Versiera

În geometrie , The versiera este o curbă a podelei , sintetic edificabil prin intermediul unor proceduri geometrice elementare și analitic exprimabilă prin intermediul unei funcții raționale . Versiera se caracterizează printr - o formă de clopot, similară cu cea a distribuției Gauss .

Atribuit Maria Gaetana Agnesi , care a descris -o în instituțiile analitice pentru a utiliza tineretul italian ( 1748 ), de fapt , au fost deja studiate de către Pierre de Fermat în 1666 și Guido Grandi în 1703 . Numele dat de Grandi a fost versoria curba și derivat din termenul latin omonime pentru coarda legat de capătul unei vela, folosite pentru viraje. A fost Maria Gaetana Agnesi pentru a intra în numele versiera.

Traducătorul în limba engleză a cărții lui Agnesi versiera înțeleasă ca o abreviere pentru avversiera, ceea ce înseamnă vrăjitoare sau opuse lui Dumnezeu, și a numit - o vrăjitoare a curbei Agnesi (Agnesi vrăjitoare), numele sub care este cunoscut în mai multe limbi. ^[1] ^[2] ^[3]

Constructie

Construcția elementului de turnare

Având în vedere o circumferință de centru $(0,a)$ ${\ Displaystyle (0, a)}$ $(0, a)$ și raza $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și o linie dreaptă $t$ ${\ Displaystyle t}$ $T$ paralel cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ecuaţie $y=2a$ ${\ Y displaystyle = 2a}$ $y = 2a$ tangent la cercul de la punctul $(0,2a)$ ${\ Displaystyle (0,2A)}$ $(0, 2a)$ Și un pachet de linii drepte care trec prin originea axelor , The versiera este locul geometric al punctelor $M.$ ${\ Displaystyle M}$ $M.$ care au: ca abscisă, abscisa punctului $L$ ${\ L displaystyle}$ $L$ intersecția unei linii generice a fasciculului cu tangenta $t$ ${\ Displaystyle t}$ $T$ ; ordonată, ordonata punctului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ de intersecție aceeași linie a fasciculului cu circumferința.

Ecuaţie

Versetele obținute pentru diferite valori ale parametrului a: 1/2 (roșu), 1 (albastru), 3/2 (verde)

Aplicând construcția descrisă mai sus, " ecuația carteziană a curbei este: ^[4]

y={\frac {8a^{3}}{x^{2}+4a^{2}}}

{\ Y displaystyle = {\ frac {8a ^ {3}} {x ^ {2} + 4a ^ {2}}}}

y = \ frac {8a ^ 3} {x ^ 2 + 4a ^ 2}

.

' Ecuația parametrică în schimb:

{\begin{cases}x=2a\tan(\theta )\\y=2a\cos ^{2}(\theta )\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = 2a \ tan (\ theta) \\ y = 2a \ cos ^ {2} (\ theta) \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = 2a \ tan (\ theta) \\ y = 2a \ cos ^ {2} (\ theta) \ end {cazuri}}}

unde este $\theta$ ${\ Displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul format de linia dreaptă a fasciculului cu axa ordonatei.

Un parametru care utilizează numai funcții algebrice este după cum urmează: ^[4]

{\begin{cases}x=2at\\y={\dfrac {2a}{1+t^{2}}}\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = 2AT \\ = y {\ dfrac {2a} {1 + t ^ {2}}} \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} x = 2AT \\ = y {\ dfrac {2a} {1 + t ^ {2}}} \ end {cazuri}}}

Proprietate

Pentru $a=1/2$ ${\ Displaystyle a = 1/2}$ $a = 1/2$ , Ecuația devine

y={\frac {1}{x^{2}+1}}

{\ Y displaystyle = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}

y = \ frac {1} {x ^ 2 + 1}

,

care este derivata din " tangente .

Zona închisă între versului și axa abscisă deține $4\pi a^{2}$ ${\ Displaystyle 4 \ pi a ^ {2}}$ $4 \ pi a ^ 2$ , Care este de patru ori aria cercului utilizate în construcția.

Prin rotirea curbei în jurul axei abscisa este obținută printr - o suprafață în formă de ax al cărui volum este în valoare $4\pi ^{2}a^{3}$ ${\ Displaystyle 4 \ pi ^ {2} a ^ {3}}$ $4 \ pi ^ 2 a ^ 3$ .

