Vector (matematică)

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , un vector este un element al unui spațiu vectorial [1] . Vectorii sunt, prin urmare, elemente care pot fi adăugate împreună și înmulțite cu numere, numite scalari .

Vectorii sunt utilizați în mod obișnuit în fizică pentru a indica cantități care sunt complet definite numai atunci când sunt specificate atât o mărime (sau modul ), cât și o direcție și o direcție în raport cu un alt vector sau un sistem de vectori [2] . Mărimile care pot fi descrise în acest mod se numesc mărimi vectoriale , spre deosebire de mărimile scalare care se caracterizează doar prin magnitudinea lor [2] .

Conceptul matematic de vector apare din ideea intuitivă a unei mărimi fizice (cum ar fi deplasarea , accelerația și forța ) caracterizată prin intensitate, direcție și direcție în spațiul tridimensional . În urma introducerii coordonatelor carteziene, o cantitate de acest tip ar putea fi reprezentată de o triadă de numere reale: componentele referitoare la trei direcții spațiale de referință. În formalizarea matematică ulterioară a fost definit conceptul general de spațiu vectorial, ca un set în care este definită operația de combinație liniară a două sau mai multe elemente.

În diverse domenii ale matematicii și fizicii, cum ar fi analiza funcțională sau mecanica cuantică , conceptul de spațiu vectorial este aplicat spațiilor de funcții , în care vectorii sunt funcții , precum spațiile Hilbert și spațiile Banach .

Segment orientat

Segment orientat către BA

Cea mai simplă și simplă reprezentare vectorială este segmentul orientat. În geometrie, un segment orientat , sau „vector aplicat”, este un segment dotat cu o orientare , ceea ce face diferit de . În spațiul bidimensional poate fi afișat cu un punct „de plecare” și un punct „final” , și este, de asemenea, notat cu [3] . În setul tuturor segmentelor orientate este definită o relație de echivalență , numită echivalență , fiind de acord că două segmente orientate sunt echivalente dacă au aceeași direcție, aceeași lungime și aceeași direcție. Clasa de echivalență definește un vector. Clasa de echivalență identificată printr-un vector aplicat este de obicei notat prin simbol ; se mai spune că este un reprezentant (cu siguranță nu singurul) al transportatorului gratuit . În acest fel este posibil să se definească suma într-un mod natural .

Spațiu vectorial

Vectorul este reprezentat geometric cu o săgeată care începe în și intră .

Vectorii sunt definiți ca făcând parte dintr-un spațiu vectorial ; avionul cartezian , înțeles ca un plan afin cu punct fix , este un exemplu de spațiu vectorial ( izomorf cu spațiul tangent din ): un vector este reprezentat în acest caz ca un punct al planului cartezian determinat de o pereche de numere reale . Prin desenarea unei săgeți care începe de la origine și intră , se obține reprezentarea geometrică a vectorului . În spațiul tridimensional, un vector este în mod similar un triplet al numerelor reale .

În general, ca mărime arbitrar (finit), mulțimea:

este un spațiu vectorial de dimensiune , ai căror vectori sunt tuple de numere reale:

Numeroase exemple de spații vectoriale pot fi construite prin înlocuirea câmpului numere reale cu orice câmp , de exemplu câmpul de numere complexe. Un tuplu de numere complexe este deci un vector al spațiului vectorial . Orice spațiu vectorial (deasupra câmpului ) de dimensiune finită este de fapt identificabilă cu , după ce a fixat o bază adecvată.

În multe spații vectoriale de dimensiune infinită, un vector poate fi descris ca o succesiune (infinită) de numere: totuși, acest argument necesită instrumente mai sofisticate, cum ar fi structura spațială Hilbert .

Suma și produsul la scară

Ca elemente ale unui spațiu vectorial, vectorii pot fi adăugați împreună și înmulțiți cu un scalar în funcție de operațiile care definesc spațiul vectorial în sine.

Suma a doi vectori

În două dimensiuni vectorii pot fi adăugați cu regula paralelogramului, care corespunde sumei a doi vectori Și .

În general, suma a doi vectori Și în este definit după cum urmează:

Suma este asociativă , comutativă și are elementul neutru care este vectorul nul; în plus, fiecare element are un opus . Cu alte cuvinte, vectorii cu suma formează un grup abelian .

Produs al unui scalar pentru un vector

Produsul unui scalar în pentru un vector în este definit după cum urmează:

În special, . Produsul este asociativ și se bucură de proprietatea distributivă în raport cu suma.

Baza unui spațiu vectorial și coordonatele unui vector

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: coordonatele unui vector .

Extinderea conceptului de coordonate față de axele unui plan cartezian este aceea a coordonatelor unui vector față de o bază . O bază este un set de vectori astfel încât fiecare element al spațiului vectorial să poată fi scris într-un mod unic ca o combinație liniară a vectorilor aparținând acelui set. O bază a planului cartezian sunt, de exemplu, vectorii , deoarece fiecare vector al planului poate fi scris ca suma acestora multiplicată fiecare cu un scalar adecvat.

Mai exact, având în vedere un spațiu vectorial pe un câmp , întregul de vectori ai este o bază de dacă acești vectori sunt liniar independenți în și generează , adică:

Reprezentarea grafică a unei descompuneri vectoriale. În plan, având în vedere doi vectori ne paraleli, un vector poate fi descompus într-un mod unic prin adăugarea a doi vectori paraleli la cele două date.

În special, pentru fiecare transportator din scalarii sunt coordonatele sale în raport cu baza aleasă.

Prin urmare, dat o bază , orice vector poate fi exprimat ca o combinație liniară:

Descompunerea vectorilor este o procedură utilizată de exemplu în fizică pentru a descompune forțele de -a lungul unor direcții particulare (de exemplu paralele și perpendiculare pe anumite constrângeri).

Bazele și versorii ortonormali

Reprezentarea grafică a componentelor carteziene ale unui vector

Un caz particular al sistemului de referință este cel ortonormal , în care vectorii aleși ca bază sunt ortogonali între ei (bază ortogonală) și toți ai unității de lungime, adică unități vectoriale . În cazul planului sau spațiului euclidian , un astfel de sistem de coordonate se numește cartezian. Prin urmare, un vector este descompus în componentele sale carteziene și, în mod convențional, unitățile vectoriale sunt denumite cu simboluri , Și respectiv pentru axe , Și . Versorii sunt astfel încât:

cu produsul vector . Un vector poate fi apoi scris ca o combinație liniară a versorilor canonici:

În general, într-un sistem cartezian de referință, componentele unui vector coincid cu coeficienții Fourier .

Norma unui vector

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Norma (matematică) .

Elementele unui spațiu vectorial nu au automat o „lungime”, aceasta este definită numai dacă se adaugă o structură matematică suplimentară: norma (sau modulul) unui vector, deci modulul nu este o proprietate intrinsecă a vectorului.

Un spațiu vector în care este definită norma unui vector este un spațiu normat . Pe orice spațiu vectorial este posibil să se definească diferite tipuri de norme. De exemplu norma euclidiană a unui vector este numărul real negativ:

Această cantitate este interpretată geometric ca lungimea vectorului. Evident, este de asemenea posibil să se definească o normă diferită de cea euclidiană în acest caz se obțin geometrii neeuclidiene .

Un alt exemplu este următorul: spațiul funcțiilor continue cu valoare reală definit pe un interval închis poate fi echipat cu standardul:

Produs scalar și modulul unui vector

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produs Dot .

Prin definirea unei forme pătratice în spațiul vectorial considerat este asociat cu fiecare pereche de vectori Și o urcare . De exemplu norma caracterizează „lungimea” vectorului . Adesea forma pătratică considerată este un produs scalar, care caracterizează structura spațiului euclidian : astfel doi vectori Și sunt ortogonale dacă , în timp ce sunt paralele când își asumă valoarea maximă.

Produsul scalar standard a doi vectori Și în este numărul:

Produsul scalar dintre doi vectori este de obicei indicat cu unul dintre următoarele simboluri:

unde este se referă la produsul matricial dintre un vector rând și un vector coloană, cu transpunerea de , care este echivalent cu produsul standard dot.

Spațiile importante cu un produs interior sunt spațiul euclidian (real) și spațiul Hilbert (complex).

Folosind produsul scalar standard este posibil să scrieți norma euclidiană ca:

Spațiu dublu și acoperitori

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: spațiu dual .

Aplicațiile care acționează asupra unui spațiu vector și returnează un număr sunt numite funcționale . Setul de funcționale liniare definite pe vectorii unui spațiu vectorial este spațiul dual , ale căror elemente, totuși, nefiind vectori, nu suferă o transformare contravariantă la schimbarea coordonatelor, ci o transformare covariantă (sunt deci covectori). De exemplu, impulsul sau impulsul unghiular sunt covectori.

Produsul scalar definește în mod natural un izomorfism între vectori și covectori, adică între spațiul vectorial și dualul său. Dacă produsul scalar este euclidian și baza este ortonormală, atunci componentele vectorilor și ale covectorilor coincid, motiv pentru care distincția lor este adesea trecută cu vederea în cele mai elementare texte de fizică.

Operații în spațiul tridimensional

În spațiul tridimensional, sunt utilizate în special câteva operații suplimentare între vectori.

Vector sau produs extern între doi vectori

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produs Vector .
Reprezentarea grafică a produsului vector . Direcția este perpendiculară pe cea a planului format de vectori Și , în timp ce modulul coincide cu zona regiunii de culoare gri.
Pentru a determina direcția produsului vectorial între Și se utilizează regula mâinii drepte

Produsul vector este o operație definită între doi vectori Și din care returnează un al treilea vector care are direcția liniei perpendiculare pe planul identificat de Și , iar modulul său este dat de formula:

unde este este unghiul dintre Și . Versetul vectorului este dat de regula mâinii drepte : plasarea degetului mare, arătător și degetele mijlocii perpendiculare una pe cealaltă, dacă degetul mare indică direcția iar indicele direcția , apoi degetul mijlociu indică direcția (vezi figura din lateral).

Produsul vector este dat în mod explicit de:

unde este indică determinantul și sunt vectorii axelor. Produsul vector este uneori indicat și cu notația .

Se observă că produsul vector este zero dacă cel puțin unul dintre cei doi vectori este vectorul nul sau dacă vectorii sunt paraleli între ei. În plus, produsul vector satisface identitatea ciclică Jacobi , este distributiv în raport cu suma:

și anticomutativ:

Produs mixt din doi purtători

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produs mixt .
Produsul mixt din trei vectori este volumul paralelipipedului construit pe aceștia.

Un produs mixt este o expresie în care produsele vectoriale scalare și vectoriale apar simultan. De exemplu, produsul mixt al a trei purtători , , este de tipul și este o urcare. Valoarea absolută a acestui scalar nu depinde de ordinea celor trei vectori și măsoară volumul paralelipipedului construit pe ele.

Un produs mixt care include două sau mai multe produse vectoriale este întotdeauna atribuibil unei sume de produse mixte mai simple, fiecare având cel mult un produs vector. De exemplu:

Interpretarea matricei

O matrice formată dintr-un singur rând, adică de dimensiune , se numește vector rând ; o matrice formată dintr-o singură coloană sau mai bine zis de dimensiune , se numește vectorul coloană . Operatorul de transpunere , în general notat cu a cu exponent ( ) transformă vectorii de rând în vectori de coloană și invers. Adesea purtătorii de sunt descriși ca vectori de coloană, pentru a descrie transformările liniare ca un produs cu matrice .

Produs al unei matrice pentru un vector

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Înmulțirea între matrice .

Vectorii de pot fi considerate tablouri cu un rând sau cu o coloană. Din acest motiv este legitim să vorbim despre multiplicări între matrice și vectori; în conformitate cu regulile înmulțirii matricei , un vector coloană (de dimensiune ) va fi înmulțită la stânga cu o matrice a furnizat numărul de coloane din este .

Acest tip de înmulțire este în general destinat și utilizat, deși, în principiu, este posibilă și multiplicarea unui vector spre dreapta pentru o matrice cu dungi.

Matrix ca produs extern

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produs tensor .

Produsul Kronecker , care poate fi definit ca produsul tensor dintre un vector și respectiv unul transpus Și , este matricea :

unde indicativul indică operațiunea de transpunere . De exemplu pentru :

Mai general, având în vedere doi vectori Și aparținând a două spații vectoriale Și deasupra aceluiași câmp , produsul tensorial dintre cei doi vectori este un tensor de rang

De sine Și sunt spații vectoriale de dimensiune Și , fixați două baze , produsul tensor poate fi descris ca un spațiu matricial, iar produsul tensorial în coordonate este scris ca mai sus.

Schimbarea bazei

Într-un spațiu de dimensiune finită, un vector poate fi definit ca un tuplu de numere care, în urma unei modificări a sistemului de referință, suferă o transformare contravariantă , adică trecând prin sistemul de coordonate la sistem avem:

unde a fost utilizată notația lui Einstein și sunt componentele vectorului în noul sistem de referință. Prin urmare, un vector este un tensor de tip . Mai mult, un scalar poate fi gândit ca un vector al unei singure componente și coincide cu un tensor de rang.

Notă

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Turin, Bollati Boringhieri , 1989, p. 17, ISBN 978-88-339-5447-9 .
  2. ^ A b (EN) Editorii Enciclopediei Britannice, Vector / Physics pe Britannica.com. Adus pe 4 august 2018 .
  3. ^ Edoardo Sernesi, Geometry 1 , Turin, Bollati Boringhieri , 1989, pp. 13-14, ISBN 978-88-339-5447-9 .

Bibliografie

Elemente conexe

Altri progetti

Collegamenti esterni

Controllo di autorità Thesaurus BNCF 8106 · GND ( DE ) 4202708-1
Matematica Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica