Funcția de utilitate CES

Funcția de utilitate CES (din limba engleză Constant Elasticity of Substitution ) este o funcție de utilitate specială, caracterizată prin elasticitatea substituției între două dintre argumentele sale constante.

Această clasă de funcții a fost propusă inițial de Kenneth Arrow , ca o generalizare a proprietăților funcțiilor utilitare à la Cobb-Douglas.

Există, de asemenea, o clasă de funcții de producție CES, având aceeași formă algebrică ca funcția de utilitate examinată aici.

Formulare și proprietăți

Forma generală a unei funcții de utilitate CES ( Constant Elasticity of Substitution ) este:

U(c_{1},c_{2},..,c_{n})=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{-\rho }\right)^{-{\frac {1}{\rho }}}\ b>0,\ \rho >-1,\ \alpha _{i}\geq 0,\ c_{i}\geq 0,\ i=1,2,\ldots ,n

{\ displaystyle U (c_ {1}, c_ {2}, .., c_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}} \ b> 0, \ \ rho> -1, \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ c_ { i} \ geq 0, \ i = 1,2, \ ldots, n}

{\ displaystyle U (c_ {1}, c_ {2}, .., c_ {n}) = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1} {\ rho}}} \ b> 0, \ \ rho> -1, \ \ alpha _ {i} \ geq 0, \ c_ { i} \ geq 0, \ i = 1,2, \ ldots, n}

cu $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} = 1}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} = 1}$ , unde este $c_{i}$ ${\ displaystyle c_ {i}}$ $Acolo}$ indică nivelul de consum al bunului i, U indică nivelul de utilitate, în timp ce $\ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n},\rho$ ${\ displaystyle \ \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, ..., \ alpha _ {n}, \ rho}$ ${\ displaystyle \ \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, ..., \ alpha _ {n}, \ rho}$ și b sunt parametri.

Utilitatea marginală a lui i este dată de:

{\frac {\partial U}{\partial c_{i}}}=b\alpha _{i}c_{i}^{-\rho -1}\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{-\rho }\right)^{-{\frac {1+\rho }{\rho }}}=b^{-\rho }\alpha _{i}\left({\frac {U}{c_{i}}}\right)^{1+\rho }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial c_ {i}}} = b \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho -1} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1+ \ rho} {\ rho}}} = b ^ {- \ rho} \ alpha _ {i} \ left ({\ frac {U} {c_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial U} {\ partial c_ {i}}} = b \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho -1} \ left (\ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {- \ rho} \ right) ^ {- {\ frac {1+ \ rho} {\ rho}}} = b ^ {- \ rho} \ alpha _ {i} \ left ({\ frac {U} {c_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

Rata marginală de substituție (SMS) a bunului i cu bunul j, fiind egală cu raportul dintre utilitățile marginale ale celor două bunuri, este, prin urmare, dată de:

SMS_{ij}={\frac {\partial U/\partial c_{i}}{\partial U/\partial c_{j}}}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}\left({\frac {c_{j}}{c_{i}}}\right)^{1+\rho }

{\ displaystyle SMS_ {ij} = {\ frac {\ partial U / \ partial c_ {i}} {\ partial U / \ partial c_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alfa _ {j}}} \ left ({\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

{\ displaystyle SMS_ {ij} = {\ frac {\ partial U / \ partial c_ {i}} {\ partial U / \ partial c_ {j}}} = {\ frac {\ alpha _ {i}} {\ alfa _ {j}}} \ left ({\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}} \ right) ^ {1+ \ rho}}

deci următoarea relație:

\log {\frac {c_{j}}{c_{i}}}=-{\frac {1}{1+\rho }}\log {\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}+{\frac {1}{1+\rho }}\log SMS_{ij}

{\ displaystyle \ log {\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}} = - {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} { \ alpha _ {j}}} + {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log SMS_ {ij}}

{\ displaystyle \ log {\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}} = - {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log {\ frac {\ alpha _ {i}} { \ alpha _ {j}}} + {\ frac {1} {1+ \ rho}} \ log SMS_ {ij}}

Derivarea cu privire la $\ \log SMS_{ij}$ ${\ displaystyle \ \ log SMS_ {ij}}$ ${\ displaystyle \ \ log SMS_ {ij}}$ se obține elasticitatea de substituție (σ):

\sigma ={\frac {d\log {\frac {c_{j}}{c_{i}}}}{d\log SMS_{ij}}}={\frac {1}{1+\rho }}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}}} {d \ log SMS_ {ij}}} = {\ frac {1} {1+ \ rho}}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {c_ {j}} {c_ {i}}}} {d \ log SMS_ {ij}}} = {\ frac {1} {1+ \ rho}}}

.

Formulări alternative

Deoarece, conform ecuației anterioare, avem:

\rho ={\frac {1-\sigma }{\sigma }}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1- \ sigma} {\ sigma}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1- \ sigma} {\ sigma}}}

formularea alternativă și echivalentă a funcției de utilitate CES de mai sus este:

U=b\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}

{\ displaystyle U = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

{\ displaystyle U = b \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

.

Mai mult, deoarece, în cazul funcțiilor de utilitate, orice transformare monotonă strict ascendentă care lasă neschimbată rata marginală de substituție reprezintă același sistem de preferințe , formulările alternative sunt:

U=\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}

{\ displaystyle U = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ { \ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

{\ displaystyle U = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ { \ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

.

și, în cazul în care σ> 1 și utilitatea își asumă doar valori strict pozitive, ^[1]

U=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}

{\ displaystyle U = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}

{\ displaystyle U = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}

.

Funcții ESC simetrice și nesimetrice

Având în vedere formularea generală anterioară, prin echivalarea SMS-urilor și a prețurilor relative avem: ^[2]

c_{j}=\left({\frac {p_{i}}{p_{j}}}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}}\right)^{\sigma }c_{i}

{\ displaystyle c_ {j} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} {\ frac {\ alpha _ {j}} {\ alpha _ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} c_ {i}}

{\ displaystyle c_ {j} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {p_ {j}}} {\ frac {\ alpha _ {j}} {\ alpha _ {i}}} \ right) ^ {\ sigma} c_ {i}}

Dacă parametrii α _i sunt egali, se spune că funcția este simetrică . În acest caz, de fapt, la prețuri egale (p _i = p _j ), aceeași cantitate cerută corespunde (c _i = c _j ).

În caz de simetrie CES devine:

U=\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}

{\ displaystyle U = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

{\ displaystyle U = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}}}

Prin contrast, în cazul în care α _i sunt diferite funcția se numește nesimetrică .

Funcția cererii Walrasiene

Având în vedere o funcție de utilitate CES simetrică, funcția de cerere Walrasiană asociată, adică nivelul de consum al bunului i corespunzător oricărei combinații date de prețuri și bogăție (W) care maximizează funcția de utilitate sub constrângerea disponibilității, este dată de:

c_{i}(p_{1},\ldots ,p_{n},w)=p_{i}^{-\sigma }{\frac {w}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma }}}=\left({\frac {p_{i}}{P}}\right)^{-\sigma }{\frac {w}{P}}

{\ displaystyle c_ {i} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, w) = p_ {i} ^ {- \ sigma} {\ frac {w} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {P}} \ right) ^ {- \ sigma} {\ frac {w} {P }}}

{\ displaystyle c_ {i} (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, w) = p_ {i} ^ {- \ sigma} {\ frac {w} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}} = \ left ({\ frac {p_ {i}} {P}} \ right) ^ {- \ sigma} {\ frac {w} {P }}}

unde este:

P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {1}{1-\sigma }}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ { \ frac {1} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ { \ frac {1} {1- \ sigma}}}

este un indice al nivelului general de preț al bunurilor asociate cu funcția de utilitate CES.

Funcția de cheltuieli și cerere hicksiană

Având în vedere o funcție de utilitate nesimetrică CES, funcția de cheltuieli asociată, adică funcția de valoare a problemei de minimizare a cheltuielilor, dată fiind constrângerea constituită de funcția de utilitate CES, în simboluri:

\ E(p_{1},\ldots ,p_{n},U)=\min _{c_{1},\ldots ,c_{n}}\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}c_{i}\mid \left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}c_{i}^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}\right)^{\frac {\sigma }{\sigma -1}}\geq U\}

{\ displaystyle \ E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {c_ {1}, \ ldots, c_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} c_ {i} \ mid \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}} \ geq U \}}

{\ displaystyle \ E (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ min _ {c_ {1}, \ ldots, c_ {n}} \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} c_ {i} \ mid \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} c_ {i} ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} \ right) ^ {\ frac {\ sigma} {\ sigma -1}} \ geq U \}}

este dat de:

\ E(P,U)=U\ P

{\ displaystyle \ E (P, U) = U \ P}

{\ displaystyle \ E (P, U) = U \ P}

unde este

P(p_{1},\ldots ,p_{n})=\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma }p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {1}{1-\sigma }}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle P (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} ^ {\ sigma} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

este un indice al nivelului general de preț asociat funcției de utilitate CES.

