Elasticitatea scalei

Elasticitatea scalei (în engleză elasticity of scale sau elasticitatea totală a producției ) este un tip particular de elasticitate utilizat în economia producției și introdus inițial de economistul norvegian Ragnar Frisch (1965).

Având o funcție de producție precum:

\ y=f(\mathbf {x} )

{\ displaystyle \ y = f (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle \ y = f (\ mathbf {x})}

unde y este ieșirea și x este vectorul intrărilor în termeni fizici și un λ scalar pozitiv, elasticitatea scalei este definită ca:

(1)

\ \varepsilon =\left.{\frac {df(\lambda \mathbf {x} )}{d\lambda }}{\frac {\lambda }{f(\lambda \mathbf {x} )}}\right|_{\lambda =1}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ left. {\ frac {df (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ lambda}} {\ frac {\ lambda} {f (\ lambda \ mathbf {x})} } \ right | _ {\ lambda = 1}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ left. {\ frac {df (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ lambda}} {\ frac {\ lambda} {f (\ lambda \ mathbf {x})} } \ right | _ {\ lambda = 1}}

Vom spune că tehnologia prezintă reveniri la scară crescătoare, constante sau descrescătoare la nivel local în x , în funcție de dacă elasticitatea scării este mai mare decât, egală cu sau mai mică de 1, respectiv.

Rețineți că (1) poate fi rescris ca:

\ \varepsilon =\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {d\log f(\lambda \mathbf {x} )}{d\log \lambda }}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {d \ log f (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ log \ lambda}}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {d \ log f (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ log \ lambda}}}

Din care, aplicând regula L'Hopital, obținem:

(2)

\ \varepsilon =\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {\frac {d\log f(\lambda \mathbf {x} )}{d\lambda }}{\frac {d\log \lambda }{d\lambda }}}=\lim _{\lambda \rightarrow 1}{\frac {\lambda }{f(\lambda \mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial f(\lambda \mathbf {x} )}{\partial (\lambda \mathbf {x} )}}\right)'\mathbf {x} ={\frac {1}{f(\mathbf {x} )}}\left({\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}\right)'\mathbf {x} =\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}{\frac {x_{i}}{f(\mathbf {x} )}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {\ frac {d \ log f (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ lambda}} {\ frac {d \ log \ lambda} {d \ lambda}}} = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {\ lambda} {f (\ lambda \ mathbf {x})}} \ left ({\ frac {\ partial f (\ lambda \ mathbf {x})} {\ partial (\ lambda \ mathbf {x})}} \ right) '\ mathbf {x} = {\ frac {1} {f (\ mathbf {x} )}} \ left ({\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial \ mathbf {x}}} \ right) '\ mathbf {x} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {x_ {i}} {f (\ mathbf {x})}}}

{\ displaystyle \ \ varepsilon = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {\ frac {d \ log f (\ lambda \ mathbf {x})} {d \ lambda}} {\ frac {d \ log \ lambda} {d \ lambda}}} = \ lim _ {\ lambda \ rightarrow 1} {\ frac {\ lambda} {f (\ lambda \ mathbf {x})}} \ left ({\ frac {\ partial f (\ lambda \ mathbf {x})} {\ partial (\ lambda \ mathbf {x})}} \ right) '\ mathbf {x} = {\ frac {1} {f (\ mathbf {x} )}} \ left ({\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial \ mathbf {x}}} \ right) '\ mathbf {x} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {x_ {i}} {f (\ mathbf {x})}}}

Al i-lea termen al însumării în (2) nu este altceva decât elasticitatea de ieșire a intrării corespunzătoare, prin urmare elasticitatea de scalare poate fi calculată și ca suma elasticităților de ieșire ale factorilor de producție singuri utilizați.

Bibliografie

Frisch, R. (1965), Teoria producției , Rand McNally, Chicago;

Elemente conexe