Unitatea de producție CES

Funcțiile de producție CES (din limba engleză Constant Elasticity of Substitution ) sunt o clasă particulară de funcții de producție , caracterizate prin elasticitate constantă de substituție între două dintre argumentele sale.

Această clasă de funcții a fost propusă inițial de Kenneth Arrow , Robert Solow și alții ca o generalizare a proprietăților funcțiilor de producție à la Cobb-Douglas.

Există, de asemenea, o clasă de funcții de utilitate CES , având aceeași formă algebrică ca funcțiile de producție examinate aici.

Formulare și proprietăți

Forma originală

Funcția de producție Cobb-Douglas se caracterizează printr-o elasticitate constantă și unitară de substituție . Într-un studiu empiric de la începutul anilor 1960, Kenneth Arrow , Robert Solow , Hollis Chenery și Bagicha Singh Minhas au observat, totuși, diferite elasticități de substituție în diferite tipuri de producție. Prin urmare, au propus să găsească o formă mai generală a funcției de producție, care să fie omogenă și să aibă o elasticitate constantă de substituție, dar care să poată fi diferită de cea unitară a lui Cobb-Douglas.

Mai exact, examinând 24 de industrii din 19 țări, autorii au descoperit că ecuația:

\log {\frac {Y}{L}}=\beta _{0}+\beta _{1}\log w+\varepsilon

{\ displaystyle \ log {\ frac {Y} {L}} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ log w + \ varepsilon}

{\ displaystyle \ log {\ frac {Y} {L}} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} \ log w + \ varepsilon}

unde Y este valoarea adăugată , L forța de muncă în ani-om și w rata salariului monetar, s-au potrivit cu datele. ^[1] Estimarea punctuală a coeficientului β ₁ (legată de elasticitatea substituției) a variat între diferitele industrii, presupunând valori de la 0,721 la 1,011. ^[2] .

În articol, autorii au obținut prima formă a funcției CES (cu doi factori de producție și reveniri constante la scară):

\ Y=b[\alpha K^{-\rho }+(1-\alpha )L^{-\rho }]^{-1/\rho }

{\ displaystyle \ Y = b [\ alpha K ^ {- \ rho} + (1- \ alpha) L ^ {- \ rho}] ^ {- 1 / \ rho}}

{\ displaystyle \ Y = b [\ alpha K ^ {- \ rho} + (1- \ alpha) L ^ {- \ rho}] ^ {- 1 / \ rho}}

in care:

b este productivitatea factorului total ;
ρ este un parametru legat de elasticitatea substituției (σ): ρ = (1-σ) / σ; ^[3]
α determină distribuția venitului între factori pentru un anumit ρ. ^[4]

Forma generală

Forma generală a unei funcții de producție CES este: ^[5]

Q(x_{1},x_{2},..,x_{n})=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{-\rho }\right)^{-{\frac {1}{\rho }}},\ b>0,\ \rho >-1,\ \alpha _{i}\geq 0,\ x_{i}\geq 0,\ i=1,2,\ldots ,n

{\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, .., x_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}}, \ b> 0, \ \ rho> -1, \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ x_ {i} \ geq 0, \ i = 1,2, \ ldots, n}

{\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, .., x_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}}, \ b> 0, \ \ rho> -1, \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ x_ {i} \ geq 0, \ i = 1,2, \ ldots, n}

cu $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} = 1}$ , unde este:

x _i indică nivelul de utilizare a factorului i de producție ;
Q indică cantitatea produsă;
b ( parametrul de eficiență ) este o constantă multiplicativă care depinde de nivelul de eficiență în utilizarea factorilor de producție;
α _i ( parametrul de distribuție ) indică impactul factorului de producție i-a asupra producției totale;
ρ ( parametrul de substituție ) este legat de elasticitatea substituției . ^[6]

Productivitatea marginală

Productivitatea marginală a lui i este dată de:

{\frac {\partial Q}{\partial x_{i}}}=b^{-\rho }\alpha _{i}\left({\frac {Q}{x_{i}}}\right)^{1+\rho }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} = b ^ {- \ rho} \ alpha _ {i} \ left ({\ frac {Q} {x_ {i}}} \ dreapta) ^ {1+ \ rho}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x_ {i}}} = b ^ {- \ rho} \ alpha _ {i} \ left ({\ frac {Q} {x_ {i}}} \ dreapta) ^ {1+ \ rho}}

Rata marginală de substituție tehnică și elasticitatea substituției

Rata marginală de substituție tehnică (SMST) a factorului i cu factorul j, fiind egală cu raportul dintre productivitatea marginală a celor doi factori, este, prin urmare, dată de:

SMST_{ij}={\frac {\partial Q/\partial x_{i}}{\partial Q/\partial x_{j}}}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{1+\rho }

{\ displaystyle SMST_ {ij} = {\ frac {\ partial Q / \ partial x_ {i}} {\ partial Q / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alfa _ {j}}} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

{\ displaystyle SMST_ {ij} = {\ frac {\ partial Q / \ partial x_ {i}} {\ partial Q / \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alfa _ {j}}} \ left ({\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

deci următoarea relație:

\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}=-{\frac {1}{1+\rho }}\log {\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}+{\frac {1}{1+\rho }}\log SMST_{ij}

{\ displaystyle \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} = - {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} { \ alpha _ {j}}} + {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log SMST_ {ij}}

{\ displaystyle \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} = - {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} { \ alpha _ {j}}} + {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log SMST_ {ij}}

Derivarea cu privire la $\ \log SMST_{ij}$ ${\ displaystyle \ \ log SMST_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ \ log SMST_ {ij}}$ elasticitatea înlocuirii se obține:

\sigma ={\frac {d\log {\frac {x_{j}}{x_{i}}}}{d\log SMST_{ij}}}={\frac {1}{1+\rho }}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {d \ log SMST_ {ij}}} = {\ frac {1} {1+ \ rho}}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}}} {d \ log SMST_ {ij}}} = {\ frac {1} {1+ \ rho}}}

.

Formulare alternativă

Pe baza ecuației anterioare avem:

\rho ={\frac {1-\sigma }{\sigma }}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1- \ sigma} {\ sigma}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1- \ sigma} {\ sigma}}}

Prin urmare, formularea alternativă și echivalentă a funcției CES este:

Q(x_{1},x_{2},..,x_{n})=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}

{\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, .., x_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

{\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, .., x_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

Trebuie remarcat faptul că din ecuația anterioară se poate deduce că, unde elasticitatea substituției este mai mică decât una ( σ <1 ), ieșirea ( Q ) va fi zero ori de câte ori chiar și una dintre intrările ( x ) este zero . În acest caz, prin urmare, toate intrările sunt esențiale.^[7]

Funcții ESC simetrice și nesimetrice

Având în vedere formularea generală anterioară, prin echivalarea SMST și costul relativ al factorilor ^[8] avem:

x_{j}=\left({\frac {p_{i}}{p_{j}}}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}}\right)^{\sigma }x_{i}

{\ displaystyle x_ {j} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} {\ frac {\ alpha _ {j}} {\ alpha _ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} x_ {i}}

{\ displaystyle x_ {j} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} {\ frac {\ alpha _ {j}} {\ alpha _ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} x_ {i}}

Dacă parametrii de distribuție sunt egali (adică avem α _i = α _j pentru fiecare i, j), funcția de producție CES se numește simetrică . În acest caz, de fapt, la prețuri egale (p _i = p _j ), corespunde aceeași cerere condiționată de intrare (x _i = x _j ).

Formularea funcției simetrice ESC este:

Q=b\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}

{\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma } {\ sigma -1}}}

{\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma } {\ sigma -1}}}

În schimb, în cazul în care greutățile distributive nu sunt aceleași ( $\ \alpha _{i}\neq \alpha _{j}$ ${\ displaystyle \ \ alpha _ {i} \ neq \ alpha _ {j}}$ ${\ displaystyle \ \ alpha _ {i} \ neq \ alpha _ {j}}$ ), funcția se numește nesimetrică .

Funcția de cost dublu a unei funcții de producție CES

Având în vedere o funcție de producție CES, funcția de cost asociată, adică funcția de valoare a problemei de minimizare a costurilor cu constrângere constituită de funcția de producție CES, în simboluri:

C(p_{1},\ldots ,p_{n},q)=\min _{x_{1},\ldots ,x_{n}}\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}\ x_{i}\ \mid \ b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}\geq q\}

{\ displaystyle C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ { n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1 } {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}} \ geq q \}}

{\ displaystyle C (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = \ min _ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ { n} p_ {i} \ x_ {i} \ \ mid \ b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1 } {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}} \ geq q \}}

este dat de:

C(P,q)=q\ P

{\ displaystyle C (P, q) = q \ P}

{\ displaystyle C (P, q) = q \ P}

unde este:

P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma }p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {1}{1-\sigma }}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

este un indice al nivelului general al prețurilor factorilor asociați cu tehnologia CES.

În cazul unei funcții de producție simetrice ESC, acest indice este redus la:

P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {1}{1-\sigma }}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ { \ frac {1} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ { \ frac {1} {1- \ sigma}}}

Elasticitatea cererii condiționate de intrare

În conformitate cu lema lui Shephard , cererea condiționată pentru o intrare este dată de derivata parțială a funcției cost în raport cu prețul intrării. Prin urmare, în acest caz, avem:

\ x_{i}(p_{1},\ldots ,p_{n},q)={\frac {\partial C}{\partial p_{i}}}=q\left({\frac {\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\sigma }\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma }p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {\sigma }{1-\sigma }}=q\left({\frac {\alpha _{i}P}{p_{i}}}\right)^{\sigma }

{\ displaystyle \ x_ {i} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = {\ frac {\ partial C} {\ partial p_ {i}}} = q \ left ({\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {1- \ sigma}} = q \ left ({\ frac {\ alpha _ {i} P} {p_ {i} }} \ right) ^ {\ sigma}}

{\ displaystyle \ x_ {i} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, q) = {\ frac {\ partial C} {\ partial p_ {i}}} = q \ left ({\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {1- \ sigma}} = q \ left ({\ frac {\ alpha _ {i} P} {p_ {i} }} \ right) ^ {\ sigma}}

Elasticitatea cererii condiționate de intrare va fi egală cu:

\ \epsilon =-{\frac {\partial \log x_{i}}{\partial \log p_{i}}}=\sigma \left(1-\left({\frac {\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\sigma }{\frac {p_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma }p_{i}^{1-\sigma }}}\right)=\sigma \left(1-\left({\frac {\alpha _{i}P}{p_{i}}}\right)^{\sigma }{\frac {p_{i}}{P}}\right)=\sigma \left(1-{\frac {p_{i}x_{i}}{qP}}\right)

{\ displaystyle \ \ epsilon = - {\ frac {\ partial \ log x_ {i}} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma \ left (1- \ left ({\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} {\ frac {p_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}} \ right) = \ sigma \ left (1- \ left ({\ frac {\ alpha _ {i} P} {p_ {i}}} \ right ) ^ {\ sigma} {\ frac {p_ {i}} {P}} \ right) = \ sigma \ left (1 - {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {qP}} \ right) }

{\ displaystyle \ \ epsilon = - {\ frac {\ partial \ log x_ {i}} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma \ left (1- \ left ({\ frac {\ alpha _ {i}} {p_ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} {\ frac {p_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}} \ right) = \ sigma \ left (1- \ left ({\ frac {\ alpha _ {i} P} {p_ {i}}} \ right ) ^ {\ sigma} {\ frac {p_ {i}} {P}} \ right) = \ sigma \ left (1 - {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {qP}} \ right) }

unde ultimul termen dintre paranteze nu este altceva decât partea din costurile cu care se confruntă intrarea a i-a asupra costurilor totale de producție. Deoarece această pondere tinde la zero pe măsură ce crește numărul de intrări, dacă există multe intrări, vom avea:

\ \epsilon =\sigma \left(1-{\frac {p_{i}x_{i}}{C}}\right)\backsimeq \sigma

{\ displaystyle \ \ epsilon = \ sigma \ left (1 - {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {C}} \ right) \ backsimeq \ sigma}

{\ displaystyle \ \ epsilon = \ sigma \ left (1 - {\ frac {p_ {i} x_ {i}} {C}} \ right) \ backsimeq \ sigma}

Acest lucru se întâmplă deoarece impactul creșterii prețului bunului i asupra nivelului general al prețurilor de intrare, dată fiind elasticitatea constantă a substituției, scade odată cu creșterea numărului de intrări.

În cazul funcțiilor de producție CES (și ale lui Cobb-Douglas , care poate fi considerată o subclasă a primei) σ reprezintă deci atât elasticitatea substituției , cât și, atunci când numărul de intrări este suficient de mare, elasticitatea intrării cererii condiționate .

Figura 1: Funcția ESC cu doi factori cu elasticitate de substituție egală cu 2

Figura 2: Funcția ESC cu doi factori cu elasticitate de substituție egală cu 0,67

Exemple de funcții CES

Cu titlu de exemplu, sunt prezentate graficele a două funcții CES cu doi factori.

Funcțiile sunt de tipul:

Q=b\left(\alpha L^{-\rho }+(1-\alpha )K^{-\rho }\right)^{-{\frac {1}{\rho }}}

{\ displaystyle Q = b \ left (\ alpha L ^ {- \ rho} + (1- \ alpha) K ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}} }

{\ displaystyle Q = b \ left (\ alpha L ^ {- \ rho} + (1- \ alpha) K ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}} }

Valorile parametrilor sunt:

b = 3;
α = 0,6.

În prima funcție (Figura 1) ρ este setat egal cu -0,5; în a doua (Figura 2) este în schimb egal cu 0,5. Prin urmare, elasticitățile substituției sunt egale în cele două funcții, respectiv, cu 2 și 2/3.

Intersecția funcțiilor cu planul (Q = 50) permite observarea curburii izoquantelor asociate cu acel nivel de producție în cele două cazuri.

După cum puteți vedea, izoantele în primul caz au o formă mai „netedă”. Acest lucru indică o substituibilitate mai mare între cei doi factori. În primul caz, adică, se presupune că o scădere a numărului de lucrători angajați este ușor de înlocuit cu o creștere a mașinilor, adică a capitalului fizic și invers.

Cobb-Douglas ca un caz special al CES

Funcția de producție Cobb-Douglas , care are o elasticitate constantă și unitară de substituție, poate fi considerată un caz special al CES.

De fapt, deși funcția de producție CES este nedeterminată în cazul în care ρ = 0, este posibil să se demonstreze că aceasta tinde la un Cobb-Douglas pentru ρ care tinde la zero.

Transformând funcția în logaritmi obținem de fapt:

\log {\frac {Q}{b}}=-{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{-\rho }\right)}{\rho }}

{\ displaystyle \ log {\ frac {Q} {b}} = - {\ frac {\ log \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ { - \ rho} \ right)} {\ rho}}}

{\ displaystyle \ log {\ frac {Q} {b}} = - {\ frac {\ log \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ { - \ rho} \ right)} {\ rho}}}

Aplicând regula L'Hopital avem:

\lim _{\rho \rightarrow 0}\log {\frac {Q}{b}}=\lim _{\rho \rightarrow 0}-{\frac {d\log \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{-\rho }\right)/d\rho }{d\rho /d\rho }}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\log x_{i}=\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\right)

{\ displaystyle \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} \ log {\ frac {Q} {b}} = \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} - {\ frac {d \ log \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) / d \ rho} {d \ rho / d \ rho}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ log x_ {i} = \ log \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} \ log {\ frac {Q} {b}} = \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} - {\ frac {d \ log \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) / d \ rho} {d \ rho / d \ rho}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} \ log x_ {i} = \ log \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ dreapta)}

de la care:

\lim _{\rho \rightarrow 0}Q=b\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\right)

{\ displaystyle \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} Q = b \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ right)}

{\ displaystyle \ lim _ {\ rho \ rightarrow 0} Q = b \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}} \ right)}

Notă

^ Cu un coeficient de determinare (R ²⁾ pentru multe estimări egale sau mai mari de 0,9.
^ În același articol, după ce au obținut forma funcției, autorii au folosit-o pentru a calcula elasticitatea substituției în 27 de sectoare diferite din Statele Unite și Japonia , găsind valori cuprinse între 0,42 și 1,74.
^ În special:
- pentru ρ = -1, elasticitatea substituției este infinită și izoquantele sunt drepte;
- deoarece ρ tinde la 0, elasticitatea tinde la 1 și funcția tinde la un Cobb-Douglas (vezi mai jos );
- pentru ρ care tinde la infinit, elasticitatea substituției tinde la 0 și avem cazul tehnologiei à la Leontief, cu coeficienți de producție fixați și izoquanti în unghi drept;
- pentru toate celelalte valori ale lui ρ, avem izoquantele convexe normale.
^ Într-adevăr, rata marginală de substituție tehnică , egală în concurență perfectă cu raportul preț factor, w / r ), este:
$SMST_{L,K}={\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {K}{L}}\right)^{1+\rho }$ ${\ displaystyle SMST_ {L, K} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {1+ \ rho}}$ ${\ displaystyle SMST_ {L, K} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {1+ \ rho}}$
din care derivă raportul dintre acțiunile de distribuție, care este independent de b :
${\frac {wL}{rK}}={\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {K}{L}}\right)^{\rho }$ ${\ displaystyle {\ frac {wL} {rK}} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle {\ frac {wL} {rK}} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {\ rho}}$
^ Dacă factorii de producție sunt definiți într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de intrări intermediare), ecuația devine:
$Q=b\left(\int _{0}^{n}\alpha (i)x(i)^{-\rho }di\right)^{-{\frac {1}{\rho }}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) x (i) ^ {- \ rho} of \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho }}}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) x (i) ^ {- \ rho} of \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho }}}}$
^ Forma funcțională precedentă presupune asumarea unor reveniri constante la scară . În cazul în care trebuie făcute diferite ipoteze cu privire la revenirea la scară, este necesar să se ridice întreaga funcție la un parametru de scală ν. În acest caz, funcția în sine ia forma:
$Q=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{-\rho }\right)^{-{\frac {\nu }{\rho }}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {\ nu} {\ rho}}}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {\ nu} {\ rho}}}}$
și tehnologia CES vor fi caracterizate de reveniri la scară:
- constantă dacă $\ \nu =1$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ;
- crescând dacă $\ \nu >1$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ;
- scăzând dacă $\ \nu <1$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ .
^ Din acest motiv, în modelele de creștere endogenă la la Romer , în care producția bunului final crește la o rată de creștere finită pe măsură ce intrările intermediare cresc, elasticitatea substituției este întotdeauna presupusă a fi mai mare decât una ( σ> 1 ).
^ Egalitatea ratei marginale de substituție tehnică și costul relativ al factorilor este o condiție de ordinul întâi în problema constrângerii de minimizare a costurilor, dată fiind constrângerea constituită de tehnologie, reprezentată de funcția de producție

Bibliografie

Săgeată, KJ; Chenery, HB; Minhas, BS & Solow, R. „ Substituirea capitalului-muncă și eficiența economică ”, Revista de economie și statistici , 1961, Vol. 43, nr. 3, august, pp. 225–250 - articolul în care funcția a fost propusă inițial.
Chiang, AC Introducere în economia matematică , Bollati Boringhieri, Torino, 2002
R. Guarini și F. Tassinari, Statistici economice , Il Mulino, Bologna, 1990.
Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1

Elemente conexe

[1] Cu un coeficient de determinare (R ²⁾ pentru multe estimări egale sau mai mari de 0,9.

[2] În același articol, după ce au obținut forma funcției, autorii au folosit-o pentru a calcula elasticitatea substituției în 27 de sectoare diferite din Statele Unite și Japonia , găsind valori cuprinse între 0,42 și 1,74.

[3] În special:
pentru ρ = -1, elasticitatea substituției este infinită și izoquantele sunt drepte;
deoarece ρ tinde la 0, elasticitatea tinde la 1 și funcția tinde la un Cobb-Douglas (vezi mai jos );
pentru ρ care tinde la infinit, elasticitatea substituției tinde la 0 și avem cazul tehnologiei à la Leontief, cu coeficienți de producție fixați și izoquanti în unghi drept;
pentru toate celelalte valori ale lui ρ, avem izoquantele convexe normale.

[4] tru ρ = -1, elasticitatea substituției este infinită și izoquantele sunt drepte;

[5] rece ρ tinde la 0, elasticitatea tinde la 1 și funcția tinde la un Cobb-Douglas (vezi mai jos );

[6] tru ρ care tinde la infinit, elasticitatea substituției tinde la 0 și avem cazul tehnologiei à la Leontief, cu coeficienți de producție fixați și izoquanti în unghi drept;

[7] tru toate celelalte valori ale lui ρ, avem izoquantele convexe normale.

[4] Într-adevăr, rata marginală de substituție tehnică , egală în concurență perfectă cu raportul preț factor, w / r ), este:
$SMST_{L,K}={\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {K}{L}}\right)^{1+\rho }$ ${\ displaystyle SMST_ {L, K} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {1+ \ rho}}$ ${\ displaystyle SMST_ {L, K} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {1+ \ rho}}$
din care derivă raportul dintre acțiunile de distribuție, care este independent de b :
${\frac {wL}{rK}}={\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {K}{L}}\right)^{\rho }$ ${\ displaystyle {\ frac {wL} {rK}} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {\ rho}}$ ${\ displaystyle {\ frac {wL} {rK}} = {\ frac {1- \ alpha} {\ alpha}} \ left ({\ frac {K} {L}} \ right) ^ {\ rho}}$

[continuo-5] Dacă factorii de producție sunt definiți într-un continuum (adică presupunem un număr infinit de intrări intermediare), ecuația devine:
$Q=b\left(\int _{0}^{n}\alpha (i)x(i)^{-\rho }di\right)^{-{\frac {1}{\rho }}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) x (i) ^ {- \ rho} of \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho }}}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ int _ {0} ^ {n} \ alpha (i) x (i) ^ {- \ rho} of \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho }}}}$

[rendimenti-6] Forma funcțională precedentă presupune asumarea unor reveniri constante la scară . În cazul în care trebuie făcute diferite ipoteze cu privire la revenirea la scară, este necesar să se ridice întreaga funcție la un parametru de scală ν. În acest caz, funcția în sine ia forma:
$Q=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{-\rho }\right)^{-{\frac {\nu }{\rho }}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {\ nu} {\ rho}}}}$ ${\ displaystyle Q = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} x_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {\ nu} {\ rho}}}}$
și tehnologia CES vor fi caracterizate de reveniri la scară:
constantă dacă $\ \nu =1$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ;
crescând dacă $\ \nu >1$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ;
scăzând dacă $\ \nu <1$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ .

[11] stantă dacă $\ \nu =1$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu = 1}$ ;

[12] rescând dacă $\ \nu >1$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ${\ displaystyle \ \ nu> 1}$ ;

[13] scăzând dacă $\ \nu <1$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ ${\ displaystyle \ \ nu <1}$ .

[crescita_endogena-7] Din acest motiv, în modelele de creștere endogenă la la Romer , în care producția bunului final crește la o rată de creștere finită pe măsură ce intrările intermediare cresc, elasticitatea substituției este întotdeauna presupusă a fi mai mare decât una ( σ> 1 ).

[foc-8] Egalitatea ratei marginale de substituție tehnică și costul relativ al factorilor este o condiție de ordinul întâi în problema constrângerii de minimizare a costurilor, dată fiind constrângerea constituită de tehnologie, reprezentată de funcția de producție

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]