Metoda cuțitului

Metoda jackknife este o procedură de eșantionare utilizată în statistici pentru a estima eroarea standard a unei cantități.

Ideea fundamentală din spatele metodei cuțitului este de a recalcula cantitatea statistică estimată de mai multe ori, lăsând o observație la un moment dat în afara eșantionului. Recalcularea se efectuează începând cu acest nou set (eșantionul privat de o observație).

Având în vedere un eșantion ${\mathcal {O}}=(O_{1},\dots ,O_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = (O_ {1}, \ dots, O_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = (O_ {1}, \ dots, O_ {n})}$ putem calcula $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -th bin " cuțit " eliminând eșantionul i, apoi: ${\mathcal {O}}_{k}={\dfrac {1}{n-1}}\sum _{i\neq k}O_{i}={\dfrac {1}{n-1}}\left(n\langle {\mathcal {O}}\rangle -O_{k}\right)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k} = {\ dfrac {1} {n-1}} \ sum _ {i \ neq k} O_ {i} = {\ dfrac {1} {n- 1}} \ left (n \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle -O_ {k} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {k} = {\ dfrac {1} {n-1}} \ sum _ {i \ neq k} O_ {i} = {\ dfrac {1} {n- 1}} \ left (n \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle -O_ {k} \ right)}$

Estimatorul mediei ${\hat {\theta }}=f({\mathcal {O}})$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = f ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = f ({\ mathcal {O}})}$ se calculează ca: $\langle \theta \rangle _{jack}=f(\langle {\mathcal {O}}\rangle )$ ${\ displaystyle \ langle \ theta \ rangle _ {jack} = f (\ langle {\ mathcal {O}} \ rangle)}$ ${\ displaystyle \ langle \ theta \ rangle _ {jack} = f (\ langle {\ mathcal {O}} \ rangle)}$

unde este $\langle {\mathcal {O}}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}$ este media dată de: $\langle {\mathcal {O}}\rangle ={\dfrac {1}{n}}\sum _{i}O_{i}$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} O_ {i}}$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} O_ {i}}$

Acolo $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -Atestul cuțit al estimatorului ${\hat {\theta }}=f({\mathcal {O}})$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = f ({\ mathcal {O}})}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} = f ({\ mathcal {O}})}$ este dat de: $\theta _{k}=f({\mathcal {O}}_{k})$ ${\ displaystyle \ theta _ {k} = f ({\ mathcal {O}} _ {k})}$ ${\ displaystyle \ theta _ {k} = f ({\ mathcal {O}} _ {k})}$ așa că primim $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ estimări cuțit $i=1,\dots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ ${\ displaystyle i = 1, \ dots, n}$ .

Abaterea standard este calculată după cum urmează: ${\sigma }_{jack}^{2}=\left({\dfrac {n-1}{n}}\right)\sum _{i=1}^{n}\left(\langle \theta \rangle _{jack}-\theta _{i}\right)^{2}$ ${\ displaystyle {\ sigma} _ {jack} ^ {2} = \ left ({\ dfrac {n-1} {n}} \ right) \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ langle \ theta \ rangle _ {jack} - \ theta _ {i} \ right) ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ sigma} _ {jack} ^ {2} = \ left ({\ dfrac {n-1} {n}} \ right) \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (\ langle \ theta \ rangle _ {jack} - \ theta _ {i} \ right) ^ {2}}$

În cazul mediei putem observa că: $\langle {\mathcal {O}}\rangle _{jack}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i}{\mathcal {O}}_{i}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i}{\dfrac {1}{n-1}}\left(n\langle {\mathcal {O}}\rangle -O_{i}\right)={\dfrac {1}{n-1}}\sum _{i}\langle {\mathcal {O}}\rangle -{\dfrac {1}{n-1}}\left({\dfrac {1}{n}}\sum _{i}O_{i}\right)={\dfrac {n}{n-1}}\langle {\mathcal {O}}\rangle -{\dfrac {1}{n-1}}\langle {\mathcal {O}}\rangle =\langle {\mathcal {O}}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle _ {jack} = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} {\ mathcal {O}} _ {i} = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} {\ dfrac {1} {n-1}} \ left (n \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle -O_ {i} \ right) = { \ dfrac {1} {n-1}} \ sum _ {i} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle - {\ dfrac {1} {n-1}} \ left ({\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} O_ {i} \ right) = {\ dfrac {n} {n-1}} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle - {\ dfrac {1} {n -1}} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle = \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle _ {jack} = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} {\ mathcal {O}} _ {i} = {\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} {\ dfrac {1} {n-1}} \ left (n \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle -O_ {i} \ right) = { \ dfrac {1} {n-1}} \ sum _ {i} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle - {\ dfrac {1} {n-1}} \ left ({\ dfrac {1} {n}} \ sum _ {i} O_ {i} \ right) = {\ dfrac {n} {n-1}} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle - {\ dfrac {1} {n -1}} \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle = \ langle {\ mathcal {O}} \ rangle}$

Această metodă vă permite să calculați abaterea standard a valorilor conexe utilizând formula de mai sus, care este simplă și similară cu formula pentru abaterea standard a observațiilor fără legătură.

Elemente conexe

Resamplarea

linkuri externe