Vector Poynting

Circuit continuu format dintr-o baterie (V) și un rezistor (R) care arată direcția vectorului Poynting (S, albastru) în spațiul înconjurător, împreună cu câmpurile electrice (E, roșu) și magnetic (H, verde) din care derivă. În regiunea din jurul bateriei, vectorul Poynting este îndreptat spre exterior, indicând faptul că puterea curge de la baterie la câmpuri; în regiunea din jurul rezistenței, vectorul este îndreptat spre interior, indicând faptul că puterea curge din câmpuri către rezistor. Indiferent de planul P dintre baterie și rezistor, fluxul Poynting trece prin el în direcția rezistorului.

În fizică , vectorul Poynting , numit după fizicianul britanic John Henry Poynting , este o cantitate vectorială care descrie fluxul de energie (energie pe unitate de suprafață și pe unitate de timp) asociată cu propagarea câmpului electromagnetic . Mai precis este definit ca cantitatea de iradiere transportată de radiația electromagnetică măsurată în W / m ² . ^[1]

Este o relație importantă între câmpul electric și câmpul magnetic al cărui flux la orice suprafață reprezintă energia electromagnetică transportată de radiația electromagnetică în unitatea de timp prin suprafața însăși. ^[2]

Definiție

Vectorul Poynting este definit ca produsul vector al câmpului electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ și câmpul magnetic $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ în materie ^[1] :

\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}}

\ mathbf S = \ mathbf E \ times \ mathbf H

Prin urmare, este perpendiculară pe vectorii celor două câmpuri și este de acord cu direcția de propagare a radiației.

Teorema lui Poynting

Același subiect în detaliu: Teorema lui Poynting și energia câmpului electromagnetic .

Luați în considerare o suprafață închisă $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ care conține un anumit volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în cadrul căruia există un câmp electromagnetic , vectorul Poynting poate fi obținut direct din suma energiilor produse de câmpul electric și câmpul magnetic în formă integrală:

U=\int _{V}u_{E}\,\mathrm {d} V+\int _{V}u_{B}\,\mathrm {d} V=\int _{V}\left({\frac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }{2}}+{\frac {\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} }{2}}\right)\mathrm {d} V

{\ displaystyle U = \ int _ {V} u_ {E} \, \ mathrm {d} V + \ int _ {V} u_ {B} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {V} \ stânga ({\ frac {\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D}} {2}} + {\ frac {\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B}} {2}} \ right) \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle U = \ int _ {V} u_ {E} \, \ mathrm {d} V + \ int _ {V} u_ {B} \, \ mathrm {d} V = \ int _ {V} \ stânga ({\ frac {\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D}} {2}} + {\ frac {\ mathbf {H} \ cdot \ mathbf {B}} {2}} \ right) \ mathrm {d} V}

unde este $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ Și $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ sunt vectorii asociați cu cele două câmpuri în materie și $u_{E}$ ${\ displaystyle u_ {E}}$ $u_E$ , $u_{B}$ ${\ displaystyle u_ {B}}$ $u_B$ densitățile energiei electrice și magnetice , a căror sumă dă densitatea totală a energiei:

u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {H} \ right)}

u = \ frac {1} {2} \ left (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {D} + \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {H} \ right)

Derivând parțial expresia integrală a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în ceea ce privește timpul, obținem:

{\frac {\partial U}{\partial t}}=\int _{V}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)\mathrm {d} V

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = \ int _ {V} \ left (\ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t }} + \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = \ int _ {V} \ left (\ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t }} + \ mathbf {H} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} V}

și inserând cantitățile respective date de ecuațiile lui Maxwell în locul derivatelor în timp, avem:

{\frac {\partial U}{\partial t}}=\int _{V}{\bigl (}\mathbf {E} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} -\mathbf {H} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ){\bigr )}\,\mathrm {d} V

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = \ int _ {V} {\ bigl (} \ mathbf {E} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {H} ) - \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} - \ mathbf {H} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E}) {\ bigr)} \, \ mathrm {d} V }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = \ int _ {V} {\ bigl (} \ mathbf {E} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {H} ) - \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} - \ mathbf {H} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E}) {\ bigr)} \, \ mathrm {d} V }

unde este $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ este densitatea curentului . Știind că relația operațională are:

\mathbf {E} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} )=-\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )

{\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {H}) - \ mathbf {H} \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {E}) = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}

\ mathbf E \ cdot (\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf H) - \ mathbf H \ cdot (\ mathbf \ nabla \ times \ mathbf E) = - \ mathbf \ nabla \ cdot (\ mathbf E \ times \ mathbf H )

și folosind teorema divergenței pentru integrala lui $-\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )$ ${\ displaystyle - \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H})}$ $- \ mathbf \ nabla \ cdot (\ mathbf E \ times \ mathbf H)$ , ajungem la: ^[3]

{\frac {\partial U}{\partial t}}=-\oint _{\partial V}(\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\,\mathrm {d} S-\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} \,\mathrm {d} V

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = - \ oint _ {\ partial V} (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, \ mathrm {d} S- \ int _ {V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} V}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial t}} = - \ oint _ {\ partial V} (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}) \, \ mathrm {d} S- \ int _ {V} \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} \, \ mathrm {d} V}

a cărei formă locală este următoarea:

{\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {S} - \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {E}}

\ frac {\ partial u} {\ partial t} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {S} - \ mathbf J \ cdot \ mathbf {E}

Termenul $\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H}}$ $\ mathbf E \ times \ mathbf H$ reprezintă prin definiție vectorul Poynting, în timp ce cea de-a doua integrală a celui de-al doilea membru reprezintă contribuția în termeni de energie mecanică (lucru efectuat împotriva câmpului electromagnetic) datorită prezenței sarcinilor și curenților conținuți în volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Din punct de vedere fizic, expresia anterioară exprimă faptul că variația în timp a energiei electromagnetice conținută în volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ delimitat de suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este egal cu fluxul vectorului Poynting prin suprafață, plus energia mecanică disipată (de exemplu prin efectul Joule ) în materia conținută în interior. Cu alte cuvinte, este o expresie generală a principiului conservării energiei în cazul electromagnetic.

Analiza frecvenței

În cazul unui câmp electromagnetic cu dependență periodică sinusoidală de timp, fluxul vectorial mediu Poynting pe unitate de timp poate fi obținut prin transformarea câmpurilor conform lui Fourier în numere complexe. Transportatorul ia apoi forma:

{\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\mathrm {Re} \left(\mathbf {\widetilde {E}} \right)\times \mathrm {Re} \left(\mathbf {\widetilde {H}} \right)\\&=\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} e^{j\omega t}\right)\times \mathrm {Re} \left(\mathbf {H_{c}} e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E_{c}} e^{j\omega t}+\mathbf {E_{c}} ^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {H_{c}} e^{j\omega t}+\mathbf {H_{c}} ^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}+\mathbf {E_{c}} ^{*}\times \mathbf {H_{c}} +\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} e^{2j\omega t}+\mathbf {E_{c}} ^{*}\times \mathbf {H_{c}} ^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}+\left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}\right)^{*}+\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} e^{2j\omega t}+\left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} e^{2j\omega t}\right)^{*}\right)\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {S} & = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \\ & = \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde {E}} \ dreapta) \ times \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde {H}} \ right) \\ & = \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} e ^ {j \ omega t} \ right) \ times \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {H_ {c}} e ^ {j \ omega t} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {E_ {c}} e ^ {j \ omega t} + \ mathbf {E_ {c}} ^ {*} e ^ {- j \ omega t} \ right) \ times {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {H_ {c}} e ^ {j \ omega t} + \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} e ^ {- j \ omega t} \ right) \\ & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} + \ mathbf {E_ {c}} ^ {*} \ times \ mathbf {H_ {c}} + \ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ {2j \ omega t} + \ mathbf {E_ {c}} ^ {*} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} e ^ {- 2j \ omega t} \ right) \\ & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ mathbf {E_ {c} } \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} + \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} \ right) ^ {*} + \ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ {2j \ omega t} + \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ { 2j \ omega t} \ right) ^ {*} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} \ right) + {\ frac { 1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ {2j \ omega t} \ right) \ end {align}}}

