Transformări stea-deltă

Transformările stele-delta sau stele-delta sunt utilizate pe scară largă în domeniul electrotehnicii pentru a putea rezolva mai ușor circuite cu bipoli pasivi. Transformarea unei configurații triunghiulare într-o stea (sau invers) înseamnă găsirea unui set de valori de rezistență (sau impedanță ) care să facă sistemul echivalent. Cu alte cuvinte, cu aceeași tensiune în punctele a, b și c, curenții de alimentare ai celor două configurații trebuie să fie identici în cele trei puncte.

Regim staționar

Trecerea de la stea la delta

Pentru a demonstra tranziția de la o configurație stea la o delta (mai utilă de exemplu în calculul rezistențelor în paralel), primul circuit este rezolvat cu metoda mesh și al doilea cu metoda nodului luând în considerare nodul A la potențial nul pentru simplitate. Pentru a face acest lucru, este furnizată o sursă de alimentare externă care nu modifică caracteristicile sistemului.

Pentru primul circuit avem:

${\begin{bmatrix}R_{a}+R_{b}&-R_{a}\\-R_{a}&R_{a}+R_{c}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} R_ {a} + R_ {b} & - R_ {a} \\ - R_ {a} & R_ {a} + R_ {c} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} R_ {a} + R_ {b} & - R_ {a} \\ - R_ {a} & R_ {a} + R_ {c} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} I_ {1} \\ I_ {2} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}}$

prin care este primul curent de plasă

$I_{1}=-V_{b}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}-V_{b}{\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}+V_{c}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$ ${\ displaystyle I_ {1} = - V_ {b} {\ frac {R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} } -V_ {b} {\ frac {R_ {c}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}} + V_ {c} { \ frac {R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}}$ $I_ {1} = - V_ {b} {\ frac {R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}} - V_ {b} {\ frac {R_ {c}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}} + V_ {c} {\ frac { R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}$ .

Pentru al doilea circuit, pe de altă parte, obținem

${\begin{bmatrix}G_{ab}+G_{bc}&-G_{bc}\\-G_{bc}&G_{ac}+G_{bc}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} G_ {ab} + G_ {bc} & - G_ {bc} \\ - G_ {bc} & G_ {ac} + G_ {bc} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {1} \\ I_ {2} \ end {bmatrix}}}$ ${\ begin {bmatrix} G _ {{ab}} + G _ {{bc}} & - G _ {{bc}} \\ - G _ {{bc}} & G _ {{ac}} + G _ {{bc}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {b} \\ V_ {c} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -I_ {1} \\ I_ { 2} \ end {bmatrix}}$

de aici ecuația curentului $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ Și

$I_{1}=-(G_{ab}+G_{bc})V_{b}+G_{bc}V_{c}$ ${\ displaystyle I_ {1} = - (G_ {ab} + G_ {bc}) V_ {b} + G_ {bc} V_ {c}}$ $I_ {1} = - (G _ {{ab}} + G _ {{bc}}) V_ {b} + G _ {{bc}} V_ {c}$ .

Egalând coeficienții obținem relația pentru conductanța dintre nodul B și C :

$G_{bc}={\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}$ ${\ displaystyle G_ {bc} = {\ frac {R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}}$ $G _ {{bc}} = {\ frac {R_ {a}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}$

și prin urmare în mod similar se arată că

G_{ac}={\frac {R_{b}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}

{\ displaystyle G_ {ac} = {\ frac {R_ {b}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}}

G _ {{ac}} = {\ frac {R_ {b}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}

Și

G_{ab}={\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}

{\ displaystyle G_ {ab} = {\ frac {R_ {c}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}}

G _ {{ab}} = {\ frac {R_ {c}} {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}}}

.

De aceea, rețineți că valoarea conductanței unei laturi a triunghiului este egală cu raportul dintre rezistența care se opune laturii luate în considerare și produsul mixt două-la-două al rezistențelor în stea, astfel se vor obține rezistențele respective:

$R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{a}}}$ ${\ displaystyle R_ {bc} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {a}}}}$ $R _ {{bc}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {a}}}$

$R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{b}}}$ ${\ displaystyle R_ {ac} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {b}}}}$ $R _ {{ac}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {b}}}$

$R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{c}}}$ ${\ displaystyle R_ {ab} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {c}}}}$ $R _ {{ab}} = {\ frac {R_ {a} R_ {b} + R_ {a} R_ {c} + R_ {b} R_ {c}} {R_ {c}}}$

Trecerea de la triunghi la stea

Într-un mod perfect dual, rezistențele stelelor se obțin din conductanțele triunghiului:

$R_{a}={\frac {G_{bc}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$ ${\ displaystyle R_ {a} = {\ frac {G_ {bc}} {G_ {ab} G_ {ac} + G_ {ab} G_ {bc} + G_ {ac} G_ {bc}}}}$ $R_ {a} = {\ frac {G _ {{bc}}} {G _ {{ab}} G _ {{ac}} + G _ {{ab}} G _ {{bc}} + G _ {{ac}} G_ {{bc}}}}$

$R_{b}={\frac {G_{ac}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$ ${\ displaystyle R_ {b} = {\ frac {G_ {ac}} {G_ {ab} G_ {ac} + G_ {ab} G_ {bc} + G_ {ac} G_ {bc}}}}$ $R_ {b} = {\ frac {G _ {{ac}}} {G _ {{ab}} G _ {{ac}} + G _ {{ab}} G _ {{bc}} + G _ {{ac}} G_ {{bc}}}}$

$R_{c}={\frac {G_{ab}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}$ ${\ displaystyle R_ {c} = {\ frac {G_ {ab}} {G_ {ab} G_ {ac} + G_ {ab} G_ {bc} + G_ {ac} G_ {bc}}}}$ $R_ {c} = {\ frac {G _ {{ab}}} {G _ {{ab}} G _ {{ac}} + G _ {{ab}} G _ {{bc}} + G _ {{ac}} G_ {{bc}}}}$

Sau (luând în considerare doar rezistențele):

$R_{a}={R_{ab}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$ ${\ displaystyle R_ {a} = {R_ {ab} R_ {ac} \ peste R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}}$ $R_ {a} = {R _ {{ab}} R _ {{ac}} \ peste R _ {{ab}} + R _ {{bc}} + R _ {{ac}}}$

$R_{b}={R_{ab}R_{bc} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$ ${\ displaystyle R_ {b} = {R_ {ab} R_ {bc} \ peste R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}}$ $R_ {b} = {R _ {{ab}} R _ {{bc}} \ peste R _ {{ab}} + R _ {{bc}} + R _ {{ac}}}$

$R_{c}={R_{bc}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}$ ${\ displaystyle R_ {c} = {R_ {bc} R_ {ac} \ peste R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}}$ $R_ {c} = {R _ {{bc}} R _ {{ac}} \ peste R _ {{ab}} + R _ {{bc}} + R _ {{ac}}}$

Demonstrarea prin intermediul principiului suprapunerii efectelor

O altă modalitate de a demonstra validitatea echivalenței poate fi obținută prin suprapunerea efectelor .

Pentru ca configurația delta să fie echivalentă cu steaua, curenții din punctele A, B și C trebuie să fie identici în cele două configurații.

Acum determinăm curenții cu principiul suprapunerii în cele două configurații.

Să luăm configurația triunghiului și să calculăm curenții care intră în nodurile A, B și C.

$I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}$ ${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {V_ {a} -V_ {b}} {R_ {ab} // (R_ {bc} + R_ {ac})}} + {\ frac {V_ {a } -V_ {c}} {R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc})}}}$ ${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {V_ {a} -V_ {b}} {R_ {ab} // (R_ {bc} + R_ {ac})}} + {\ frac {V_ {a } -V_ {c}} {R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc})}}}$

$I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{ab}//(R_{ac}+R_{bc})}}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {V_ {b} -V_ {c}} {R_ {bc} // (R_ {ac} + R_ {ab})}} + {\ frac {V_ {b } -V_ {a}} {R_ {ab} // (R_ {ac} + R_ {bc})}}}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {V_ {b} -V_ {c}} {R_ {bc} // (R_ {ac} + R_ {ab})}} + {\ frac {V_ {b } -V_ {a}} {R_ {ab} // (R_ {ac} + R_ {bc})}}}$

$I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{bc}//(R_{ab}+R_{ac})}}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {V_ {c} -V_ {a}} {R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc})}} + {\ frac {V_ {c } -V_ {b}} {R_ {bc} // (R_ {ab} + R_ {ac})}}}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {V_ {c} -V_ {a}} {R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc})}} + {\ frac {V_ {c } -V_ {b}} {R_ {bc} // (R_ {ab} + R_ {ac})}}}$

Acum să calculăm aceiași curenți cu configurația stea

$I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{a}+R_{b}}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{a}+R_{c}}}$ ${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {V_ {a} -V_ {b}} {R_ {a} + R_ {b}}} + {\ frac {V_ {a} -V_ {c}} { R_ {a} + R_ {c}}}}$ ${\ displaystyle I_ {a} = {\ frac {V_ {a} -V_ {b}} {R_ {a} + R_ {b}}} + {\ frac {V_ {a} -V_ {c}} { R_ {a} + R_ {c}}}}$

$I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{b}+R_{c}}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{b}+R_{a}}}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {V_ {b} -V_ {c}} {R_ {b} + R_ {c}}} + {\ frac {V_ {b} -V_ {a}} { R_ {b} + R_ {a}}}}$ ${\ displaystyle I_ {b} = {\ frac {V_ {b} -V_ {c}} {R_ {b} + R_ {c}}} + {\ frac {V_ {b} -V_ {a}} { R_ {b} + R_ {a}}}}$

$I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{c}+R_{a}}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{c}+R_{b}}}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {V_ {c} -V_ {a}} {R_ {c} + R_ {a}}} + {\ frac {V_ {c} -V_ {b}} { R_ {c} + R_ {b}}}}$ ${\ displaystyle I_ {c} = {\ frac {V_ {c} -V_ {a}} {R_ {c} + R_ {a}}} + {\ frac {V_ {c} -V_ {b}} { R_ {c} + R_ {b}}}}$

Este ușor de văzut că pentru a avea echivalență este necesar ca.

$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}+R_{b}=R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}+R_{c}=R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{s}}}\\\\R_{a}+R_{c}=R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} + R_ {b} = R_ {ab} // (R_ {bc} + R_ {ac}) = {\ frac {R_ { ab} (R_ {bc} + R_ {ac})} {R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {s}} } \\\\ R_ {b} + R_ {c} = R_ {bc} // (R_ {ac} + R_ {ab}) = {\ frac {R_ {bc} (R_ {ac} + R_ {ab })} {R_ {bc} + R_ {ac} + R_ {ab}}} = {\ frac {R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}} {R_ {bc} + R_ {ac} + R_ {ab}}} = {\ frac {R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}} {R_ {s}}} \\\\ R_ {a} + R_ {c} = R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc}) = {\ frac {R_ {ac} (R_ {ab} + R_ {bc})} {R_ {ac} + R_ { ab} + R_ {bc}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {s}}} \\\ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} + R_ {b} = R_ {ab} // (R_ {bc} + R_ {ac}) = {\ frac {R_ { ab} (R_ {bc} + R_ {ac})} {R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {ab} + R_ {bc} + R_ {ac}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {s}} } \\\\ R_ {b} + R_ {c} = R_ {bc} // (R_ {ac} + R_ {ab}) = {\ frac {R_ {bc} (R_ {ac} + R_ {ab })} {R_ {bc} + R_ {ac} + R_ {ab}}} = {\ frac {R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}} {R_ {bc} + R_ {ac} + R_ {ab}}} = {\ frac {R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}} {R_ {s}}} \\\\ R_ {a} + R_ {c} = R_ {ac} // (R_ {ab} + R_ {bc}) = {\ frac {R_ {ac} (R_ {ab} + R_ {bc})} {R_ {ac} + R_ { ab} + R_ {bc}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {s}}} \\\ end {array}} \ right.}$

unde este $R_{s}=R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}$ ${\ displaystyle R_ {s} = R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}$ ${\ displaystyle R_ {s} = R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}$ .

Să stabilim acum $R_{a},R_{b}eR_{c}$ ${\ displaystyle R_ {a}, R_ {b} și R_ {c}}$ ${\ displaystyle R_ {a}, R_ {b} și R_ {c}}$ (transformare stea triunghi).

$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {(R_{a}+R_{b})-(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})-(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}={\frac {(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})-(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})-(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{s}}}\\\\R_{c}={\frac {-(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {-(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} = {\ frac {(R_ {a} + R_ {b}) - (R_ {b} + R_ {c}) + ( R_ {a} + R_ {c})} {2}} = {\ frac {(R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) - (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}) + (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {ac} } {R_ {s}}} \\\\ R_ {b} = {\ frac {(R_ {a} + R_ {b}) + (R_ {b} + R_ {c}) - (R_ {a} + R_ {c})} {2}} = {\ frac {(R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) + (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}) - (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc}} {R_ { s}}} \\\\ R_ {c} = {\ frac {- (R_ {a} + R_ {b}) + (R_ {b} + R_ {c}) + (R_ {a} + R_ { c})} {2}} = {\ frac {- (R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) + (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ { ab}) + (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {s} }} \\\ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} = {\ frac {(R_ {a} + R_ {b}) - (R_ {b} + R_ {c}) + ( R_ {a} + R_ {c})} {2}} = {\ frac {(R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) - (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}) + (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {ac} } {R_ {s}}} \\\\ R_ {b} = {\ frac {(R_ {a} + R_ {b}) + (R_ {b} + R_ {c}) - (R_ {a} + R_ {c})} {2}} = {\ frac {(R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) + (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ {ab}) - (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc}} {R_ { s}}} \\\\ R_ {c} = {\ frac {- (R_ {a} + R_ {b}) + (R_ {b} + R_ {c}) + (R_ {a} + R_ { c})} {2}} = {\ frac {- (R_ {ab} R_ {bc} + R_ {ab} R_ {ac}) + (R_ {bc} R_ {ac} + R_ {bc} R_ { ab}) + (R_ {ac} R_ {ab} + R_ {ac} R_ {bc})} {2R_ {s}}} = {\ frac {R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {s} }} \\\ end {array}} \ right.}$

asa de

$\left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{c}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} = {\ frac {R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}} } \\\\ R_ {b} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} \\\\ R_ {c} = { \ frac {R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} \\\ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} R_ {a} = {\ frac {R_ {ab} R_ {ac}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}} } \\\\ R_ {b} = {\ frac {R_ {ab} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} \\\\ R_ {c} = { \ frac {R_ {ac} R_ {bc}} {R_ {ac} + R_ {ab} + R_ {bc}}} \\\ end {array}} \ right.}$

Prin inversarea soluției, transformarea inversă se obține cu ușurință.

Regim sinusoidal

Configurațiile conform cărora putem găsi componentele rezistive, capacitive și inductive sunt următoarele:

Este posibil să comutați de la diagramele din dreapta (configurație delta) la cele din stânga (configurație stea) folosind următoarele formule:

Tranziția de la triunghi la stea

${\dot {Z}}_{a}={{\dot {Z}}_{ab}{\dot {Z}}_{ac} \over {\dot {Z}}_{ab}+{\dot {Z}}_{bc}+{\dot {Z}}_{ac}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {a} = {{\ dot {Z}} _ {ab} {\ dot {Z}} _ {ac} \ over {\ dot {Z}} _ {ab } + {\ dot {Z}} _ {bc} + {\ dot {Z}} _ {ac}}}$ ${\ dot {Z}} _ {a} = {{\ dot {Z}} _ {{ab}} {\ dot {Z}} _ {{ac}} \ over {\ dot {Z}} _ { {ab}} + {\ dot {Z}} _ {{bc}} + {\ dot {Z}} _ {{ac}}}$

${\dot {Z}}_{b}={{\dot {Z}}_{ab}{\dot {Z}}_{bc} \over {\dot {Z}}_{ab}+{\dot {Z}}_{bc}+{\dot {Z}}_{ac}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {b} = {{\ dot {Z}} _ {ab} {\ dot {Z}} _ {bc} \ over {\ dot {Z}} _ {ab } + {\ dot {Z}} _ {bc} + {\ dot {Z}} _ {ac}}}$ ${\ dot {Z}} _ {b} = {{\ dot {Z}} _ {{ab}} {\ dot {Z}} _ {{bc}} \ over {\ dot {Z}} _ { {ab}} + {\ dot {Z}} _ {{bc}} + {\ dot {Z}} _ {{ac}}}$

${\dot {Z}}_{c}={{\dot {Z}}_{bc}{\dot {Z}}_{ac} \over {\dot {Z}}_{ab}+{\dot {Z}}_{bc}+{\dot {Z}}_{ac}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {c} = {{\ dot {Z}} _ {bc} {\ dot {Z}} _ {ac} \ over {\ dot {Z}} _ {ab } + {\ dot {Z}} _ {bc} + {\ dot {Z}} _ {ac}}}$ ${\ dot {Z}} _ {c} = {{\ dot {Z}} _ {{bc}} {\ dot {Z}} _ {{ac}} \ over {\ dot {Z}} _ { {ab}} + {\ dot {Z}} _ {{bc}} + {\ dot {Z}} _ {{ac}}}$

Trecerea de la stea la delta

${\dot {Z}}_{ab}={{\dot {Z}}_{a}{\dot {Z}}_{b}+{\dot {Z}}_{b}{\dot {Z}}_{c}+{\dot {Z}}_{c}{\dot {Z}}_{a} \over {\dot {Z}}_{c}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {ab} = {{\ dot {Z}} _ {a} {\ dot {Z}} _ {b} + {\ dot {Z}} _ {b} {\ dot {Z}} _ {c} + {\ dot {Z}} _ {c} {\ dot {Z}} _ {a} \ over {\ dot {Z}} _ {c}}}$ ${\ dot {Z}} _ {{ab}} = {{\ dot {Z}} _ {{a}} {\ dot {Z}} _ {{b}} + {\ dot {Z}} _ {{b}} {\ dot {Z}} _ {{c}} + {\ dot {Z}} _ {{c}} {\ dot {Z}} _ {{a}} \ over {\ dot {Z}} _ {{c}}}$

${\dot {Z}}_{bc}={{\dot {Z}}_{a}{\dot {Z}}_{b}+{\dot {Z}}_{b}{\dot {Z}}_{c}+{\dot {Z}}_{c}{\dot {Z}}_{a} \over {\dot {Z}}_{a}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {bc} = {{\ dot {Z}} _ {a} {\ dot {Z}} _ {b} + {\ dot {Z}} _ {b} {\ dot {Z}} _ {c} + {\ dot {Z}} _ {c} {\ dot {Z}} _ {a} \ over {\ dot {Z}} _ {a}}}$ ${\ dot {Z}} _ {{bc}} = {{\ dot {Z}} _ {{a}} {\ dot {Z}} _ {{b}} + {\ dot {Z}} _ {{b}} {\ dot {Z}} _ {{c}} + {\ dot {Z}} _ {{c}} {\ dot {Z}} _ {{a}} \ over {\ dot {Z}} _ {{a}}}$

${\dot {Z}}_{ca}={{\dot {Z}}_{a}{\dot {Z}}_{b}+{\dot {Z}}_{b}{\dot {Z}}_{c}+{\dot {Z}}_{c}{\dot {Z}}_{a} \over {\dot {Z}}_{b}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Z}} _ {ca} = {{\ dot {Z}} _ {a} {\ dot {Z}} _ {b} + {\ dot {Z}} _ {b} {\ dot {Z}} _ {c} + {\ dot {Z}} _ {c} {\ dot {Z}} _ {a} \ over {\ dot {Z}} _ {b}}}$ ${\ dot {Z}} _ {{ca}} = {{\ dot {Z}} _ {{a}} {\ dot {Z}} _ {{b}} + {\ dot {Z}} _ {{b}} {\ dot {Z}} _ {{c}} + {\ dot {Z}} _ {{c}} {\ dot {Z}} _ {{a}} \ over {\ dot {Z}} _ {{b}}}$

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica