Grinzi pe teren elastic în stil Winkler

Fasciculul pe sol elastic conform lui Winkler este un model matematic al fasciculelor polare continue, unidimensionale, care se sprijină pe un semiplan elastic format din arcuri independente cu distribuție continuă care reprezintă constrângerea față de sol . Acest model este utilizat pentru studiul grinzilor de fundație .

Principiul teoretic

În semiplanul elastic arcurile își exercită rigiditatea translațională exclusiv în direcția deplasărilor verticale, prin urmare coborârea într-un punct nu le afectează pe cele adiacente, așa cum se întâmplă în jumătatea spațiului elastic.

Presupunând această schematizare, o anumită rezistență la tracțiune este atribuită solului de fundație, pe care se sprijină grinda, care în realitate știm că nu aparține unor materiale incoerente, cum ar fi solurile. Modelul este destul de fidel comportamentului real al structurii atunci când grinda este încărcată în puncte concentrate și are o rigiditate nu prea mare; atunci când grinda este încărcată într-un mod distribuit și constant sau este extrem de rigidă față de sol (rezervoare, fundații continue ale pereților), modelul conduce la o scădere constantă a solului și, prin urmare, la tensiuni zero în grindă, ceea ce este destul de departe de realitate.

Ecuația diferențială

Pornind de la două date, constanta de fundal $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ iar baza geometrică $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ a fundației, reacția solului este evaluată pe unitate de lungime direct proporțională cu deplasarea $v(x)$ ${\ displaystyle v (x)}$ ${\ displaystyle v (x)}$ :

r(x)=-kbv(x)\Rightarrow r(x)=-\beta v(x)

{\ displaystyle r (x) = - kbv (x) \ Rightarrow r (x) = - \ beta v (x)}

{\ displaystyle r (x) = - kbv (x) \ Rightarrow r (x) = - \ beta v (x)}

Ecuația diferențială care reglează problema fasciculului se dovedește a fi:

EIv^{(IV)}(x)=q(x)+r(x)

{\ displaystyle EIv ^ {(IV)} (x) = q (x) + r (x)}

{\ displaystyle EIv ^ {(IV)} (x) = q (x) + r (x)}

EIv^{(IV)}(x)+\beta v(x)=q(x)

{\ displaystyle EIv ^ {(IV)} (x) + \ beta v (x) = q (x)}

{\ displaystyle EIv ^ {(IV)} (x) + \ beta v (x) = q (x)}

v^{(IV)}(x)+{\frac {\beta }{EI}}v(x)={\frac {q(x)}{EI}}

{\ displaystyle v ^ {(IV)} (x) + {\ frac {\ beta} {EI}} v (x) = {\ frac {q (x)} {EI}}}

{\ displaystyle v ^ {(IV)} (x) + {\ frac {\ beta} {EI}} v (x) = {\ frac {q (x)} {EI}}}

Prin plasare ${\frac {\beta }{EI}}=4\alpha ^{4}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ beta} {EI}} = 4 \ alpha ^ {4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ beta} {EI}} = 4 \ alpha ^ {4}}$ poate fi scris ca:

v^{(IV)}(x)+4\alpha ^{4}v(x)={\frac {q(x)}{EI}}

{\ displaystyle v ^ {(IV)} (x) +4 \ alpha ^ {4} v (x) = {\ frac {q (x)} {EI}}}

{\ displaystyle v ^ {(IV)} (x) +4 \ alpha ^ {4} v (x) = {\ frac {q (x)} {EI}}}

Soluția ecuației diferențiale

Soluția este de tipul $v(x)=v_{0}(x)+v_{1}(x)$ ${\ displaystyle v (x) = v_ {0} (x) + v_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle v (x) = v_ {0} (x) + v_ {1} (x)}$ in care:

$v(x)$ ${\ displaystyle v (x)}$ ${\ displaystyle v (x)}$ integral general
$v_{0}(x)$ ${\ displaystyle v_ {0} (x)}$ ${\ displaystyle v_ {0} (x)}$ soluție omogenă asociată care ia în considerare constrângerile și structura
$v_{1}(x)$ ${\ displaystyle v_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle v_ {1} (x)}$ integrală particulară care satisface echilibrul

Integrală a omogenului asociat

{\frac {d^{4}v_{0}(x)}{dx^{4}}}+4\alpha ^{4}v_{0}(x)=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} v_ {0} (x)} {dx ^ {4}}} + 4 \ alpha ^ {4} v_ {0} (x) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} v_ {0} (x)} {dx ^ {4}}} + 4 \ alpha ^ {4} v_ {0} (x) = 0}

Presupunând o soluție precum $v_{0}(x)=e^{\lambda x}$ ${\ displaystyle v_ {0} (x) = e ^ {\ lambda x}}$ ${\ displaystyle v_ {0} (x) = e ^ {\ lambda x}}$ pentru a ajunge la o soluție precum:

v_{0}(x)=C_{1}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{2}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)+C_{3}e^{\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{4}e^{\alpha x}\sin(\alpha x)

{\ displaystyle v_ {0} (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ {3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

{\ displaystyle v_ {0} (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ {3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

Integrală particulară

Limitarea analizei la sarcini externe distribuite după formă:

q(x)=c\cdot x^{n}

{\ displaystyle q (x) = c \ cdot x ^ {n}}

{\ displaystyle q (x) = c \ cdot x ^ {n}}

cu

n\leq 3

{\ displaystyle n \ leq 3}

{\ displaystyle n \ leq 3}

prin urmare, limitându-se la sarcini distribuite liniare sau parabolice până la ordinul 3, o soluție precum:

v_{1}(x)=a\cdot x^{n}

{\ displaystyle v_ {1} (x) = a \ cdot x ^ {n}}

{\ displaystyle v_ {1} (x) = a \ cdot x ^ {n}}

cu

n\leq 3

{\ displaystyle n \ leq 3}

{\ displaystyle n \ leq 3}

și substituind în ecuația diferențială obținem:

{\frac {d^{4}v_{1}(x)}{dx^{4}}}+4\alpha ^{4}v_{1}(x)={\frac {q(x)}{EI}}\Rightarrow v_{1}(x)={\frac {q(x)}{EI\cdot 4\alpha ^{4}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} v_ {1} (x)} {dx ^ {4}}} + 4 \ alpha ^ {4} v_ {1} (x) = {\ frac {q ( x)} {EI}} \ Rightarrow v_ {1} (x) = {\ frac {q (x)} {EI \ cdot 4 \ alpha ^ {4}}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {4} v_ {1} (x)} {dx ^ {4}}} + 4 \ alpha ^ {4} v_ {1} (x) = {\ frac {q ( x)} {EI}} \ Rightarrow v_ {1} (x) = {\ frac {q (x)} {EI \ cdot 4 \ alpha ^ {4}}}}

și fiind așa $4\alpha ^{4}={\frac {\beta }{EI}}$ ${\ displaystyle 4 \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {EI}}}$ ${\ displaystyle 4 \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {EI}}}$ asa de:

v_{1}(x)={\frac {q(x)}{\beta }}

{\ displaystyle v_ {1} (x) = {\ frac {q (x)} {\ beta}}}

{\ displaystyle v_ {1} (x) = {\ frac {q (x)} {\ beta}}}

Integrală generală

Funcția care definește linia elastică este deci:

v(x)=C_{1}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{2}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)+C_{3}e^{\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{4}e^{\alpha x}\sin(\alpha x)+{\frac {q(x)}{\beta }}

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ { 3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + {\ frac {q (x)} {\ beta}} }

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ { 3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + {\ frac {q (x)} {\ beta}} }

Pentru a determina constantele de integrare $C_{i}$ ${\ displaystyle C_ {i}}$ $Acolo}$ este necesar să se recurgă la condițiile limită, după ce s-au dedus următoarele cantități:

rotația secțiunii $\phi =-{\frac {dv}{dx}}$ ${\ displaystyle \ phi = - {\ frac {dv} {dx}}}$ ${\ displaystyle \ phi = - {\ frac {dv} {dx}}}$
momentul de îndoire $M=-EI{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}$ ${\ displaystyle M = -EI {\ frac {d ^ {2} v} {dx ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle M = -EI {\ frac {d ^ {2} v} {dx ^ {2}}}}$
efort de tăiere $T=-EI{\frac {d^{3}v}{dx^{3}}}$ ${\ displaystyle T = -EI {\ frac {d ^ {3} v} {dx ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle T = -EI {\ frac {d ^ {3} v} {dx ^ {3}}}}$
reacția solului $r(x)=-\beta v(x)$ ${\ displaystyle r (x) = - \ beta v (x)}$ ${\ displaystyle r (x) = - \ beta v (x)}$

Derivații integralei generale sunt:

Primul derivat

v^{(I)}(x)=\alpha [(C_{2}-C_{1})e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)-(C_{1}+C_{2})e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)+(C_{4}-C_{3})e^{\alpha x}\sin(\alpha x)+(C_{4}+C_{3})e^{\alpha x}\cos(\alpha x)]+{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {q(x)}{\beta }}\right]

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha [(C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) - (C_ {1} + C_ {2}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + (C_ {4} -C_ {3}) și ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + (C_ { 4} + C_ {3}) e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x)] + {\ frac {d} {dx}} \ left [{\ frac {q (x)} {\ beta} } \ dreapta]}

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha [(C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) - (C_ {1} + C_ {2}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + (C_ {4} -C_ {3}) și ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + (C_ { 4} + C_ {3}) și ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x)] + {\ frac {d} {dx}} \ left [{\ frac {q (x)} {\ beta} } \ dreapta]}

A doua derivată

v^{(II)}(x)=2\alpha ^{2}\left[C_{1}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)-C_{2}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)-C_{3}e^{\alpha x}\sin(\alpha x)+C_{4}e^{\alpha x}\cos(\alpha x)\right]+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[{\frac {q(x)}{\beta }}\right]

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} \ left [C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) -C_ {3} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x ) \ right] + {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ left [{\ frac {q (x)} {\ beta}} \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} \ left [C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) -C_ {3} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x ) \ right] + {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ left [{\ frac {q (x)} {\ beta}} \ right]}

A treia derivată

v^{(III)}(x)=2\alpha ^{3}[(C_{1}+C_{2})e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+(C_{2}-C_{1})e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)-(C_{3}+C_{4})e^{\alpha x}\sin(\alpha x)+(C_{4}-C_{3})e^{\alpha x}\cos(\alpha x)]+{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}\left[{\frac {q(x)}{\beta }}\right]

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} [(C_ {1} + C_ {2}) și ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + ( C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) - (C_ {3} + C_ {4}) și ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x ) + (C_ {4} -C_ {3}) e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x)] + {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ left [ {\ frac {q (x)} {\ beta}} \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} [(C_ {1} + C_ {2}) și ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + ( C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) - (C_ {3} + C_ {4}) și ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x ) + (C_ {4} -C_ {3}) e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x)] + {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} \ left [ {\ frac {q (x)} {\ beta}} \ right]}

Cazuistică

Ecuația liniei elastice în secțiunile descărcate este egală cu:

$v(x)=C_{1}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{2}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)+C_{3}e^{\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{4}e^{\alpha x}\sin(\alpha x)$ ${\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ { 3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x)}$ ${\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) + C_ { 3} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {4} e ^ {\ alpha x} \ sin (\ alpha x)}$

Luați în considerare ipoteza unui fascicul infinit de lung pe o parte și prezența în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ de acțiune concentrată. Pentru $x=\infty$ ${\ displaystyle x = \ infty}$ ${\ displaystyle x = \ infty}$ deplasarea se presupune că efectele acțiunii sunt anulate $v(x\to \infty )=0$ ${\ displaystyle v (x \ to \ infty) = 0}$ ${\ displaystyle v (x \ to \ infty) = 0}$ , presupunând că pentru $x\to \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ infty}$ ${\ displaystyle x \ to \ infty}$ termenii din $e^{\alpha x}$ ${\ displaystyle e ^ {\ alpha x}}$ $și ^ {{\ alpha x}}$ tind să crească deplasările la infinit vor fi nule numai dacă $C_{3}=C_{4}=0$ ${\ displaystyle C_ {3} = C_ {4} = 0}$ ${\ displaystyle C_ {3} = C_ {4} = 0}$ .

