ {0}, {\ dot {y (0)}} = v_ {y_ {0}}}$ ${\ displaystyle y (0) = y_ {0}, {\ dot {y (0)}} = v_ {y_ {0}}}$ . Toate aceste date ne permit să rezolvăm ecuațiile diferențiale prin obținerea ecuațiilor de mișcare în formă parametrică

\left\{{\begin{array}{lc}x(t)=x_{0}+{\frac {v_{x_{0}}}{\varepsilon }}\cdot \left(1-{\mathit {e}}^{-\varepsilon t}\right)\\y(t)=y_{0}-{\frac {gt}{\varepsilon }}+{\frac {v_{y_{0}}\varepsilon +g}{\varepsilon ^{2}}}\cdot \left(1-{\mathit {e}}^{-\varepsilon t}\right)\\\varepsilon ={\frac {b}{m}}\end{array}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} x (t) = x_ {0} + {\ frac {v_ {x_ {0}}} {\ varepsilon}} \ cdot \ left (1- {\ mathit {e}} ^ {- \ varepsilon t} \ right) \\ y (t) = y_ {0} - {\ frac {gt} {\ varepsilon}} + {\ frac {v_ {y_ {0 }} \ varepsilon + g} {\ varepsilon ^ {2}}} \ cdot \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- \ varepsilon t} \ right) \\\ varepsilon = {\ frac {b } {m}} \ end {array}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {lc} x (t) = x_ {0} + {\ frac {v_ {x_ {0}}} {\ varepsilon}} \ cdot \ left (1- {\ mathit {e}} ^ {- \ varepsilon t} \ right) \\ y (t) = y_ {0} - {\ frac {gt} {\ varepsilon}} + {\ frac {v_ {y_ {0 }} \ varepsilon + g} {\ varepsilon ^ {2}}} \ cdot \ left (1 - {\ mathit {e}} ^ {- \ varepsilon t} \ right) \\\ varepsilon = {\ frac {b } {m}} \ end {array}} \ right.}

Și, prin substituții, ecuația explicită a lui y în funcție de x:

y=y_{0}+{\frac {\ln \left(1-{\frac {\varepsilon }{v_{x_{0}}}}\cdot (x-x_{0})\right)}{\varepsilon ^{2}}}g+{\frac {v_{y_{0}}\varepsilon +g}{v_{x_{0}}\varepsilon }}\cdot (x-x_{0})

{\ displaystyle y = y_ {0} + {\ frac {\ ln \ left (1 - {\ frac {\ varepsilon} {v_ {x_ {0}}}} \ cdot (x-x_ {0}) \ right )} {\ varepsilon ^ {2}}} g + {\ frac {v_ {y_ {0}} \ varepsilon + g} {v_ {x_ {0}} \ varepsilon}} \ cdot (x-x_ {0} )}}

{\ displaystyle y = y_ {0} + {\ frac {\ ln \ left (1 - {\ frac {\ varepsilon} {v_ {x_ {0}}}} \ cdot (x-x_ {0}) \ right )} {\ varepsilon ^ {2}}} g + {\ frac {v_ {y_ {0}} \ varepsilon + g} {v_ {x_ {0}} \ varepsilon}} \ cdot (x-x_ {0} )}}

Perspective

Teoria de mai sus se ocupă numai de caderea corpurilor pe verticală. Mai mult, câmpul gravitațional se presupune a fi constant, ceea ce pe Pământ în condiții normale este o aproximare excelentă (de fapt, dă erori incomparabil mai mici decât cele date prin neglijarea rezistenței aerului).

Newton este responsabil pentru teoria gravitațională exactă și completă (non-relativistă), iar gloria faptului că a arătat că un măr sau o piatră care se încadrează urmează exact aceleași ecuații care fac ca Pământul să se învârtă în jurul Soarelui. Elipsă, în căderea spre sol ( neglijând întotdeauna rezistența la aer). Traiectoria pe care o vedem este o parte foarte mică a acestei elipse, atât de mică încât nu se distinge de un segment al unei parabole (care ar fi traiectoria urmată dacă gravitația ar fi constantă).

Pentru a afla mai multe, consultați:

Notă

^ Aspecte individuale fuseseră deja studiate în trecut, de exemplu Michel Varro scrisese un tratat despre mișcare și cădere liberă în 1584.
^ Mazzoldi , p. 12 .
^ ^a ^b Mazzoldi , p. 16.

Bibliografie

Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Physics , vol. 1, ediția a II-a, Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Aspecte individuale fuseseră deja studiate în trecut, de exemplu Michel Varro scrisese un tratat despre mișcare și cădere liberă în 1584.

[2] Mazzoldi , p. 12 .

[Maz16-3] Mazzoldi , p. 16.

[1]

[2]

[3]