Viteza limită (dinamica fluidelor)

In dinamica fluidelor , viteza limitare este maxima viteza pe care un corp scufundat într - un fluid (de exemplu , în aer sau apă ) se poate ajunge atunci când este supus la o rezistență dinamică a fluidului forță (datorită prezenței fluidului) care exact compenseaza pentru o forță constantă care acționează în direcția opusă (de exemplu, forța gravitațională sau forța de flotabilitate ).

Vorbim în special despre:

viteza terminală de cădere dacă forța de tracțiune dinamică a fluidului contrastează forța de greutate (așa cum se întâmplă în cazul unui corp în cădere liberă în aer );
rata de ascensiune terminală dacă forța de tracțiune dinamică a fluidului contrastează forța de flotabilitate (așa cum se întâmplă în cazul bulelor de aer care se ridică în apă).

Atingerea vitezei limită este precedată de un regim tranzitoriu (în timpul căruia viteza corpului crește) care continuă până la atingerea unei stări de echilibru (în corespondență cu care viteza a atins valoarea maximă și, prin urmare, rămâne constantă în timp).

Viteza terminală de cădere

Când un corp cade liber într-un fluid capătă viteză datorită accelerației datorate forței gravitaționale . Pe măsură ce avansează în această mișcare, corpul întâlnește rezistența fluidului care îl încetinește. Această rezistență crește pe măsură ce viteza corpului crește.

La un moment dat, se va întâmpla că forța gravitațională și rezistența aerului vor avea aceeași intensitate. Din acel moment, corpul, supus unui rezultat al forțelor nule, fiind cele două forțe care acționează asupra lui egale și opuse, va continua cu o viteză constantă, numită „viteza terminală de cădere”. ^[1]

Exemple

Pe de altă parte, nu este posibil să se identifice o viteză limitativă a unui corp neomogen, întrucât suferind rotații în timpul căderii libere, acesta își modifică continuu viteza (dacă există ceva, făcând unele simplificări, se poate calcula o viteză limitativă „medie”). Mai mult, dacă corpul nu este rigid, ci deformabil , situația devine mai complicată (de exemplu, o batistă în cădere liberă în aer suferă modificări bruște de formă și viteză).

Descrierea matematică

O sferă în cădere liberă într-un fluid după un tranzitoriu inițial se deplasează la o viteză constantă, deoarece suma vectorială a forțelor care acționează asupra ei este zero.

Pentru a determina expresia care leagă viteza terminală de cădere de alte mărimi direct măsurabile, este mai întâi necesar să se determine ecuația generică a mișcării unui corp în cădere liberă într-un fluid, de aceea este posibilă derivarea expresiei viteza terminală de cădere, determinând valoarea asumată de viteză pentru perioade foarte lungi.

Pentru simplitate, originea axelor poate fi poziționată în corespondență cu poziția inițială a mormântului și axa z verticală orientată spre direcția de cădere a mormântului.

Desenând o diagramă a corpului liber al corpului cu forțele care acționează asupra acestuia, se poate observa că în orice moment forța rezultată $m{\ddot {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}}}$ este dat de diferența de forță a gravitației $m\mathbf {g}$ ${\ displaystyle m \ mathbf {g}}$ ${\ displaystyle m \ mathbf {g}}$ și forța de tracțiune dinamică fluidă $k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf {x}}}}$ :

m{\ddot {\mathbf {x} }}=m\mathbf {g} -k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}

{\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = m \ mathbf {g} -k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf {x}}}}

{\ displaystyle m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = m \ mathbf {g} -k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf {x}}}}

unde este:

$\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ , ${\dot {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}$ Și ${\ddot {\mathbf {x} }}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {x}}}}$ indică deplasarea , viteza și accelerația mormântului (fiecare punct deasupra lui x indică o operație de derivare în raport cu timpul t );
m este masa mormântului;
g este accelerația gravitației ;
k este coeficientul de rezistență hidraulică.

Presupunând că inițial corpul este staționar și că poziția sa inițială corespunde originii axelor, putem asocia următoarele condiții inițiale egalității anterioare:

deplasarea corpului este zero la origine: $\mathbf {x} (0)=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (0) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (0) = \ mathbf {0}}$
viteza corpului este zero la origine: ${\dot {\mathbf {x} }}(0)=\mathbf {0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (0) = \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} (0) = \ mathbf {0}}$

Pentru a obține ecuația de mișcare a corpului, trebuie deci să rezolvăm următoarea problemă Cauchy :

{\begin{cases}m{\ddot {\mathbf {x} }}=m\mathbf {g} -k|{\dot {\mathbf {x} }}|{\dot {\mathbf {x} }}\\\mathbf {x} (0)=\mathbf {0} \\{\dot {\mathbf {x} }}(0)=\mathbf {0} \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = m \ mathbf {g} -k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf { x}}} \\\ mathbf {x} (0) = \ mathbf {0} \\ {\ dot {\ mathbf {x}}} (0) = \ mathbf {0} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} m {\ ddot {\ mathbf {x}}} = m \ mathbf {g} -k | {\ dot {\ mathbf {x}}} | {\ dot {\ mathbf { x}}} \\\ mathbf {x} (0) = \ mathbf {0} \\ {\ dot {\ mathbf {x}}} (0) = \ mathbf {0} \ end {cases}}}

Printr-o serie de pași matematici, se deduce că viteza corpului de-a lungul axei z variază în funcție de următoarea relație:

{\dot {x}}={\sqrt {\frac {mg}{k}}}\operatorname {tanh} \left({\sqrt {\frac {kg}{m}}}\cdot t\right)

{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ sqrt {\ frac {mg} {k}}} \ operatorname {tanh} \ left ({\ sqrt {\ frac {kg} {m}}} \ cdot t \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ sqrt {\ frac {mg} {k}}} \ operatorname {tanh} \ left ({\ sqrt {\ frac {kg} {m}}} \ cdot t \ dreapta)}

Viteza terminală de cădere V _l poate fi calculată prin determinarea valorii limită care atinge viteza pentru un timp care tinde până la infinit:

V_{l}=\lim _{t\to \infty }|\mathbf {\dot {x}} |={\sqrt {\frac {mg}{k}}}

{\ displaystyle V_ {l} = \ lim _ {t \ to \ infty} | \ mathbf {\ dot {x}} | = {\ sqrt {\ frac {mg} {k}}}}

{\ displaystyle V_ {l} = \ lim _ {t \ to \ infty} | \ mathbf {\ dot {x}} | = {\ sqrt {\ frac {mg} {k}}}}

Această relație arată că viteza tinde să se stabilizeze către o valoare limită V _l care depinde de coeficientul de rezistență hidraulică k caracteristic fluidului în care este scufundat corpul, de masa acestuia și de accelerația gravitației. Acest coeficient de rezistență hidraulică este egal cu:

\quad k={\frac {\rho AC_{d}}{2}}

{\ displaystyle \ quad k = {\ frac {\ rho AC_ {d}} {2}}}

{\ displaystyle \ quad k = {\ frac {\ rho AC_ {d}} {2}}}

:

Din cele două relații anterioare obținem următoarea relație utilă pentru a determina viteza terminală de cădere:

V_{l}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}

{\ displaystyle V_ {l} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}

{\ displaystyle V_ {l} = {\ sqrt {\ frac {2mg} {\ rho AC_ {d}}}}}

in care:

$C_{d}$ ${\ displaystyle C_ {d}}$ $CD}$ este coeficientul de tragere ;
$\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea fluidului prin care se mișcă obiectul;
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este zona secțiunii obiectului ortogonală față de direcția de mișcare (cu alte cuvinte este zona „umbrei” obiectului proiectată în jos).

În cazul unui corp sferic și pentru valori ale numărului lui Reynolds mai mici de 1, în loc să se utilizeze această relație, care necesită cunoașterea coeficientului de tragere, este posibil să se utilizeze legea lui Stokes .

Rata de ascensiune terminală

O bulă sferică care se ridică într-un fluid după un tranzitoriu inițial se deplasează cu o viteză constantă, deoarece suma vectorială a forțelor care acționează asupra acestuia este zero.