Filtru universal Kerwin-Huelsman-Newcomb

Filtrul universal Kerwin-Huelsman-Newcomb (KHN) este un filtru biquad cu variabile de stare de ordinul doi. Pe lângă faptul că este o alternativă high-Q pentru secțiunile biquad de ordinul doi low-Q (de exemplu, Sallen-Keys ), este capabilă să producă simultan ieșiri low- pass, high- pass și band-pass, pornind de la o singură intrare. Prezența simultană a ieșirilor low pass, high pass și band pass deschide scenarii interesante în crearea de filtre de notch sau all-pass , egalizatoare de fază Q ridicate.

KHN derivă dintr-o „rearanjare” a funcției de transfer a unui filtru trece-sus biquad, ca raport de două funcții pătratice.

Luând în considerare, de fapt, expresia unui biquad high-pass:

$V_{HP}(s)={\frac {ks^{2}Vi(s)}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = {\ frac {ks ^ {2} Vi (s)} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = {\ frac {ks ^ {2} Vi (s)} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}}}$ (1)

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul termenului din dreapta în (1), obținem:

${\frac {1}{s^{2}}}*V_{HP}(s)(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})=ks^{2}Vi(s)*{\frac {1}{s^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {s ^ {2}}} * V_ {HP} (s) (s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}) = ks ^ {2} Vi (s) * {\ frac {1} {s ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {s ^ {2}}} * V_ {HP} (s) (s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}) = ks ^ {2} Vi (s) * {\ frac {1} {s ^ {2}}}}$ (2)

izolând V _HP (s) obținem:

$V_{HP}(s)=kVi(s)-{\frac {\omega 0}{s}}{\frac {1}{Q}}V_{HP}(s)-{\frac {\omega 0^{2}}{s^{2}}}V_{HP}(s)$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) - {\ frac {\ omega 0} {s}} {\ frac {1} {Q}} V_ {HP} (s) - {\ frac { \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2}}} V_ {HP} (s)}$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) - {\ frac {\ omega 0} {s}} {\ frac {1} {Q}} V_ {HP} (s) - {\ frac { \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2}}} V_ {HP} (s)}$ (3)

Eq. (3) arată că ieșirea de trecere înaltă a KHN (V _HP (s)) este rezultatul unei combinații liniare de: o ieșire de trecere a benzii (obținută prin integrarea -ω0 / s a V _HP (s)) și o ieșire de trecere joasă (integrare suplimentară -ω0 / s pe ieșirea de trecere a benzii). O diagramă bloc, reprezentativă pentru principiul de funcționare al unui filtru universal este prezentată mai jos.

Prin urmare, este posibilă rescrierea ecuației. (3), cum ar fi:

$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) + {\ frac {1} {Q}} V_ {BP} (s) -V_ {LP} (s)}$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) + {\ frac {1} {Q}} V_ {BP} (s) -V_ {LP} (s)}$ (4)

cu $V_{BP}(s)={\frac {-k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$ ${\ displaystyle V_ {BP} (s) = {\ frac {-k \ omega 0s} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Vi (s)}$ ${\ displaystyle V_ {BP} (s) = {\ frac {-k \ omega 0s} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Vi (s)}$ Și $V_{LP}(s)={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi(s)$ ${\ displaystyle V_ {LP} (s) = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ { 2}}} Vi (s)}$ ${\ displaystyle V_ {LP} (s) = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ { 2}}} Vi (s)}$ (5)

Este interesant de observat că ieșirea V _BP (s) are un semn negativ datorită integrării inversoare la care este supus V _HP (s).

Din ec. (5), în raport cu V _BP (s), este, de asemenea, posibil să se obțină câștigul la frecvența centrală a benzii de trecere ω0, care se dovedește a fi:

$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ$ ${\ displaystyle | H_ {BP} (j \ omega 0) | = kQ}$ ${\ displaystyle | H_ {BP} (j \ omega 0) | = kQ}$ (6)

Implementarea circuitului de filtrare KHN

Având în vedere ecuațiile. (3) și (4), este necesară o implementare a circuitului care utilizează două circuite integratoare și un circuit sumator care rezumă ecuația (4).:

$V_{HP}(s)=kVi(s)+{\frac {1}{Q}}V_{BP}(s)-V_{LP}(s)$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) + {\ frac {1} {Q}} V_ {BP} (s) -V_ {LP} (s)}$ ${\ displaystyle V_ {HP} (s) = kVi (s) + {\ frac {1} {Q}} V_ {BP} (s) -V_ {LP} (s)}$ (4)

În acest sens, este posibil să se utilizeze o configurație de circuit precum:

Deoarece, în concordanță cu ec. (4), V _LP (urile) trebuie raportate cu un câștig de -1 rezultă că: $R1=RF$ ${\ displaystyle R1 = RF}$ ${\ displaystyle R1 = RF}$ .

Pentru a determina parametrii k și Q, este posibil să se utilizeze principiul suprapunerii efectelor :

Definim k $\longrightarrow k={\frac {V_{HP}}{Vi}}|_{VBP=VLP=0}={\frac {R3}{R2+R3}}(1+{\frac {RF}{R1}})={\frac {2R3}{R2+R3}}$ ${\ displaystyle \ longrightarrow k = {\ frac {V_ {HP}} {Vi}} | _ {VBP = VLP = 0} = {\ frac {R3} {R2 + R3}} (1 + {\ frac {RF } {R1}}) = {\ frac {2R3} {R2 + R3}}}$ ${\ displaystyle \ longrightarrow k = {\ frac {V_ {HP}} {Vi}} | _ {VBP = VLP = 0} = {\ frac {R3} {R2 + R3}} (1 + {\ frac {RF } {R1}}) = {\ frac {2R3} {R2 + R3}}}$ (7)

Definim Q $\longrightarrow {\frac {1}{Q}}={\frac {V_{HP}}{V_{BP}}}|_{Vi=VLP=0}={\frac {2R2}{R2+R3}}$ ${\ displaystyle \ longrightarrow {\ frac {1} {Q}} = {\ frac {V_ {HP}} {V_ {BP}}} | _ {Vi = VLP = 0} = {\ frac {2R2} {R2 + R3}}}$ ${\ displaystyle \ longrightarrow {\ frac {1} {Q}} = {\ frac {V_ {HP}} {V_ {BP}}} | _ {Vi = VLP = 0} = {\ frac {2R2} {R2 + R3}}}$ (8)

Din (8) rezultă că:

${\frac {R3}{R2}}=2Q-1$ ${\ displaystyle {\ frac {R3} {R2}} = 2Q-1}$ ${\ displaystyle {\ frac {R3} {R2}} = 2Q-1}$ (9)

Această ecuație de proiectare are o implicație interesantă: spre deosebire de ceea ce se întâmplă pentru Sallen-Keys , unde raportul dintre rezistențe depinde de Q ² , limitându-și efectiv utilizarea pentru valori ridicate ale Q, în acest caz dependența este liniară. Acest lucru vă permite să utilizați acest filtru pentru a obține Q-uri ridicate. De fapt, preluarea ecuației. (7):

$k={\frac {2{\frac {R3}{R2}}}{\frac {R2+R3}{R2}}}=2-{\frac {1}{Q}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {2 {\ frac {R3} {R2}}} {\ frac {R2 + R3} {R2}}} = 2 - {\ frac {1} {Q}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {2 {\ frac {R3} {R2}}} {\ frac {R2 + R3} {R2}}} = 2 - {\ frac {1} {Q}}}$ (9)

Reconsiderând câștigul mid-band prezis de echiv. (6):

$|H_{BP}(j\omega 0)|=kQ=2Q-1={\frac {R3}{R2}}$ ${\ displaystyle | H_ {BP} (j \ omega 0) | = kQ = 2Q-1 = {\ frac {R3} {R2}}}$ ${\ displaystyle | H_ {BP} (j \ omega 0) | = kQ = 2Q-1 = {\ frac {R3} {R2}}}$ (10)

Implementarea completă a circuitului unui filtru KHN este prezentată mai jos:

Un astfel de circuit se manifestă a $\omega 0={\frac {1}{RC}}$ ${\ displaystyle \ omega 0 = {\ frac {1} {RC}}}$ ${\ displaystyle \ omega 0 = {\ frac {1} {RC}}}$ (11)

Prin exploatarea rezultatelor unui filtru KHN este posibil să realizăm:

Filtre de notch Biquad (frecvență centrală sau notch trece jos / înalt)
Filtre All-Pass Biquad

Biquad Notch Filter cu KHN

Folosind ieșirile unui filtru universal KHN, este posibil să creați un filtru de notă biquad cu frecvență centrală, trecere înaltă sau trecere joasă, prin intermediul unei combinații liniare adecvate a ieșirilor V _HP și V _LP , prezentate în miniatură.

Fitro Notch Biquad cu KHN

Având în vedere această implementare a circuitului, obținem că:

$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ ${\ displaystyle Vo = -V_ {HP} {\ frac {RF} {R_ {HP}}} - V_ {LP} {\ frac {RF} {R_ {LP}}}}$ ${\ displaystyle Vo = -V_ {HP} {\ frac {RF} {R_ {HP}}} - V_ {LP} {\ frac {RF} {R_ {LP}}}}$ (12)

cu

$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ ${\ displaystyle V_ {HP} = {\ frac {ks ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ ${\ displaystyle V_ {HP} = {\ frac {ks ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ Și $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ ${\ displaystyle V_ {LP} = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Tu}$ ${\ displaystyle V_ {LP} = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Tu}$ (13)

Înlocuind expresiile lui V _HP și V _LP în Vo obținem:

$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$ ${\ displaystyle Vo = -k {\ frac {RF} {R_ {HP}}} {\ frac {(s ^ {2} + {\ frac {R_ {HP}} {R_ {LP}}} \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}} Vi}$ ${\ displaystyle Vo = -k {\ frac {RF} {R_ {HP}}} {\ frac {(s ^ {2} + {\ frac {R_ {HP}} {R_ {LP}}} \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}} Vi}$ (14)

Dacă doriți să creați o crestătură cu o frecvență suprimată ω0, va fi necesar să întrebați $R_{HP}=R_{LP}$ ${\ displaystyle R_ {HP} = R_ {LP}}$ ${\ displaystyle R_ {HP} = R_ {LP}}$ crearea formei generalizate a unui filtru de notch biquad:

$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} + \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q }} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} + \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q }} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ (15)

În caz contrar, dacă doriți să creați un filtru de notch trece jos , va trebui să creați o condiție generalizată, care să asigure o frecvență suprimată. $\omega _{N}\neq \omega 0$ ${\ displaystyle \ omega _ {N} \ neq \ omega 0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {N} \ neq \ omega 0}$ de tipul:

$H_{n}(s)=a2{\frac {(s^{2}+\omega _{N}^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} + \ omega _ {N} ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0 } {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ ${\ displaystyle H_ {n} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} + \ omega _ {N} ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0 } {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ (16)

cu $\omega _{N}>\omega 0$ ${\ displaystyle \ omega _ {N}> \ omega 0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {N}> \ omega 0}$ . În acest fel, câștigul filtrului de frecvență joasă se va dovedi a fi $|a2|{\frac {\omega _{N}^{2}}{\omega 0^{2}}}$ ${\ displaystyle | a2 | {\ frac {\ omega _ {N} ^ {2}} {\ omega 0 ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle | a2 | {\ frac {\ omega _ {N} ^ {2}} {\ omega 0 ^ {2}}}}$ > $|a2|$ ${\ displaystyle | a2 |}$ ${\ displaystyle | a2 |}$ , câștig de înaltă frecvență . Pentru a realiza aceeași condiție cu un sumator pe rezultatele KHN, va fi necesar să se impună, pe baza ecuației. (14): $R_{HP}>R_{LP}$ ${\ displaystyle R_ {HP}> R_ {LP}}$ ${\ displaystyle R_ {HP}> R_ {LP}}$ .

Un discurs complet analog dacă intenția este de a crea o notă de trecere înaltă . În acest caz, $\omega _{N}<\omega 0$ ${\ displaystyle \ omega _ {N} <\ omega 0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {N} <\ omega 0}$ , deci câștigurile sunt inversate comparativ cu cazul anterior. Pentru a realiza aceeași condiție cu un sumator pe rezultatele KHN, va fi necesar să se impună, pe baza ecuației. (14): $R_{HP}<R_{LP}$ ${\ displaystyle R_ {HP} <R_ {LP}}$ ${\ displaystyle R_ {HP} <R_ {LP}}$ .

Filtru All-Pass Biquad cu KHN

Folosind ieșirile unui filtru universal KHN este posibil să creați un filtru biquad all-pass , prin combinație liniară a ieșirilor V _HP , V _BP și V _LP , așa cum se arată în miniatură.

Filtru All-Pass Biquad cu KHN

Având în vedere această implementare a circuitului, obținem că:

$Vo=-V_{HP}{\frac {RF}{R_{HP}}}-V_{BP}{\frac {RF}{R_{BP}}}-V_{LP}{\frac {RF}{R_{LP}}}$ ${\ displaystyle Vo = -V_ {HP} {\ frac {RF} {R_ {HP}}} - V_ {BP} {\ frac {RF} {R_ {BP}}} - V_ {LP} {\ frac { RF} {R_ {LP}}}}$ ${\ displaystyle Vo = -V_ {HP} {\ frac {RF} {R_ {HP}}} - V_ {BP} {\ frac {RF} {R_ {BP}}} - V_ {LP} {\ frac { RF} {R_ {LP}}}}$ (17)

cu

$V_{HP}={\frac {ks^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ ${\ displaystyle V_ {HP} = {\ frac {ks ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ ${\ displaystyle V_ {HP} = {\ frac {ks ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ , $V_{BP}=-{\frac {k\omega 0s}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ ${\ displaystyle V_ {BP} = - {\ frac {k \ omega 0s} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ ${\ displaystyle V_ {BP} = - {\ frac {k \ omega 0s} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}}} Vi}$ Și $V_{LP}={\frac {k\omega 0^{2}}{s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2}}}Vi$ ${\ displaystyle V_ {LP} = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Tu}$ ${\ displaystyle V_ {LP} = {\ frac {k \ omega 0 ^ {2}} {s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2}} } Tu}$ (18)

Înlocuind expresiile lui V _HP , V _BP și V _LP în Vo obținem:

$Vo=-k{\frac {RF}{R_{HP}}}{\frac {(s^{2}-{\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}s+{\frac {R_{HP}}{R_{LP}}}\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}Vi$ ${\ displaystyle Vo = -k {\ frac {RF} {R_ {HP}}} {\ frac {(s ^ {2} - {\ frac {R_ {HP}} {R_ {BP}}} s + { \ frac {R_ {HP}} {R_ {LP}}} \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}} Tu}$ ${\ displaystyle Vo = -k {\ frac {RF} {R_ {HP}}} {\ frac {(s ^ {2} - {\ frac {R_ {HP}} {R_ {BP}}} s + { \ frac {R_ {HP}} {R_ {LP}}} \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}} Tu}$ (19)

care se compară cu o expresie generalizată a unui biquad all-pass:

$H_{AP}(s)=a2{\frac {(s^{2}-{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}{(s^{2}+{\frac {\omega 0}{Q}}s+\omega 0^{2})}}$ ${\ displaystyle H_ {AP} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} - {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ ${\ displaystyle H_ {AP} (s) = a2 {\ frac {(s ^ {2} - {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})} {(s ^ {2} + {\ frac {\ omega 0} {Q}} s + \ omega 0 ^ {2})}}}$ (20)

permite derivarea unor considerații de circuit:

$R_{HP}=R_{LP}$ ${\ displaystyle R_ {HP} = R_ {LP}}$ ${\ displaystyle R_ {HP} = R_ {LP}}$ Și ${\frac {1}{Q}}={\frac {R_{HP}}{R_{BP}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {Q}} = {\ frac {R_ {HP}} {R_ {BP}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {Q}} = {\ frac {R_ {HP}} {R_ {BP}}}}$ (21)