Elasticitatea substituției intertemporale

În economie , „elasticitatea intertemporală a substituției (în engleză elasticity of intertemporal substitution, EIS) este„ elasticitatea structurii temporale a ratei de consum a dobânzii . În special, acesta măsoară variația procentuală a raportului dintre consumul prezent și viitor la modificarea ratei dobânzii.

Este un tip particular de elasticitate de substituție , care în termeni formali poate fi definit ca:

\ \sigma ={\frac {\frac {\Delta (c_{t_{2}}/c_{t_{1}})}{c_{t_{2}}/c_{t_{1}}}}{\frac {\Delta SMSI_{t_{1},t_{2}}}{SMSI_{t_{1},t_{2}}}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {\ frac {\ Delta (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}} }} {\ frac {\ Delta SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}} {SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {\ frac {\ Delta (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}} }} {\ frac {\ Delta SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}} {SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}}}}

unde c _t este consumul la momentul t și SMSI _{t1, t2} este rata marginală de substituție intertemporală între timpul t ₁ și t ₂ , adică rata marginală de substituție între consumul la momentul t ₁ și cel la momentul t ₂ .

Acolo unde este posibil să se calculeze variațiile infinitesimale ale variabilelor din intervalul de interes, formula de mai sus poate fi rescrisă ca:

\ \sigma ={\frac {d(c_{t_{2}}/c_{t_{1}})}{dSMSI_{t_{1},t_{2}}}}{\frac {SMSI_{t_{1},t_{2}}}{c_{t_{2}}/c_{t_{1}}}}={\frac {d\log(c_{t_{2}}/c_{t_{1}})}{d\log SMSI_{t_{1},t_{2}}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {dSMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}} {\ frac {SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}} {c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}}}} = {\ frac {d \ log (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {d \ log SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {dSMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}} {\ frac {SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}} {c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}}}} = {\ frac {d \ log (c_ {t_ {2}} / c_ {t_ {1}})} {d \ log SMSI_ {t_ {1}, t_ {2}}}}}

În plus, dacă consumatorul își maximizează utilitatea , SMSI între timpul t și timpul t + 1 este egal cu (1+ r ), unde r este rata reală a dobânzii , ^[1] avem:

\ \sigma ={\frac {d\log(c_{t+1}/c_{t})}{d\log(1+r)}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d \ log (c_ {t + 1} / c_ {t})} {d \ log (1 + r)}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d \ log (c_ {t + 1} / c_ {t})} {d \ log (1 + r)}}}

Într-un context continuu, expresia echivalentă este:

\ \sigma ={\frac {d({\dot {c}}/c)}{dr}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d ({\ dot {c}} / c)} {dr}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d ({\ dot {c}} / c)} {dr}}}

unde este $\ {\dot {c}}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {c}}}$ ${\ displaystyle \ {\ dot {c}}}$ este variația instantanee a lui c (derivata sa în raport cu timpul).

Elasticitatea substituției intertemporale și elasticitatea utilității marginale

Elasticitatea substituției intertemporale este dată și de:

\ \sigma =-{\frac {u'(c)}{c\ u''(c)}}

{\ displaystyle \ \ sigma = - {\ frac {u '(c)} {c \ u' '(c)}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = - {\ frac {u '(c)} {c \ u' '(c)}}}

unde u ( c ) este funcția de utilitate instantanee, u '( c ) utilitatea marginală a consumului (primul derivat față de c ) și u' ' ( c ) al doilea derivat.

Forma anterioară poate fi derivată prin diferențierea a ceea ce în economie se numește ecuația lui Euler , care reprezintă condiția pentru maximizarea intertemporală a utilității presupunând preferințe aditive și separabile în timp:

\ u'(c_{0})={\frac {1+r}{1+\rho }}u'(c_{1})

{\ displaystyle \ u '(c_ {0}) = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}} u' (c_ {1})}

{\ displaystyle \ u '(c_ {0}) = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}} u' (c_ {1})}

unde ρ este rata de preferință intertemporală . ^[2]

Transformându-ne în logaritmi și calculând diferențialul (presupunând constanta ρ) obținem:

\ d\log(1+r)={\frac {u''(c_{0})}{u'(c_{0})}}dc_{0}-{\frac {u''(c_{1})}{u'(c_{1})}}dc_{1}={\frac {u''(c_{0})c_{0}}{u'(c_{0})}}d\log c_{0}-{\frac {u''(c_{1})c_{1}}{u'(c_{1})}}d\log c_{1}

{\ displaystyle \ d \ log (1 + r) = {\ frac {u '' (c_ {0})} {u '(c_ {0})}} dc_ {0} - {\ frac {u' ' (c_ {1})} {u '(c_ {1})}} dc_ {1} = {\ frac {u' '(c_ {0}) c_ {0}} {u' (c_ {0}) }} d \ log c_ {0} - {\ frac {u '' (c_ {1}) c_ {1}} {u '(c_ {1})}} d \ log c_ {1}}

{\ displaystyle \ d \ log (1 + r) = {\ frac {u '' (c_ {0})} {u '(c_ {0})}} dc_ {0} - {\ frac {u' ' (c_ {1})} {u '(c_ {1})}} dc_ {1} = {\ frac {u' '(c_ {0}) c_ {0}} {u' (c_ {0}) }} d \ log c_ {0} - {\ frac {u '' (c_ {1}) c_ {1}} {u '(c_ {1})}} d \ log c_ {1}}

Mai mult, dacă:

-{\frac {u''(c_{0})c_{0}}{u'(c_{0})}}=-{\frac {u''(c_{1})c_{1}}{u'(c_{1})}}={\frac {1}{\sigma }}

{\ displaystyle - {\ frac {u '' (c_ {0}) c_ {0}} {u '(c_ {0})}} = - {\ frac {u' '(c_ {1}) c_ { 1}} {u '(c_ {1})}} = {\ frac {1} {\ sigma}}}

{\ displaystyle - {\ frac {u '' (c_ {0}) c_ {0}} {u '(c_ {0})}} = - {\ frac {u' '(c_ {1}) c_ { 1}} {u '(c_ {1})}} = {\ frac {1} {\ sigma}}}

avem:

\ d\log(1+r)={\frac {1}{\sigma }}(d\log c_{1}-d\log c_{0})={\frac {1}{\sigma }}d\log {\frac {c_{1}}{c_{0}}}

{\ displaystyle \ d \ log (1 + r) = {\ frac {1} {\ sigma}} (d \ log c_ {1} -d \ log c_ {0}) = {\ frac {1} {\ sigma}} d \ log {\ frac {c_ {1}} {c_ {0}}}}

{\ displaystyle \ d \ log (1 + r) = {\ frac {1} {\ sigma}} (d \ log c_ {1} -d \ log c_ {0}) = {\ frac {1} {\ sigma}} d \ log {\ frac {c_ {1}} {c_ {0}}}}

și, prin urmare: ^[3]

\ \sigma ={\frac {d\log {\frac {c_{1}}{c_{0}}}}{d\log(1+r)}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {c_ {1}} {c_ {0}}}} {d \ log (1 + r)}}}

{\ displaystyle \ \ sigma = {\ frac {d \ log {\ frac {c_ {1}} {c_ {0}}}} {d \ log (1 + r)}}}

Trebuie remarcat faptul că $\ -{\frac {u''(c)c}{u'(c)}}$ ${\ displaystyle \ - {\ frac {u '' (c) c} {u '(c)}}}$ ${\ displaystyle \ - {\ frac {u '' (c) c} {u '(c)}}}$ nu este altceva decât elasticitatea utilității marginale , adică modificarea procentuală a utilității marginale care derivă dintr-o modificare unitară procentuală a consumului. În cazul funcțiilor de utilitate separabile în timp, elasticitatea intertemporală a substituției este, prin urmare, egală cu inversul elasticității utilității marginale.

Notă

^ Deoarece investiția unei unități la momentul t produce (1+ r ) unități la momentul t + 1 , (1+ r ) poate fi văzut ca prețul consumului prezent în termeni de consum viitor.
^ Având o funcție de utilitate, cum ar fi:
$\ U=\sum _{i=0}^{T-1}{\frac {u(c_{i})}{(1+\rho )^{i}}}$ ${\ displaystyle \ U = \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {u (c_ {i})} {(1+ \ rho) ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ U = \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {u (c_ {i})} {(1+ \ rho) ^ {i}}}}$
cu o constrângere bugetară intertemporală:
$\ \sum _{i=0}^{T-1}{\frac {c_{i}}{(1+r)^{i}}}=W(0)$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {c_ {i}} {(1 + r) ^ {i}}} = W (0)}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {c_ {i}} {(1 + r) ^ {i}}} = W (0)}$
după W (0) este fluxul de venit actualizat actual și viitor. Din condiția de primă ordine a maximizării utilității constrânse obținem:
$\ {\frac {u'(c_{t})}{(1+\rho )^{t}}}=\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t}}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {t})} {(1+ \ rho) ^ {t}}} = \ lambda {\ frac {1} {(1 + r) ^ {t}} }}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {t})} {(1+ \ rho) ^ {t}}} = \ lambda {\ frac {1} {(1 + r) ^ {t}} }}$
de la care:
$\ {\frac {u'(c_{0})}{u'(c_{1})}}={\frac {1+r}{1+\rho }}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {0})} {u' (c_ {1})}} = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {0})} {u' (c_ {1})}} = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}}}$ .
^ În cazul continuu, din condiția de primă ordine pentru maximizarea utilității constrânse obținem:
$\ u'(c)=\lambda e^{(\rho -r)t}$ ${\ displaystyle \ u '(c) = \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$ ${\ displaystyle \ u '(c) = \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$
Derivați în ceea ce privește timpul:
$\ u''(c){\dot {c}}=(\rho -r)\lambda e^{(\rho -r)t}$ ${\ displaystyle \ u '' (c) {\ dot {c}} = (\ rho -r) \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$ ${\ displaystyle \ u '' (c) {\ dot {c}} = (\ rho -r) \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$
dividend:
$\ {\frac {u''(c)}{u'(c)}}{\dot {c}}=\rho -r$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '' (c)} {u '(c)}} {\ dot {c}} = \ rho -r}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '' (c)} {u '(c)}} {\ dot {c}} = \ rho -r}$
de la care:
$\ {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {u'(c)}{u''(c)c}}(\rho -r)$ ${\ displaystyle \ {\ frac {\ dot {c}} {c}} = {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c}} (\ rho -r)}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {\ dot {c}} {c}} = {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c}} (\ rho -r)}$
Derivarea cu privire la r :
$\ {\frac {d({\frac {\dot {c}}{c}})}{dr}}=-{\frac {u'(c)}{u''(c)c}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ({\ frac {\ dot {c}} {c}})} {dr}} = - {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c }}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ({\ frac {\ dot {c}} {c}})} {dr}} = - {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c }}}$ .

Bibliografie

Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Teoria microeconomică . Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
Obstfeld, Maurice & Rogoff, Kenneth S. (1996). Fundamentele macroeconomiei internaționale . Presa MIT.

Elemente conexe

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de Economie

[1] Deoarece investiția unei unități la momentul t produce (1+ r ) unități la momentul t + 1 , (1+ r ) poate fi văzut ca prețul consumului prezent în termeni de consum viitor.

[2] Având o funcție de utilitate, cum ar fi:
$\ U=\sum _{i=0}^{T-1}{\frac {u(c_{i})}{(1+\rho )^{i}}}$ ${\ displaystyle \ U = \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {u (c_ {i})} {(1+ \ rho) ^ {i}}}}$ ${\ displaystyle \ U = \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {u (c_ {i})} {(1+ \ rho) ^ {i}}}}$
cu o constrângere bugetară intertemporală:
$\ \sum _{i=0}^{T-1}{\frac {c_{i}}{(1+r)^{i}}}=W(0)$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {c_ {i}} {(1 + r) ^ {i}}} = W (0)}$ ${\ displaystyle \ \ sum _ {i = 0} ^ {T-1} {\ frac {c_ {i}} {(1 + r) ^ {i}}} = W (0)}$
după W (0) este fluxul de venit actualizat actual și viitor. Din condiția de primă ordine a maximizării utilității constrânse obținem:
$\ {\frac {u'(c_{t})}{(1+\rho )^{t}}}=\lambda {\frac {1}{(1+r)^{t}}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {t})} {(1+ \ rho) ^ {t}}} = \ lambda {\ frac {1} {(1 + r) ^ {t}} }}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {t})} {(1+ \ rho) ^ {t}}} = \ lambda {\ frac {1} {(1 + r) ^ {t}} }}$
de la care:
$\ {\frac {u'(c_{0})}{u'(c_{1})}}={\frac {1+r}{1+\rho }}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {0})} {u' (c_ {1})}} = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '(c_ {0})} {u' (c_ {1})}} = {\ frac {1 + r} {1+ \ rho}}}$ .

[3] În cazul continuu, din condiția de primă ordine pentru maximizarea utilității constrânse obținem:
$\ u'(c)=\lambda e^{(\rho -r)t}$ ${\ displaystyle \ u '(c) = \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$ ${\ displaystyle \ u '(c) = \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$
Derivați în ceea ce privește timpul:
$\ u''(c){\dot {c}}=(\rho -r)\lambda e^{(\rho -r)t}$ ${\ displaystyle \ u '' (c) {\ dot {c}} = (\ rho -r) \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$ ${\ displaystyle \ u '' (c) {\ dot {c}} = (\ rho -r) \ lambda e ^ {(\ rho -r) t}}$
dividend:
$\ {\frac {u''(c)}{u'(c)}}{\dot {c}}=\rho -r$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '' (c)} {u '(c)}} {\ dot {c}} = \ rho -r}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {u '' (c)} {u '(c)}} {\ dot {c}} = \ rho -r}$
de la care:
$\ {\frac {\dot {c}}{c}}={\frac {u'(c)}{u''(c)c}}(\rho -r)$ ${\ displaystyle \ {\ frac {\ dot {c}} {c}} = {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c}} (\ rho -r)}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {\ dot {c}} {c}} = {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c}} (\ rho -r)}$
Derivarea cu privire la r :
$\ {\frac {d({\frac {\dot {c}}{c}})}{dr}}=-{\frac {u'(c)}{u''(c)c}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ({\ frac {\ dot {c}} {c}})} {dr}} = - {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c }}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {d ({\ frac {\ dot {c}} {c}})} {dr}} = - {\ frac {u '(c)} {u' '(c) c }}}$ .

[1]

[2]

[3]