Algoritm pentru calcularea rădăcinii a n-a

Radacina $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th, ${\sqrt[{n}]{A}},$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {A}},}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {A}},}$ a unui număr real $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ non-negativ, este soluția reală non-negativă a ecuației

x^{n}=A.

{\ displaystyle x ^ {n} = A.}

{\ displaystyle x ^ {n} = A.}

Acest element descrie o metodă numerică care converge rapid pentru calcularea acestei rădăcini. Pașii algoritmului sunt:

încercați să estimați o valoare inițială inițială $x_{0};$ ${\ displaystyle x_ {0};}$ ${\ displaystyle x_ {0};}$
apare $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right),$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1 }}}} \ dreapta),}$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1 }}}} \ dreapta),}$ care echivalează cu $x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k},$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} + \ Delta x_ {k},}$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} + \ Delta x_ {k},}$ cu $\Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left({\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right);$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {k} = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1}}} - x_ {k} \ right) ;}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {k} = {\ frac {1} {n}} \ left ({\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1}}} - x_ {k} \ right) ;}$
al doilea pas se repetă până se atinge precizia dorită, adică $|\Delta x_{k}|<\varepsilon .$ ${\ displaystyle | \ Delta x_ {k} | <\ varepsilon.}$ ${\ displaystyle | \ Delta x_ {k} | <\ varepsilon.}$

Un caz special este calculul numeric al rădăcinii pătrate, adică cazul $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ :

x_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{k}+{\frac {A}{x_{k}}}\right).

{\ displaystyle x_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left (x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k}}} \ right).}

{\ displaystyle x_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left (x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k}}} \ right).}

Derivarea algoritmului se bazează pe metoda numerică Newton-Raphson.

Derivarea din metoda Newton-Raphson

Metoda tangentă sau Newton-Raphson este o metodă de a găsi numeric zero-ul unei funcții $f(x).$ ${\ displaystyle f (x).}$ $f (x).$ Schema generală este:

plecând de la o estimare inițială $x_{0};$ ${\ displaystyle x_ {0};}$ ${\ displaystyle x_ {0};}$
$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}};$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {f (x_ {k})} {f '(x_ {k})}};}$ ${\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {f (x_ {k})} {f '(x_ {k})}};}$
repetați al doilea pas până când se obține precizia dorită.

Calculul numeric al rădăcinii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th poate fi conceput ca căutarea unui zero al funcției $f(x)=x^{n}-A,$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n} -A,}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n} -A,}$ a cărui derivată este:

f^{\prime }(x)=nx^{n-1}.

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = nx ^ {n-1}.}

{\ displaystyle f ^ {\ prime} (x) = nx ^ {n-1}.}

Acesta este modul în care iterația este construită:

x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}

{\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {f (x_ {k})} {f '(x_ {k})}}}

{\ displaystyle x_ {k + 1} = x_ {k} - {\ frac {f (x_ {k})} {f '(x_ {k})}}}

=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}

{\ displaystyle = x_ {k} - {\ frac {x_ {k} ^ {n} -A} {nx_ {k} ^ {n-1}}}}

{\ displaystyle = x_ {k} - {\ frac {x_ {k} ^ {n} -A} {nx_ {k} ^ {n-1}}}}

=x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}

{\ displaystyle = x_ {k} - {\ frac {x_ {k}} {n}} + {\ frac {A} {nx_ {k} ^ {n-1}}}}

{\ displaystyle = x_ {k} - {\ frac {x_ {k}} {n}} + {\ frac {A} {nx_ {k} ^ {n-1}}}}

={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right).

{\ displaystyle = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1}}}} right ).}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {n}} \ left ({(n-1) x_ {k} + {\ frac {A} {x_ {k} ^ {n-1}}}} dreapta ).}

Exemplu numeric

Vrem să calculăm a patra rădăcină a

6901827461

Se stabilește o primă valoare, de exemplu 1000. Folosind o foaie de calcul, poate apărea o convergență rapidă:

Exemplu de foaie de calcul. Numărul a cărui rădăcină doriți să o calculați se află în caseta A1 =

6901827461

iar exponentul $n=4$ ${\ displaystyle n = 4}$ $n = 4$ rădăcină în caseta A2.

Puneți estimarea inițială, 1000, în caseta B2.

Valorile sunt generate introducând în caseta B3: (($ A $ 2-1) * B2 + $ A $ 1 / B2 ^ ($ A $ 2-1)) / $ A $ 2

6901827461

stima

valoarea calculată

diferență

4

1000

1E + 12

-9.93098E + 11

751.7254569

3.19328E + 11

-3.12426E + 11

567.8559656

1.03981E + 11

-97078880593

435.3149815

35909921459

-29008093998

347.4029409

14565787245

-7663959784

301.7054079

8285760564

-1383933103

289.1072856

6986121665

-84294203.78

288.235197

6902208103

-380642.2278

288.2312231

6901827469

-7.871785164

288.231223

6901827461

0

Elemente conexe

Referințe bibliografice

Kendall E. Atkinson, An introduction to numerical analysis , 2nd, New York, Wiley, 1989, ISBN 0-471-62489-6 .