Aplicații

Aplicația găsește versiera în fizică , în descrierea unor fenomene de rezonanță : un atom sau, mai general, o moleculă, sunt sisteme microscopice cu, pentru dinamica internă a stărilor de staționare echilibru. Atomi și molecule, în condiții obișnuite, sunt în echilibru termodinamic, în stări stabile, adică, în statele cu un conținut de energie mai mic. Dacă un atom este lovit de un electromagnetic monocromatic radiație , adică în cazul în care acesta este perturbat din exterior de către o forță periodică armonică, apoi, la fel ca toate sistemele dinamice în echilibru, sau în situații apropiate de echilibru, acesta reacționează prin absorbția, devenind excitat, adică o stare cu un conținut de energie mai mare, și, ulterior, emit energia absorbită, de-energizant și revenirea la starea stabilă mai este posibil; în cazul în care perturbația aduce energie în formă electromagnetică, atomul de re-emite, în condiții de rezonanță, această energie radiantă în aceeași formă: conform ipotezei cuantice lui Planck, rezonanta ideala are loc cu un schimb de energie care corespunde exact cu salt de energie suferit de atom, adică la o frecvență de rezonanță în mod unic determinată.

Cu toate acestea, în condiții reale, datorită prezenței altor efecte mai subtile, datorate, în parte, prezența altor atomi, spectrul de radiație nu este pur și simplu monocromatică, adică nu are o distribuție Dirac, ci prezintă o distribuție frecvențelor având o anumită lățime de bandă, cu un profil de intensitate depinde de frecvența a radiației în sine; relația dintre intensitatea radiației emise (sau absorbită) și frecvența de oscilație a radiației în sine, în anumite circumstanțe, este dată de funcția „versiera di Agnesi“. Funcția Agnesi ca parte a studiilor asupra spectrelor atomice și moleculare, este Lorentzian apel sau funcția de distribuție a Lorentz ; absorbția Lorentz (și emisie) are lungimea maximă la lungimea de undă (și , prin urmare , frecvența) a luminii incidente pentru care ar avea rezonanță în mod ideal monocromatică, adică în corespondență cu distribuția ideală a Dirac ^[1] ; în ceea ce privește acest maxim, profilul Lorentz este simetric. Diferite fenomene fizice cauza extinderilor de linie de tip Lorentz: în cazul în care nici unul dintre ei este neglijabilă, adică în cazul în care „lățimile“ ale diferitelor profiluri Lorentzian sunt comparabile, convoluția lor este încă un profil de matematică Lorentz, cu lățime egală cu suma lățimilor profilele individuale.

Există alte circumstanțe fizice pentru care rezonanța dintre atomii și emisiunile de radiație electromagnetică o linie de lărgire cu un profil Gaussian. De asemenea, în acest caz, dacă există mai multe fenomene fizice sunt semnificative, fiecare dintre care determină o linie lărgirea de tip Gaussian, sinuozitate lor are încă un profil Gaussian, dar cu „lățime“ este egală cu rădăcina pătrată a sumei pătratelor un singur Gaussian latime.

În general, lățimea liniei unui atom este deci integralei de convoluție dintre un profil Gaussian și un profil Lorentzian (sau „Agnesian“); acest profil convoluție este cunoscut ca integrală Voigt, și este un transcendent mai mare. În cazul în care , de fapt, lățimile, respectiv, a rezultat Lorentz și Gaussian care rezultă din Convolve, sunt comparabile, atunci integrala Voigt nu este exprimabilă în formă închisă, adică nu este din punct de vedere analitic reprezentabil finite de funcții elementare de soare. În cazul în care , pe de altă parte, una dintre cele două curbe este mult mai lată decât cealaltă, atunci integrala Voigt se apropie cel mai larg profil, deoarece cel mai îngust, în integralei de convoluție, se comportă, la limita, aproximativ, ca o delta Dirac .

Agnes funcționează, de asemenea, apare în fizica sau contexte de inginerie diferite din studiul sau aplicarea tehnologică a spectrelor atomice și moleculare: în aceste domenii este numit, încă o dată, funcția Lorentz.

În statistici , distribuirea uneiCauchy variabile aleatoare este exprimată printr - un versiera.

Bibliografie

(RO) Jan Wassenaar, curbe de rezonanță pe 2dcurves.com. Adus de 22 august 2008.
(RO) Robert Bruen, O scurtă istorie a Lucasian Profesorat de matematică la Universitatea Cambridge , la lucasianchair.org, mai 2005. Adus de 22 august 2008 (depusă de „URL - ul original la 1 iunie 2009).
(RO) XAH Lee, Vrajitoarea Agnesi , într -un dicționar vizual al curbelor plane speciale. Adus de 22 august 2008.
(RO) John O'Connor, Edmund Robertson, Vrajitoarea Agnesi , în MacTutor Istoria arhiva Matematică, Facultatea de Matematică și Statistică, Universitatea din St Andrews, Scoția. Adus de 22 august 2008.

Elemente conexe

Maria Gaetana Agnesi

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe versiera

linkuri externe

Versiera în Treccani.it - enciclopedii on - line, Encyclopaedia Institutul Italian.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Wassenaar-1] A ^b Wassenaar

[2] Bruen

[3] Lee

[OConnor-4] A ^b O'Connor, Robertson

[1]

[2]

[3]

[4]