\ begin {align} \ mathbf {S} & = \ mathbf {E} \ times \ mathbf {H} \\ & = \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde E} \ right) \ times \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde H} \ right) \\ & = \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_c} e ^ {j \ omega t} \ right) \ times \ mathrm {Re } \ left (\ mathbf {H_c} e ^ {j \ omega t} \ right) \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ mathbf {E_c} e ^ {j \ omega t} + \ mathbf {E_c} ^ * e ^ {- j \ omega t} \ right) \ times \ frac {1} {2} \ left (\ mathbf {H_c} e ^ {j \ omega t} + \ mathbf {H_c} ^ * e ^ {- j \ omega t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} ^ * + \ mathbf {E_c} ^ * \ times \ mathbf {H_c} + \ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} e ^ {2j \ omega t} + \ mathbf {E_c} ^ * \ times \ mathbf {H_c} ^ * e ^ {- 2j \ omega t} \ right) \\ & = \ frac {1} {4} \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} ^ * + \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} ^ * \ right) ^ * + \ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} e ^ {2j \ omega t} + \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} e ^ { 2j \ omega t} \ right) ^ * \ right) \\ & = \ frac {1} {2} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} ^ * \ right) + \ frac {1} {2} \ mathrm {R e} \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} e ^ {2j \ omega t} \ right) \ end {align}

iar media timpului este dată de:

\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}\right)+{\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} e^{2j\omega t}\right)\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ mathbf {S} (t) \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ {2j \ omega t} \ right) \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ mathbf {S} (t) \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} \ right) + {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} e ^ {2j \ omega t} \ right) \ mathrm {d} t}

Deoarece ultimul termen din dreapta este o undă sinusoidală:

\mathrm {Re} \left(e^{2j\omega t}\right)=\cos 2\omega t

{\ displaystyle \ mathrm {Re} \ left (e ^ {2j \ omega t} \ right) = \ cos 2 \ omega t}

{\ displaystyle \ mathrm {Re} \ left (e ^ {2j \ omega t} \ right) = \ cos 2 \ omega t}

media sa este zero și, prin urmare, avem:

\langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {E_{c}} \times \mathbf {H_{c}} ^{*}\right)={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\left[\mathbf {E_{c}} e^{i\omega t}\right]\times \left[\mathbf {H_{c}} ^{*}e^{-i\omega t}\right]\right)={\frac {1}{2}}\mathrm {Re} \left(\mathbf {\widetilde {E}} \times \mathbf {\widetilde {H}} ^{*}\right)

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {S} \ rangle = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_ {c}} \ times \ mathbf {H_ {c}} ^ {*} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ left [\ mathbf {E_ {c}} e ^ {i \ omega t} \ right] \ times \ left [\ mathbf {H_ {c}} ^ {*} e ^ {- i \ omega t} \ right] \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde {E}} \ times \ mathbf {\ widetilde {H}} ^ {*} \ right)}

\ langle \ mathbf {S} \ rangle = \ frac {1} {2} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {E_c} \ times \ mathbf {H_c} ^ * \ right) = \ frac {1} { 2} \ mathrm {Re} \ left (\ left [\ mathbf {E_c} e ^ {i \ omega t} \ right] \ times \ left [\ mathbf {H_c} ^ * e ^ {- i \ omega t} \ right] \ right) = \ frac {1} {2} \ mathrm {Re} \ left (\ mathbf {\ widetilde E} \ times \ mathbf {\ widetilde H} ^ * \ right)

.

Intensitatea unei unde electromagnetice

În cazul unei unde plane , știind că câmpurile electrice și magnetice sunt ortogonale între ele $\mathbf {E} =\mathbf {B} \times \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {B} \ times \ mathbf {v}}$ $\ mathbf E = \ mathbf B \ times \ mathbf v$ și ortogonal față de direcția de propagare a undei, presupunând că nu există efecte disipative, avem că:

\mathbf {S} ={\frac {\mathbf {E} \times \mathbf {B} }{\mu }}={\frac {1}{\mu }}(\mathbf {B} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {B} ={\frac {B^{2}}{\mu }}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {\ mu}} = {\ frac {1} {\ mu}} (\ mathbf {B} \ times \ mathbf {v}) \ times \ mathbf {B} = {\ frac {B ^ {2}} {\ mu}} \ mathbf {v}}

\ mathbf S = \ frac {\ mathbf E \ times \ mathbf B} {\ mu} = \ frac {1} {\ mu} (\ mathbf B \ times \ mathbf v) \ times \ mathbf B = \ frac {B ^ 2} {\ mu} \ mathbf v

unde este $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este viteza de propagare a undei. Sau în ceea ce privește câmpul electric:

\mathbf {S} =\varepsilon E^{2}\mathbf {v} ={\frac {E^{2}}{Z}}\mathbf {\hat {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ varepsilon E ^ {2} \ mathbf {v} = {\ frac {E ^ {2}} {Z}} \ mathbf {\ hat {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {S} = \ varepsilon E ^ {2} \ mathbf {v} = {\ frac {E ^ {2}} {Z}} \ mathbf {\ hat {n}}}

unde este ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ $\ hat n$ este vectorul care identifică direcția de propagare a undei e $Z={\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}$ ${\ displaystyle Z = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}$ $Z = \ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}$ este impedanța caracteristică a materialului în care se propagă unda.

Modulul vectorului Poynting este intensitatea undei, adică energia care traversează suprafața ortogonală la viteza de propagare în unitatea de timp:

S={\frac {E^{2}}{Z}}=E^{2}{\sqrt {\frac {\varepsilon }{\mu }}}=H^{2}{\sqrt {\frac {\mu }{\varepsilon }}}

{\ displaystyle S = {\ frac {E ^ {2}} {Z}} = E ^ {2} {\ sqrt {\ frac {\ varepsilon} {\ mu}}} = H ^ {2} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}}}

S = \ frac {E ^ 2} {Z} = E ^ 2 \ sqrt {\ frac {\ varepsilon} {\ mu}} = H ^ 2 \ sqrt {\ frac {\ mu} {\ varepsilon}}

Dacă unda plană poate fi aproximată cu o undă monocromatică , aceasta se caracterizează printr-o tendință sinusoidală de tipul

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {E} _ {0} \ cos (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}

\ mathbf E = \ mathbf E_0 \ cos (\ mathbf k \ cdot \ mathbf r - \ omega t)

și același lucru este valabil și pentru câmpul magnetic. Rezultă că intensitatea undei este, de asemenea, o funcție sinusoidală în aceleași argumente și trebuie mediată pe o perioadă:

{\bar {S}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Z}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Z}}

{\ displaystyle {\ bar {S}} = {\ frac {E_ {0} ^ {2}} {2Z}} = {\ frac {E _ {\ text {eff}} ^ {2}} {Z} }}

{\ displaystyle {\ bar {S}} = {\ frac {E_ {0} ^ {2}} {2Z}} = {\ frac {E _ {\ text {eff}} ^ {2}} {Z} }}

unde este $E_{\text{eff}}={\frac {E_{0}}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle E _ {\ text {eff}} = {\ frac {E_ {0}} {\ sqrt {2}}}}$ $E_ \ text {eff} = \ frac {E_0} {\ sqrt {2}}$ este valoarea medie a intensității undei calculate pe o perioadă.

În cazul unei unde sferice , fața de undă este o suprafață sferică și viteza este radială. Deci intensitatea undei depinde de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

{\bar {S}}={\frac {E_{0}^{2}}{2Zr^{2}}}={\frac {E_{\text{eff}}^{2}}{Zr^{2}}}

{\ displaystyle {\ bar {S}} = {\ frac {E_ {0} ^ {2}} {2Zr ^ {2}}} = {\ frac {E _ {\ text {eff}} ^ {2} } {Zr ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ bar {S}} = {\ frac {E_ {0} ^ {2}} {2Zr ^ {2}}} = {\ frac {E _ {\ text {eff}} ^ {2} } {Zr ^ {2}}}}

de aceea scade pe măsură ce inversul pătratului distanței.

Notă

^ ^a ^b Mencuccini, Silvestrini , Pagina 491 .
^ Lionel Lovitch, Sergio Rosati, General Physics, vol. 2 , Editura Ambrosiana, 1996.
^ Jackson , pagina 259 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
(EN) Richard Becker & Sauter, F, Câmpuri și interacțiuni electromagnetice , New York, Dover, 1964, ISBN 0-486-64290-9 .
( EN ) Joseph Edminister, schița teoriei și problemelor electromagnetice a lui Schaum , New York, McGraw-Hill Professional, 1995, p. 225, ISBN 0-07-021234-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Poynting vector , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4403333-3

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[teorema-1] Mencuccini, Silvestrini , Pagina 491 .

[2] Lionel Lovitch, Sergio Rosati, General Physics, vol. 2 , Editura Ambrosiana, 1996.

[3] Jackson , pagina 259 .

[1]

[2]

[3]