În cazul unei funcții ESC simetrice, acest indice este redus la:

P=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma }\right)^{\frac {1}{1-\sigma }}

{\ displaystyle P = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

{\ displaystyle P = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ sigma}}}

Funcția de cerere Hicksiană asociată este:

\ h_{i}(p_{i},\ldots ,p_{n},U)=\left({\frac {p_{i}}{\alpha _{i}P}}\right)^{-\sigma }U

{\ displaystyle \ h_ {i} (p_ {i}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i} P}} \ right) ^ {- \ sigma} U}

{\ displaystyle \ h_ {i} (p_ {i}, \ ldots, p_ {n}, U) = \ left ({\ frac {p_ {i}} {\ alpha _ {i} P}} \ right) ^ {- \ sigma} U}

Elasticitatea cererii

Elasticitatea cererii în cazul funcțiilor utilitare ESC simetrice va fi egală cu:

\ \varepsilon =-{\frac {\partial \log c_{i}}{\partial \log p_{i}}}=\sigma +{\frac {\partial \log(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma })}{\partial \log p_{i}}}=\sigma +{\frac {\partial \log(\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma })/\partial p_{i}}{d\log p_{i}/dp_{i}}}=\sigma +(1-\sigma ){\frac {p_{i}^{1-\sigma }}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{1-\sigma }}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = - {\ frac {\ partial \ log c_ {i}} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma + {\ frac {\ partial \ log (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma})} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma + {\ frac {\ partial \ log (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}) / \ partial p_ {i}} {d \ log p_ {i} / dp_ {i}}} = \ sigma + (1- \ sigma ) {\ frac {p_ {i} ^ {1- \ sigma}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = - {\ frac {\ partial \ log c_ {i}} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma + {\ frac {\ partial \ log (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma})} {\ partial \ log p_ {i}}} = \ sigma + {\ frac {\ partial \ log (\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}) / \ partial p_ {i}} {d \ log p_ {i} / dp_ {i}}} = \ sigma + (1- \ sigma ) {\ frac {p_ {i} ^ {1- \ sigma}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} ^ {1- \ sigma}}}}

din care, înlocuind cererea Walrasiană pentru binele i, avem:

\ \varepsilon =\sigma +(1-\sigma ){\frac {p_{i}c_{i}}{w}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ sigma + (1- \ sigma) {\ frac {p_ {i} c_ {i}} {w}}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ sigma + (1- \ sigma) {\ frac {p_ {i} c_ {i}} {w}}}

Ultimul termen nu este altceva decât partea din venitul cheltuit pentru cumpărarea bunului i. Deoarece, presupunând o elasticitate constantă și finită de substituție, ponderea veniturilor cheltuite pe fiecare bun tinde la zero pe măsură ce numărul mărfurilor crește, vom avea:

\ \lim _{i\rightarrow \infty }\varepsilon =\sigma

{\ displaystyle \ \ lim _ {i \ rightarrow \ infty} \ varepsilon = \ sigma}

{\ displaystyle \ \ lim _ {i \ rightarrow \ infty} \ varepsilon = \ sigma}

Acest lucru se întâmplă deoarece impactul creșterii prețului bunului i asupra nivelului general al prețului scade odată cu creșterea numărului de intrări.

În cazul funcțiilor de utilitate CES (și a lui Cobb-Douglas , care poate fi considerată o subclasă a primei), σ reprezintă deci atât elasticitatea substituției , cât și, atunci când numărul de bunuri este suficient de mare, elasticitatea cererii.

Notă

^ Funcția se găsește prin aplicarea transformării
$f(U)=U^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}$ .
Prin diferențiere față de U, obținem:
$f'(U)={\frac {\sigma -1}{\sigma }}{\frac {1}{U^{\frac {1}{\sigma }}}}$ ${\ displaystyle f '(U) = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} {\ frac {1} {U ^ {\ frac {1} {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle f '(U) = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} {\ frac {1} {U ^ {\ frac {1} {\ sigma}}}}$ .
Prin urmare, transformarea crește strict dacă σ> 1 și U> 0.
^ Egalitatea ratei marginale de substituție și a prețurilor relative ale bunurilor este o condiție de ordinul întâi în problema maximizării utilității, sub constrângerea bugetară .

Elemente conexe

[trasformazione-1] Funcția se găsește prin aplicarea transformării
$f(U)=U^{\frac {\sigma -1}{\sigma }}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}$ ${\ displaystyle f (U) = U ^ {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}}}$ .
Prin diferențiere față de U, obținem:
$f'(U)={\frac {\sigma -1}{\sigma }}{\frac {1}{U^{\frac {1}{\sigma }}}}$ ${\ displaystyle f '(U) = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} {\ frac {1} {U ^ {\ frac {1} {\ sigma}}}}$ ${\ displaystyle f '(U) = {\ frac {\ sigma -1} {\ sigma}} {\ frac {1} {U ^ {\ frac {1} {\ sigma}}}}$ .
Prin urmare, transformarea crește strict dacă σ> 1 și U> 0.

[foc-2] Egalitatea ratei marginale de substituție și a prețurilor relative ale bunurilor este o condiție de ordinul întâi în problema maximizării utilității, sub constrângerea bugetară .

[1]

[2]