Wavelet

Wavelet sau wavelets, analiza wavelet și transformarea wavelet se referă la reprezentarea unui semnal prin utilizarea unei forme de undă oscilantă lungime finită sau decădere rapidă (cunoscută sub numele de wavelet mama). Această formă de undă este scalată și tradusă pentru a se potrivi cu semnalul de intrare.

Istorie

Dezvoltarea valetelor de undă poate fi legată de mai multe curente separate de gândire care provin din opera lui Haar de la începutul secolului XX . Contribuții importante la teoria wavelet pot fi atribuite formulării lui Goupillaud , Grossmann și Morlet a ceea ce este acum cunoscut sub numele de CWT ( 1982 ), lucrării preliminare a lui Strömberg asupra undelor discrete ( 1983 ), pentru susținerea undelor ortogonale Daubechies compact ( 1988 ), Mallat ' s structura multirezoluție ( 1989 ), Delprat de interpretare timp-frecventa a CWT ( 1991 ), Newland lui wavelet armonice transforma si multe altele.

Cronologie

Primul wavelet ( wavelet Haar ) de Alfréd Haar (1909)
Din anii 1950: Jean Morlet și Alex Grossmann
Din anii 1980: Yves Meyer , Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies , Ronald Coifman , Victor Wickerhauser

Descriere

Introducere

Cuvântul wavelet , ondina , își are originea la începutul anilor optzeci și se datorează lui Morlet și Grossman care de fapt au folosit cuvântul francez ondelette (val mic). Puțin mai târziu, cuvântul a fost convertit în engleză prin traducerea „valurilor” („undă” în franceză) în „undă”, rezultând undele. Transformatele Wavelet sunt clasificate la nivel general în transformata discretă de undă (Discrete Wavelet Transform, DWT) și în transformarea wavelet continuă (Continuous Wavelet Transform, CWT). Diferența de principiu între cele două este faptul că transformarea continuă funcționează pe toate scalele și translațiile posibile, în timp ce transformata discretă folosește un subset discret al tuturor valorilor posibile.

Utilitatea valetelor

Teoria Wavelet este aplicabilă în multe domenii. Toate transformatele wavelet pot fi considerate forme de reprezentări timp-frecvență și, prin urmare, sunt legate de analiza armonică . Aproape toate transformările de undă discrete utile în practică utilizează bănci de filtrare cu răspuns la impuls finit . Wavelets care alcătuiesc un CWT sunt supuse principiului incertitudinii Heisenberg și în același mod bazele transformărilor discrete de undă pot fi considerate supuse altor forme de principiu de incertitudine.

Mama Wavelet

În termeni simpli, dar incorect din punct de vedere tehnic, mama wavelet $\psi \ (t)$ ${\ displaystyle \ psi \ (t)}$ $\ psi \ (t)$ trebuie să satisfacă:

\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi (t)|\ ^{2}\,dt=1

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi (t) | \ ^ {2} \, dt = 1}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} | \ psi (t) | \ ^ {2} \, dt = 1

, acesta este

\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )

{\ displaystyle \ psi \ în L ^ {2} (\ mathbb {R})}

\ psi \ în L ^ {2} (\ mathbb {R})

este normalizat

\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi \ (t)|\,dt<+\infty

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | \ psi \ (t) | \, dt <+ \ infty}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} | \ psi \ (t) | \, dt <+ \ infty

, acesta este

\psi \in L^{1}(\mathbb {R} )

{\ displaystyle \ psi \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})}

\ psi \ în L ^ {1} (\ mathbb {R})

s-a terminat

\int _{-\infty }^{+\infty }\psi \ (t)\,dt=0

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi \ (t) \, dt = 0}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} \ psi \ (t) \, dt = 0

, adică cu media zero

În cele mai multe situații este util să solicitați asta $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ este continuu și are un număr mare M de momente nule, adică pentru fiecare număr întreg m <M

\int _{-\infty }^{+\infty }t^{m}\,\psi \ (t)\,dt=0

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} t ^ {m} \, \ psi \ (t) \, dt = 0}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} t ^ {m} \, \ psi \ (t) \, dt = 0

Aceasta înseamnă că undele părinte trebuie să fie diferite de zero și să fie zero. Din punct de vedere tehnic, wavelet-ul părinte trebuie să îndeplinească un criteriu de eligibilitate. Câteva exemple de wavelets-mamă sunt:

Meyer

Morlet

Pălărie mexicană

Waveelet-ul mamă este scalat (sau dilatat) de un factor $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și deplasat (sau mutat) de un factor $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ a da, în formularea originală a lui Morlet:

\psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right)

{\ displaystyle \ psi _ {a, b} (t) = {1 \ over {\ sqrt {a}}} \ psi \ left ({{tb} \ over a} \ right)}

\ psi _ {{a, b}} (t) = {1 \ over {{\ sqrt a}}} \ psi \ left ({{{t-b} \ over a}} \ right)

Aceste funcții sunt adesea denumite incorect funcțiile de bază ale transformării. De fapt, nu există nici o bază. De fapt, interpretarea timp-frecvență necesită o formulare ușor diferită.

Comparație cu Fourier

Transformata wavelet este adesea comparată cu transformata Fourier , unde semnalele sunt reprezentate ca suma armonicelor. Principala diferență este că undele sunt localizate atât în timp cât și în frecvență, în timp ce transformata Fourier standard este localizată doar în frecvență . Transformata Fourier de scurtă durată (STFT) este localizată în timp și frecvență, dar există probleme de rezoluție și wavelets oferă adesea o reprezentare mai bună a semnalului datorită utilizării analizei multi-rezoluție .

Transformata wavelet este, de asemenea, mai puțin complexă din punct de vedere calculatic, necesitând un timp O ( N ) spre deosebire de timpul O ( N log N ) necesar de transformata Fourier rapidă ( N indică dimensiunea datelor).

Definiția wavelet

Există mai multe moduri de a defini un wavelet sau o familie de wavelets.

Filtru de scalare

Onduleta este complet definită de filtrul de scalare g , un filtru FIR ( răspuns la impuls finit ) cu lungime 2N și sumă 1. În undele biortogonale, sunt definite filtre separate de descompunere și reconstrucție.

Filtrul de trecere înaltă este definit ca QMF ( Quadrature Mirror Filter ) al filtrului de trecere jos și filtrul de reconstrucție ca filtru de timp inversat al filtrului de descompunere.

Exemplu: undele Daubechies și Symlet.

Funcția de scalare

Wavelets sunt definite de funcția wavelet $\psi (t)$ ${\ displaystyle \ psi (t)}$ $\ psi (t)$ , adică wavelet-ul mamei și prin funcția de scalare $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ , numit și wavelet părinte, în domeniul timpului.

Funcția wavelet este de fapt un filtru de trecere a benzii, iar scalarea sa la fiecare nivel își înjumătățește banda. Aceasta creează problema că sunt necesare un număr infinit de niveluri pentru a acoperi întregul spectru. Funcția de scalare filtrează cel mai scăzut nivel al transformării și asigură acoperirea întregului spectru. A se vedea [1] pentru o explicație detaliată.

Pentru o undă media compactă, $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ poate fi considerat de lungime finită și este echivalent cu filtrul de scalare g .

Exemplu: Meyer wavelet.

Funcția Wavelet

Waveelet-ul are doar o reprezentare a domeniului de timp ca funcție wavelet $\psi (t)$ ${\ displaystyle \ psi (t)}$ $\ psi (t)$ .

de ex. „pălărie mexicană” de tip wavelet.

Aplicații

În general, DWT este utilizat în codarea semnalului, în timp ce CWT este utilizat în analiza semnalului . În consecință, DWT este utilizat în mod obișnuit în inginerie și informatică, iar CWT este utilizat mai des în cercetarea științifică. Transformatele Wavelet sunt acum adoptate într-un număr mare de aplicații, înlocuind adesea transformata Fourier convențională. Multe domenii ale fizicii au văzut această schimbare de paradigmă, inclusiv dinamica moleculară , calculul inițial , astrofizica , geofizica seismică, optica , turbulența și mecanica cuantică . Alte domenii care văd această modificare sunt procesarea imaginii , măsurarea tensiunii arteriale, studiul bătăilor inimii și analiza ECG , analiza ADN , analiza proteinelor , climatologia , procesarea semnalului în general, recunoașterea vorbirii , grafica computerizată și analiza multi-fractală .

Una dintre aplicațiile wavelets este compresia datelor. Ca multe alte transformări, transformarea wavelet poate fi utilizată pentru a transforma date brute. ca imagini pentru a codifica apoi datele transformate și a obține o compresie eficientă. Formatul JPEG2000 este un standard de imagine care utilizează wavelets.

Transformare de undă

Există un număr mare de transformări de undă, fiecare potrivită pentru o aplicație diferită. Pentru o listă completă, consultați lista transformărilor wavelet , dar cele mai frecvente sunt listate aici:

Lista de valete

Ondulețe discrete

Beylkin (18)
Coiflet (6, 12, 18, 24, 30)
Daubechies Wavelet (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)
Wavelet Cohen-Daubechies-Feauveau (uneori denumit Daubechies biortogonal, bior44 = CDF9 / 7)
Wavelet din Haar
Filtru Vaidyanathan (24)
Symmlet
Transformată complexă de undă

Wavelet continuă

Bibliografie

( EN ) Paul S. Addison, The Illustrated Wavelet Transform Handbook , Institute of Physics , 2002, ISBN 0750306920
(EN) Ingrid Daubechies , Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992, ISBN 0898712742
( EN ) Mladen Victor Wickerhauser, Analiza adaptată a ondulelor de la teorie la software , AK Peters Ltd, 1994, ISBN 1568810415
( EN ) PP Viadyanathan, Sisteme multirate și bănci filtrante , Prentice Hall, 1993, ISBN 0136057187

Elemente conexe

Banca de filtre
Ultra wideband (ultra wideband pentru transmisii radio)
Transformată Fourier pe termen scurt

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Wavelet

linkuri externe

(EN) Wavelet Digest , pe wavelet.org.
( RO ) Pagina Amaras Wavelet , pe amara.com . Adus la 30 septembrie 2005 (arhivat din original la 30 iunie 2007) .
(RO) Wavelet Posting Board , pe ondelette.com. Adus la 30 septembrie 2005 (arhivat din original la 1 octombrie 2005) .
( RO ) Tutorialul Wavelet de Polikar , pe users.rowan.edu . Adus la 30 septembrie 2005 (arhivat din original la 10 februarie 2004) .
(RO) OpenSource Wavelet C Code pe herbert.the-little-red-haired-girl.org.
(RO) Filtrează coeficienții Wavelets populare , pe mathworks.com.
( RO ) Wavelets for Kids (fișier PDF) (introductiv)
( RO ) Colecție de legături despre wavelets , pe cosy.sbg.ac.at.
( RO ) Lista resurselor Wavelet, bibliotecilor și codurilor sursă , pe compression-links.info . Adus la 30 septembrie 2005 (arhivat din original la 1 decembrie 2005) .
( EN ) Un ghid foarte prietenos pentru wavelets , pe perso.wanadoo.fr .
Note despre valuri ( PDF ), pe caressa.it .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 5390

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică