vorticitate

In dinamica fluidelor , vorticitate este definită ca fiind cantitatea vector:

{\bar {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ vec {\ nabla}} \ ori {\ vec {V}}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ vec {\ nabla}} \ ori {\ vec {V}}}

care este viteza de rotor ; reprezintă , de asemenea, suprafața de circulație densitate :

{\bar {\omega }}={\frac {\partial \Gamma }{\partial r^{2}}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ frac {\ parțial \ Gamma} {\ parțial r ^ {2}}}}

{\ Displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ frac {\ parțial \ Gamma} {\ parțial r ^ {2}}}}

unde este:

$\Gamma =\oint _{\partial S}{\vec {V}}\cdot {\vec {t}}dS$ ${\ Displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ S parțial} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {t}} dS}$ ${\ Displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ S parțial} {\ vec {V}} \ cdot {\ vec {t}} dS}$
${\vec {t}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {t}}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {t}}}$ este tangenta la traiectoria vectorului

Vorticitate este apoi conectat la viteza de rotație a unui element de fluid și în particular este demonstrată prin studierea deformării care:

\omega =2\Omega

{\ Displaystyle \ omega = 2 \ Omega}

{\ Displaystyle \ omega = 2 \ Omega}

unde este $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este viteza instantanee de rotație rigidă a elementului fluid.

În general, dinamica vorticitate este descrisă de ecuația vorticitate .

fluide incompresibile

Într - un fluid incompresibil, vorticitate apare numai în prezența unor contururi solide și derivă din condiția aderenței, și anume faptul că fluxul nu curge pe perete. Viteza relativă între limita de fluid și este solidă, cu alte cuvinte considerate zero și particulele în contact direct cu peretele va adera la ea, în timp ce aceia doar mai departe va avea o anumită viteză relativă, care nu este zero.

Să considerăm un curent uniform și o placă plană de lungime Dy și grosime neglijabilă cufundat în aceeași direcție ca și în prezent curent în domeniu. Să considerăm o infinitezimal suprafață bidimensională a fluidului dx Dy, unde x indică axa paralelă cu fluxul și y indică pe axa normală a plăcii, în contact cu fața superioară a plăcii în sine. Prin urmare, circulația de delimitare se va baza pe teorema rotorului :

\operatorname {d} \Gamma ={\frac {\operatorname {d} (x,y)}{\operatorname {d} t}}\cdot \operatorname {d} (x,y)=\nabla \times {\frac {\operatorname {d} (x,y)}{\operatorname {d} t}}\cdot \operatorname {d} x\Delta y=\omega \operatorname {d} x\Delta y

{\ Displaystyle \ operatorname {d} \ Gamma = {\ frac {\ operatorname {d} (x, y)} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} (x, y) = \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} (x, y)} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} x \ delta y = \ omega \ operatorname {d} x \ Delta y}

{\ Displaystyle \ operatorname {d} \ Gamma = {\ frac {\ operatorname {d} (x, y)} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} (x, y) = \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} (x, y)} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} x \ delta y = \ omega \ operatorname {d} x \ Delta y}

Elementul de pe fața superioară va avea o viteză de-a lungul axei x, în timp ce pe fața inferioară, în contact cu brama, acesta va trebui să satisfacă condiția la limită de adeziune, prin urmare ecuația se reduce la:

\omega \,\operatorname {d} x\,\Delta y=-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\operatorname {d} x

{\ Displaystyle \ omega \, \ operatorname {d} x \, \ Delta y = - {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} \ operatorname {d} x}

{\ Displaystyle \ omega \, \ operatorname {d} x \, \ Delta y = - {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} \ operatorname {d} x}

din care se poate deduce că valoarea vorticitate totală prezentă la o anumită x coordonată a plăcii va fi:

\omega \Delta y=-{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ omega \ Delta y = - {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

{\ Displaystyle \ omega \ Delta y = - {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

vorticitate pe fața superioară a plăcii va fi, în consecință:

\omega _{-}=-{\frac {1}{\Delta y}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ omega _ {-} = - {\ frac {1} {\ Delta y}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {-} = - {\ frac {1} {\ Delta y}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

Cu considerente similare, am ajuns să spunem că vorticitate total prezent pe fața inferioară va fi:

\omega _{+}={\frac {1}{\Delta y}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ omega _ {+} = {\ frac {1} {\ Delta y}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

{\ Displaystyle \ omega _ {+} = {\ frac {1} {\ Delta y}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}}}

Executarea suma acestor doi termeni se poate observa că vorticitate globală a fluxului este zero, așa cum a fost înainte de întâlnirea plăcii.

În cazul corpurilor cu o grosime, cum ar fi , de exemplu , o simetrică cu pernă de aer , cu o incidență de zero, dinamica sunt calitativ aceleași, dar acum corpul va muta particulele de fluid în timpul deplasării sale , de asemenea , în direcția normală a curentului deranjate de a satisface starea impermeabilitate (organismul nu este penetrabil de fluid). Un flux de câmp va forma apoi în jurul corpului , care va fi soluția ecuației Laplace , care va avea ca rezultat un flux potențial caracterizat printr - o anterior punct de stagnare r și un spate punct de stagnare r + Δr și , în special , viteza va fi cunoscută de perete. Indicând cu r abscisa curbilinie de-a lungul profil, vorticitate global prezent într - un punct al suprafeței profilului va fi:

\omega =-{\frac {1}{\Delta r}}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ omega = - {\ frac {1} {\ Delta r}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ Displaystyle \ omega = - {\ frac {1} {\ Delta r}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

unde Δr este grosimea locală a stratului fluidului prezent în contact direct cu suprafața corpului afectat de prezența vorticitate.

Vorticitate generală pe fața superioară va fi:

-{\int _{r}^{r+\Delta r}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}_{-}\,\operatorname {d} r}

{\ Displaystyle - {\ int _ {r} ^ {r + \ Delta r} {\ frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} t}} _ {-} \, \ operatorname {d} r}}

{\ Displaystyle - {\ int _ {r} ^ {r + \ Delta r} {\ frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} t}} _ {-} \, \ operatorname {d} r}}

în timp ce cea de pe fața inferioară va fi:

{\int _{r}^{r+\Delta r}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} t}}_{+}\,\operatorname {d} r}

{\ Displaystyle {\ int _ {r} ^ {r + \ Delta r} {\ frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} t}} _ {+} \, \ operatorname {d} r }}

{\ Displaystyle {\ int _ {r} ^ {r + \ Delta r} {\ frac {\ operatorname {d} r} {\ operatorname {d} t}} _ {+} \, \ operatorname {d} r }}

Suma celor două vorticities este încă zero.

Acest lucru nu este intamplatoare, deoarece pentru fluide incompresibile există o teoremă de conservare a vorticitate. Pentru probleme tridimensionale acest lucru poate fi ușor de verificat pornind de la faptul că, în acest caz, încă deține:

\nabla \cdot ({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}})=0

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) = 0}

Pentru probleme bidimensionale rigoarea acestei teoreme a fost riguros dovedit recent de JCWu. și am văzut că de conservare continuă să fie valabilă, dacă luăm în considerare, în plus față de vorticitate prezent în fluidul, de asemenea, că prezent în interiorul organismelor imersate în fluid, definind-o ca dubla viteza lor unghiulară, coerent și cu sensul fizic al vorticitate. Prin urmare, putem scrie în acest caz:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\int _{R}\omega \,dR}=0\,

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ int _ {R} \ omega \, dR} = 0 \,}

{\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ int _ {R} \ omega \, dR} = 0 \,}

unde domeniul R trebuie ales așa cum se explică în considerare , de asemenea , organismele prezente în interiorul câmpului de mișcare.

Dinamica vorticitate într - un fluid de incompresibil

Ecuația dinamicii vorticitate pot fi scrise facand rotorul tuturor termenilor ecuației echilibru a impulsului scris pentru un fluid incompresibil sub forma:

{\partial  \over \partial t}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+{\bar {\omega }}\times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=-\nabla \left({p \over \rho }+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+2\omega \right)+d_{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla ^{2}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ ori { \ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = - \ nabla \ stânga ({p \ peste \ rho} + {\ frac {1} {2}} \ stânga ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) ^ {2} +2 \ omega \ dreapta) + d _ {\ frac { \ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla ^ {2} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d } t}}}

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ ori { \ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = - \ nabla \ stânga ({p \ peste \ rho} + {\ frac {1} {2}} \ stânga ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) ^ {2} +2 \ omega \ dreapta) + d _ {\ frac { \ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla ^ {2} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d } t}}}

unde este ${\bar {f}}=-\nabla \omega$ ${\ Displaystyle {\ bar {f}} = - \ nabla \ omega}$ ${\ Displaystyle {\ bar {f}} = - \ nabla \ omega}$

Având în vedere următoarele relații vectoriale:

\nabla ^{2}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=\nabla \left(\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)-\nabla \times \left(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla \ stânga (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) - \ nabla \ ori \ left (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r }}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla \ stânga (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) - \ nabla \ ori \ left (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r }}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta)}

\nabla \times \left({\bar {\omega }}\times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)={\bar {\omega }}\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla \cdot {\bar {\omega }}+{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla {\bar {\omega }}-{\bar {\omega }}\cdot \nabla {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ left (ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {\ omega}} \ {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) = {\ bar {\ omega}} \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d } t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname { d} t}}}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ left (ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {\ omega}} \ {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) = {\ bar {\ omega}} \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d } t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname { d} t}}}

\nabla \cdot {\bar {\omega }}=\nabla \cdot \left(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)=0

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) = 0}

\nabla \times \left(\nabla (\cdot )\right)=0

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla (\ cdot) \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla (\ cdot) \ dreapta) = 0}

\nabla \times {\partial  \over \partial t}({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}})={\partial  \over \partial t}\left(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)

{\ Displaystyle \ nabla \ ori {\ parțial \ t peste \ parțială} ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) = {\ parțial \ peste \ t parțial} \

din

stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori {\ parțial \ t peste \ parțială} ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) = {\ parțial \ peste \ t parțial} \ din stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta)}

este obținut prin definirea $d_{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}$ ${\ Displaystyle d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}$ ${\ Displaystyle d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}$ difuzivitatea cinematică :

{\partial  \over \partial t}(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}})+{\bar {\omega }}\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla \cdot {\bar {\omega }}+{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla {\bar {\omega }}-{\bar {\omega }}\cdot \nabla {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=\nabla \times \left(\nabla \left({p \over \rho }+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+2\omega \right)\right)+d_{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla \times \left(\nabla \left(\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)-\nabla \times \left(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)\right)

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) + {\ bar {\ omega}} \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla \ ori \ left (\ nabla \ stânga ({p \ peste \ rho} + {\ frac {1} {2}} \ stânga ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) ^ {2} +2 \ omega \ dreapta) \ dreapta) + d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla \ stânga (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta ) - \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) \ dreapta)}

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) + {\ bar {\ omega}} \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla \ ori \ left (\ nabla \ stânga ({p \ peste \ rho} + {\ frac {1} {2}} \ stânga ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}} } {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) ^ {2} +2 \ omega \ dreapta) \ dreapta) + d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla \ stânga (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta ) - \ nabla \ ori \ stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) \ dreapta)}

și, prin urmare, din moment ce dețin:

\nabla {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=0

{\ Displaystyle \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

{\ Displaystyle \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

Și:

\omega =\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ Displaystyle \ omega = \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ Displaystyle \ omega = \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

primesti:

{\partial  \over \partial t}\left(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)+{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla {\bar {\omega }}-{\bar {\omega }}\cdot \nabla {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=-d_{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}))

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} \ stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) + { \ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = - d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ ori (\ nabla \ ori (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}))}

{\ Displaystyle {\ parțial \ t peste \ parțială} \ stânga (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ dreapta) + { \ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} - {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = - d _ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla \ ori (\ nabla \ ori (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}))}

rearanjarea termenii:

{\partial {\bar {\omega }} \over \partial t}+{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla {\bar {\omega }}={\bar {\omega }}\cdot \nabla {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+d_{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\nabla ^{2}{\bar {\omega }}

{\ Displaystyle {\ parțial {\ bar {\ omega}} \ peste \ t parțial} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} = {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + D_ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla ^ {2} {\ bar {\ omega}}}

{\ Displaystyle {\ parțial {\ bar {\ omega}} \ peste \ t parțial} + {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla {\ bar {\ omega}} = {\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + D_ {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ nabla ^ {2} {\ bar {\ omega}}}

În cazul în care vorticitate este zero, vom spune că fluxul de tratat va fi irrotational. Acest ultim concept este destul de relevant ca un curent irrotational admite existența unei funcții f, definită până la o constantă, astfel încât ${\overrightarrow {V}}=\nabla (f)$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {V}} = \ nabla (f)}$ ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {V}} = \ nabla (f)}$ , Această funcție va fi potențială funcția câmpului. Mai mult, fiind de teorema rotorului :

\iint _{S}(\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}})\cdot \operatorname {d} {\bar {r}}^{2}=\oint _{C}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \operatorname {d} {\bar {r}}

{\ Displaystyle \ iint _ {S} (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r}} ^ {2} = \ oint _ {C} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} { \ bar {r}}}

{\ Displaystyle \ iint _ {S} (\ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}) \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r}} ^ {2} = \ oint _ {C} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ operatorname {d} { \ bar {r}}}

unde este ${\hat {N}}$ ${\ displaystyle {\ hat {N}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {N}}}$ este vectorul normal pe suprafața S e $d{\bar {s}}$ ${\ Displaystyle d {\ bar {s}}}$ ${\ Displaystyle d {\ bar {s}}}$ este porțiunea infinitezimal a curbei luate în domeniu, circulația ${\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}$ acesta va fi nul pentru orice circuit închis luate în domeniu.

Într - un fluid incompresibil, vorticitate reprezintă rezultanta vâscoase acțiuni care acționează asupra unei particule de fluid. Dacă această cantitate este zero, ecuația care reglează mișcarea sa este identică cu cea a unui fluid non-vâscos. Atenție, acest lucru nu înseamnă că acțiunile vâscoase sunt nule, dar numai rezultanta lor. Vorticitate spune nimic despre mărimea forțelor vâscoase, numai cu privire la relevanța lor dinamică.

În Prandtl lui strat limită teorie, de exemplu, domeniul este împărțit în două părți, stratul limită, în cazul în care vorticitate este cu siguranta non-zero, iar partea exterioară, în care debitul este irrotational, iar în cazul în care prin urmare , este posibil să se definească o funcție potențială a vitezei;

\nabla \times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=0

{\ Displaystyle \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

{\ Displaystyle \ nabla \ ori {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

Acest lucru simplifică foarte mult problema matematică , care la acest moment devine ușor de rezolvat cu ajutorul unui calculator .

Notă

Bibliografie

Clancy, LJ (1975), Aerodinamica, Pitman Publishing Limited, Londra ISBN 0-273-01120-0
" Vremea Glosar " „The Weather Channel Interactive, Inc. .. 2004.
„ Vorticitate “. Publishing integrat.
GK Batchelor , Introducere în Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2000 [1967], ISBN 0-521-66396-2 .
Ohkitani, K., „Cont elementar de vorticitate și ecuații înrudite“. Cambridge University Press. 30 ianuarie 2005. ISBN 0-521-81984-9
Chorin, Alexandre J. , "vorticitate și Turbulence". Aplicate Stiinte matematice, Vol 103, Springer-Verlag. 1 martie 1994. ISBN 0-387-94197-5
Majda, Andrew J. , Andrea L. Bertozzi, "vorticitate și incompresibile Flow". Cambridge University Press; 2002. ISBN 0-521-63948-4
Tritton, DJ, "Fluid Dynamics fizice". Van Nostrand Reinhold, New York. 1977. ISBN 0-19-854493-6
Arfken, G., "Metode matematice pentru Fizicieni", 3rd ed. Academic Press, Orlando, FL. 1985. ISBN 0-12-059820-5

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe vorticitate

linkuri externe

Weisstein, Eric W., " vorticitate ". Scienceworld.wolfram.com.
Doswell III, Charles A., „ primer pe vorticitate pentru aplicații în Tornade și super -celulele “. Institutul de Cooperare pentru Studii Meteorologice mezoscalari, Norman, Oklahoma.
Cramer, MS, "Navier-Stokes - vorticitate Transport Teoremelor : Introducere". Fundamentele Mecanica fluidelor.
Parker, Douglas, "ENVI 2210 - Atmosferă și Ocean Dynamics, 9: vorticitate ". Școala Mediului, Universitatea din Leeds. Septembrie 2001.
Graham, James R. , "Astronomie 202: Astrophysical Gas Dynamics". Astronomie Departamentul, UC Berkeley .
- „ Ecuația vorticitate: incompresibil și fluidele barotropic “.
- „ Interpretarea ecuației vorticitate “.
- „ Kelvin Teorema lui vorticitate pentru flux incompresibil sau barotropic “.
" Spherepack 3.1 ". (Include o colecție de program de vorticitate FORTRAN)
" Mezoscalari compresibile comunitar (MC2) ^{[ link rupt ]} Predicțiile Real-Time Model“. (Analiză de potențial vorticitate)

Portalul aviației

Portalul de fizică

Portal de inginerie