Versor

În matematică , un versor este un vector într-un spațiu normat al modulului unitar, utilizat pentru a indica o anumită direcție și direcție.

Având în vedere orice vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ (diferit de vectorul nul care este singurul care are un modul egal cu zero) este posibil să se formeze un vector unitate prin multiplicarea acestuia cu reciprocitatea modulului său:

{\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\mathbf {v} }{\lVert \mathbf {v} \rVert }}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} = {\ frac {\ mathbf {v}} {\ lVert \ mathbf {v} \ rVert}}}

{\ hat {{\ mathbf v}}} = {\ frac {{\ mathbf {v}}} {\ lVert {\ mathbf {v}} \ rVert}}

Exemple

Exemple de vectori vectori frecvent folosiți sunt:

unitățile vectoriale asociate axelor carteziene în spațiu: sunt un set de trei vectori de modul unitar, fiecare paralel cu una dintre axele de coordonate. Acestea sunt indicate echivalent cu:

${\hat {\imath }},\ {\hat {\jmath }},\ {\hat {k}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ imath}}, \ {\ hat {\ jmath}}, \ {\ hat {k}}}$ ${\ hat {\ imath}}, \ {\ hat {\ jmath}}, \ {\ hat {k}}$
$\mathbf {e} _{x},\ \mathbf {e} _{y},\ \mathbf {e} _{z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x}, \ \ mathbf {e} _ {y}, \ \ mathbf {e} _ {z}}$ ${\ mathbf {e}} _ {x}, \ {\ mathbf {e}} _ {y}, \ {\ mathbf {e}} _ {z}$
$\mathbf {e} _{1},\ \mathbf {e} _{2},\ \mathbf {e} _{3}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ \ mathbf {e} _ {2}, \ \ mathbf {e} _ {3}}$ ${\ mathbf {e}} _ {1}, \ {\ mathbf {e}} _ {2}, \ {\ mathbf {e}} _ {3}$
${\hat {\mathbf {x} }},\ {\hat {\mathbf {y} }},\ {\hat {\mathbf {z} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}, \ {\ hat {\ mathbf {y}}}, \ {\ hat {\ mathbf {z}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {x}}}}, \ {\ hat {{\ mathbf {y}}}}, \ {\ hat {{\ mathbf {z}}}}$
$\mathbf {x} _{0},\ \mathbf {y} _{0},\ \mathbf {z} _{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}, \ \ mathbf {y} _ {0}, \ \ mathbf {z} _ {0}}$ ${\ mathbf {x}} _ {0}, \ {\ mathbf {y}} _ {0}, \ {\ mathbf {z}} _ {0}$
${\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\ {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ {\ begin {bmatrix } 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}, \ {\ begin {bmatrix} 0 \ \ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}$

unitățile vectoriale asociate axelor carteziene în plan: analog cu cele anterioare. Sunt indicate ca cele anterioare, cu excepția faptului că a treia unitate vectorică lipsește.
unitățile vectoriale asociate cu un sistem de coordonate polare în plan, care indică direcția radială și unghiulară. Acestea pot fi indicate cu:

${\hat {r}},\ {\hat {\theta }}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}}, \ {\ hat {\ theta}}}$ ${\ hat {r}}, \ {\ hat {\ theta}}$
${\hat {\mathbf {r} }},\ {\hat {\boldsymbol {\theta }}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}, \ {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {r}}}}, \ {\ hat {{\ boldsymbol {\ theta}}}}$
$\mathbf {e} _{r},\ \mathbf {e} _{\theta }$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r}, \ \ mathbf {e} _ {\ theta}}$ ${\ mathbf {e}} _ {r}, \ {\ mathbf {e}} _ {{\ theta}}$
$\mathbf {r} _{0},\ {\boldsymbol {\theta }}_{0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}, \ {\ boldsymbol {\ theta}} _ {0}}$ ${\ mathbf {r}} _ {0}, \ {\ boldsymbol {\ theta}} _ {0}$

Având în vedere o curbă în plan, pentru fiecare punct al acesteia este posibil să se ia în considerare versorul tangent și versorul normal . Acestea sunt indicate cu:

${\hat {t}},\ {\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {t}}, \ {\ hat {n}}}$ ${\ hat {t}}, \ {\ hat {n}}$
${\hat {\mathbf {t} }},\ {\hat {\mathbf {n} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {t}}}, \ {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {t}}}}, \ {\ hat {{\ mathbf {n}}}}$
$\mathbf {e} _{t},\ \mathbf {e} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {t}, \ \ mathbf {e} _ {n}}$ ${\ mathbf {e}} _ {t}, \ {\ mathbf {e}} _ {n}$

Derivat de un versor

Același subiect în detaliu: Derivat .

Este ${\hat {\mathbf {v} }}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} (t)}$ ${\ hat {{\ mathbf {v}}}} (t)$ un versor dependent de timp. Dacă luăm în considerare produsul punct al acestui vector de la sine, avem:

{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=\left|{\hat {\mathbf {v} }}\right|^{2}

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}} = \ left | {\ hat {\ mathbf {v}}} \ right | ^ {2}}

{\ hat {{\ mathbf {v}}}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}} = \ left | {\ hat {{\ mathbf {v}}}} \ right | ^ { 2}

amintind că versorii au un modul unitar:

{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=1

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}} = 1}

{\ hat {{\ mathbf {v}}}} \ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}} = 1

Luând această ultimă expresie și derivând-o membru cu membru în raport cu timpul, obținem:

{\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}+{\hat {\mathbf {v} }}\cdot {\hat {\mathbf {v} }}'=0

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} '\ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}} + {\ hat {\ mathbf {v}}} \ cdot {\ hat {\ mathbf {v }}} '= 0}

{\ hat {{\ mathbf {v}}}} '\ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}} + {\ hat {{\ mathbf {v}}}} \ cdot {\ hat {{ \ mathbf {v}}}} '= 0

Având în vedere comutativitatea produsului dot

2\left({\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}\right)=0

{\ displaystyle 2 \ left ({\ hat {\ mathbf {v}}} '\ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}} \ right) = 0}

2 \ left ({\ hat {{\ mathbf {v}}}} '\ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}} \ right) = 0

{\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}=0

{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} '\ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}} = 0}

{\ hat {{\ mathbf {v}}}} '\ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}} = 0

Întrucât produsul dot al ${\hat {\mathbf {v} }}'\cdot {\hat {\mathbf {v} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {v}}} '\ cdot {\ hat {\ mathbf {v}}}}$ ${\ hat {{\ mathbf {v}}}} '\ cdot {\ hat {{\ mathbf {v}}}}$ , este clar că derivatul unui versor este întotdeauna perpendicular pe versorul însuși. Acest lucru se datorează faptului că produsul scalar poate fi, de asemenea, văzut ca proiecția unui vector asupra celuilalt, care dispare dacă și numai dacă cei doi vectori sunt precis perpendiculari.

Derivatul unui versor, în general, nu este un versor; pentru a demonstra acest lucru, este suficient să se ia în considerare versorul generic în coordonate polare: