Model cu domeniu unic

Modelul monodominiu ( modelul monodominiu) este o reducere a modelului bidominio care simulează propagarea electrică în țesutul miocardic. Reducerea derivă din ipoteza că domeniile intra și extracelular au raporturi de anizotropie egale. Deși nu este corect din punct de vedere fiziologic ca modelul bidomainului, în unele cazuri este suficient de adecvat pentru studiul activității electrice cardiace, cu marele avantaj de a avea o reducere a costului de calcul comparativ cu bidomainul. ^[1]

Formulare

Este $\mathbb {T}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ domeniul de referință al modelului, modelul de domeniu unic poate fi formulat după cum urmează ^[2]

{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\quad \quad {\text{in }}\mathbb {T} ,

{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right) \ quad \ quad {\ text {in}} \ mathbb {T},}

{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right) \ quad \ quad {\ text {in}} \ mathbb {T},}

unde este $\mathbf {\Sigma } _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$ este tensorul de conductivitate intracelular, $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este potențialul transmembranar, $I_{\text{ion}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {ion}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {ion}}}$ este curentul ionic transmembranar pe unitate de suprafață, $C_{m}$ ${\ displaystyle C_ {m}}$ ${\ displaystyle C_ {m}}$ este conductivitatea membranei pe unitate de suprafață, $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este raportul de conductivitate intra-extracelular e $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este suprafața membranei pe unitate de volum (de țesut). ^[1]

Derivare

Modelul cu un singur domeniu poate fi derivat cu ușurință din modelul cu două domenii. Acesta din urmă poate fi scris ca ^[1]

{\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right)\\\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(\mathbf {\Sigma } _{i}+\mathbf {\Sigma } _{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e} \ right) & = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right) \\\ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} + \ mathbf {\ Sigma} _ {e} \ right) \ nabla v_ {e} \ right) & = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e} \ right) & = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right) \\\ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) + \ nabla \ cdot \ left (\ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} + \ mathbf {\ Sigma} _ {e} \ right) \ nabla v_ {e} \ right) & = 0 \ end {align}}}

Presupunând că avem un raport fix de anizotropie, adică $\mathbf {\Sigma } _{e}=\lambda \mathbf {\Sigma } _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {e} = \ lambda \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ Sigma} _ {e} = \ lambda \ mathbf {\ Sigma} _ {i}}$ , a doua ecuație poate fi scrisă ca ^[1]

\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v_{e}\right)=-{\frac {1}{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right).

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e} \ right) = - {\ frac {1} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right).}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v_ {e} \ right) = - {\ frac {1} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right).}

Prin urmare, prin substituirea acestui rezultat în prima ecuație a celor două domenii, obținem o singură ecuație care reprezintă modelul domeniului unic ^[1]

{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla \cdot \left(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\text{ion}}\right).

{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right).}

{\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {1+ \ lambda}} \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v \ right) = \ chi \ left (C_ {m} {\ frac {\ partial v} {\ partial t}} + I _ {\ text {ion}} \ right).}

Condiții de frontieră

Spre deosebire de modelul cu două domenii, condițiile limită ale izolării electrice complete sunt de obicei luate în considerare pentru un singur domeniu, adică se presupune că curentul nu poate curge în interiorul sau în afara domeniului de referință (de obicei inima). ^[3] ^[4] Matematic acest lucru poate fi descris impunând că fluxul potențialului este zero la marginea domeniului, adică ^[4]

$(\mathbf {\Sigma } _{i}\nabla v)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \mathbb {T}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v) \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ partial \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {\ Sigma} _ {i} \ nabla v) \ cdot \ mathbf {n} = 0 \ quad \ quad {\ text {on}} \ partial \ mathbb {T}}$

in care $\mathbf {n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {n}}$ $\ mathbf n$ este unitatea normală din afara domeniului e $\partial \mathbb {T}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {T}}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {T}}$ este granița domeniului în sine.

Notă

^ ^a ^b ^c ^d ^e Andrew J. Pullan, Martin L. Buist și Leo K. Cheng, Modelarea matematică a activității electrice a inimii: de la celulă la suprafața corpului și înapoi , World Scientific, 2005, ISBN 978-9812563736 .
^ Keener J, Sneyd J, Mathematical Physiology II: Systems Physiology , ediția a II-a, Springer, 2009, ISBN 978-0-387-79387-0 .
^ (EN) Rossi și Simone Boyce E. Griffith, Incorporating inductances tissue-scale models of cardiac electrophysiology , in Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 27, n. 9, 2017-09, p. 093926, DOI : 10.1063 / 1.5000706 . Adus pe 26 iunie 2020 .
^ ^a ^b ( EN ) Muriel Boulakia, Serge Cazeau și Miguel A. Fernández, Modelarea matematică a electrocardiogramelor: un studiu numeric , în Annals of Biomedical Engineering , vol. 38, nr. 3, 2010-03, pp. 1071-1097, DOI : 10.1007 / s10439-009-9873-0 . Adus pe 26 iunie 2020 .

Elemente conexe

[Pullan-2005-1] Andrew J. Pullan, Martin L. Buist și Leo K. Cheng, Modelarea matematică a activității electrice a inimii: de la celulă la suprafața corpului și înapoi , World Scientific, 2005, ISBN 978-9812563736 .

[KeenerSneyd-2] Keener J, Sneyd J, Mathematical Physiology II: Systems Physiology , ediția a II-a, Springer, 2009, ISBN 978-0-387-79387-0 .

[3] (EN) Rossi și Simone Boyce E. Griffith, Incorporating inductances tissue-scale models of cardiac electrophysiology , in Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, vol. 27, n. 9, 2017-09, p. 093926, DOI : 10.1063 / 1.5000706 . Adus pe 26 iunie 2020 .

[:0-4] ( EN ) Muriel Boulakia, Serge Cazeau și Miguel A. Fernández, Modelarea matematică a electrocardiogramelor: un studiu numeric , în Annals of Biomedical Engineering , vol. 38, nr. 3, 2010-03, pp. 1071-1097, DOI : 10.1007 / s10439-009-9873-0 . Adus pe 26 iunie 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]