Deci integralul general devine:

v(x)=C_{1}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{2}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

ale căror derivate sunt:

v^{(I)}(x)=\alpha e^{-\alpha x}\left[(-C_{1}+C_{2})\cos(\alpha x)-(C_{1}+C_{2})\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(- C_ {1} + C_ {2}) \ cos (\ alpha x) - (C_ { 1} + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ dreapta]}

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(- C_ {1} + C_ {2}) \ cos (\ alpha x) - (C_ { 1} + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ dreapta]}

v^{(II)}(x)=2\alpha ^{2}e^{-\alpha x}\left[C_{1}\sin(\alpha x)-C_{2}\cos(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} e ^ {- \ alpha x} \ left [C_ {1} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} \ cos (\ alfa x) \ dreapta]}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} e ^ {- \ alpha x} \ left [C_ {1} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} \ cos (\ alfa x) \ dreapta]}

v^{(III)}(x)=2\alpha ^{3}e^{-\alpha x}\left[(C_{1}+C_{2})\cos(\alpha x)+(-C_{1}+C_{2})\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) \ cos (\ alpha x) + (- C_ {1} + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) \ cos (\ alpha x) + (- C_ {1} + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ right]}

Prin impunerea condițiilor limită în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ și odată ce au fost găsiți coeficienții, se determină comportamentul fasciculului.

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ aplicat în secțiunea inițială

Condițiile limită pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Sunt ${\begin{cases}M(0)=0\Rightarrow -EIv^{(II)}(0)=0\Rightarrow v^{(II)}(0)=0\\T(0)=-P_{0}\Rightarrow -EIv^{(III)}(0)=-P_{0}\Rightarrow v^{(III)}(0)={\frac {P_{0}}{EI}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} M (0) = 0 \ Rightarrow -EIv ^ {(II)} (0) = 0 \ Rightarrow v ^ {(II)} (0) = 0 \\ T (0) = -P_ {0} \ Rightarrow -EIv ^ {(III)} (0) = - P_ {0} \ Rightarrow v ^ {(III)} (0) = {\ frac {P_ {0}} {EI} } \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} M (0) = 0 \ Rightarrow -EIv ^ {(II)} (0) = 0 \ Rightarrow v ^ {(II)} (0) = 0 \\ T (0) = -P_ {0} \ Rightarrow -EIv ^ {(III)} (0) = - P_ {0} \ Rightarrow v ^ {(III)} (0) = {\ frac {P_ {0}} {EI} } \ end {cases}}}$

Trebuie să înlocuim valorile în funcțiile derivate:

v^{(II)}(x)=2\alpha ^{2}\left[C_{1}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)-C_{2}e^{\alpha x}\cos(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} \ left [C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} \ left [C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) -C_ {2} e ^ {\ alpha x} \ cos (\ alpha x) \ right]}

v^{(II)}(0)=-2\alpha ^{2}C_{2}\Rightarrow C_{2}=0

{\ displaystyle v ^ {(II)} (0) = - 2 \ alpha ^ {2} C_ {2} \ Rightarrow C_ {2} = 0}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (0) = - 2 \ alpha ^ {2} C_ {2} \ Rightarrow C_ {2} = 0}

v^{(III)}(x)=2\alpha ^{3}\left[(C_{1}+C_{2})e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+(C_{2}-C_{1})e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + (C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {3} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + (C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) \ right]}

v^{(III)}(0)=2\alpha ^{3}C_{1}={\frac {P_{0}}{EI}}\Rightarrow C_{1}={\frac {P_{0}}{2\alpha ^{3}EI}}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (0) = 2 \ alpha ^ {3} C_ {1} = {\ frac {P_ {0}} {EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac { P_ {0}} {2 \ alpha ^ {3} EI}}}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (0) = 2 \ alpha ^ {3} C_ {1} = {\ frac {P_ {0}} {EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac { P_ {0}} {2 \ alpha ^ {3} EI}}}

Atâta timp cât $\alpha ^{4}={\frac {\beta }{4EI}}\Rightarrow C_{1}={\frac {2\alpha P_{0}}{\beta }}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {2 \ alpha P_ {0}} {\ beta}}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {2 \ alpha P_ {0}} {\ beta}}}$ Deci ecuația care definește deplasarea se dovedește a fi:

v(x)={\frac {2\alpha P_{0}}{\beta }}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {2 \ alpha P_ {0}} {\ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x)}

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {2 \ alpha P_ {0}} {\ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x)}

Prin urmare, este posibil să scriem ecuațiile de moment și de forfecare, căutând maxima relativă:

$v^{(III)}(x)EI=V(x)=e^{-\alpha x}P_{0}\cos(\alpha x)$ ${\ displaystyle v ^ {(III)} (x) EI = V (x) = e ^ {- \ alpha x} P_ {0} \ cos (\ alpha x)}$ ${\ displaystyle v ^ {(III)} (x) EI = V (x) = e ^ {- \ alpha x} P_ {0} \ cos (\ alpha x)}$

$v^{(II)}(x)EI=M(x)=e^{-\alpha x}{\frac {P_{0}}{\alpha }}\sin(\alpha x)$ ${\ displaystyle v ^ {(II)} (x) EI = M (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {\ alpha}} \ sin (\ alpha x)}$ ${\ displaystyle v ^ {(II)} (x) EI = M (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {\ alpha}} \ sin (\ alpha x)}$

$V(x)=0\quad \forall \,x:\alpha x={\frac {\pi }{2}}+k\pi \Rightarrow M_{max}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}{\frac {P_{0}}{\alpha }}$ ${\ displaystyle V (x) = 0 \ quad \ forall \, x: \ alpha x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi \ Rightarrow M_ {max} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {P_ {0}} {\ alpha}}}$ ${\ displaystyle V (x) = 0 \ quad \ forall \, x: \ alpha x = {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi \ Rightarrow M_ {max} = e ^ {- {\ frac {\ pi} {2}}} {\ frac {P_ {0}} {\ alpha}}}$

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$

Condițiile limită pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Sunt ${\begin{cases}\varphi (0)=0\Rightarrow v'(0)=0\\T(0)=-P_{0}/2\Rightarrow -EIv'''(0)=-P_{0}/2\Rightarrow v'''(0)={\frac {P_{0}}{2EI}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi (0) = 0 \ Rightarrow v '(0) = 0 \\ T (0) = - P_ {0} / 2 \ Rightarrow -EIv' '' (0 ) = -P_ {0} / 2 \ Rightarrow v '' '(0) = {\ frac {P_ {0}} {2EI}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi (0) = 0 \ Rightarrow v '(0) = 0 \\ T (0) = - P_ {0} / 2 \ Rightarrow -EIv' '' (0 ) = -P_ {0} / 2 \ Rightarrow v '' '(0) = {\ frac {P_ {0}} {2EI}} \ end {cases}}}$

Trebuie să înlocuim valorile în funcțiile derivate:

v^{(I)}(x)=\alpha e^{-\alpha x}\left[(C_{2}-C_{1})\cos(\alpha x)-(C_{1}+C_{2})\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {2} -C_ {1}) \ cos (\ alpha x) - (C_ {1 } + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ dreapta]}

{\ displaystyle v ^ {(I)} (x) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {2} -C_ {1}) \ cos (\ alpha x) - (C_ {1 } + C_ {2}) \ sin (\ alfa x) \ dreapta]}

v^{(I)}(0)=\alpha e^{-\alpha x}\left[(C_{2}-C_{1})\cos(\alpha x)\right]=0\Rightarrow C_{1}=C_{2}

{\ displaystyle v ^ {(I)} (0) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {2} -C_ {1}) \ cos (\ alpha x) \ right] = 0 \ Rightarrow C_ {1} = C_ {2}}

{\ displaystyle v ^ {(I)} (0) = \ alpha e ^ {- \ alpha x} \ left [(C_ {2} -C_ {1}) \ cos (\ alpha x) \ right] = 0 \ Rightarrow C_ {1} = C_ {2}}

v^{(III)}(x)=2\alpha ^{4}\left[(C_{1}+C_{2})e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+(C_{2}-C_{1})e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {4} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + (C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) \ right]}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (x) = 2 \ alpha ^ {4} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + (C_ {2} -C_ {1}) și ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x) \ right]}

v^{(III)}(0)=2\alpha ^{4}\left[(C_{1}+C_{2})e^{-\alpha x}\right]={\frac {P_{0}}{2EI}}\Rightarrow C_{1}={\frac {P_{0}}{8\alpha ^{3}EI}}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (0) = 2 \ alpha ^ {4} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ right] = { \ frac {P_ {0}} {2EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {P_ {0}} {8 \ alpha ^ {3} EI}}}

{\ displaystyle v ^ {(III)} (0) = 2 \ alpha ^ {4} \ left [(C_ {1} + C_ {2}) e ​​^ {- \ alpha x} \ right] = { \ frac {P_ {0}} {2EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {P_ {0}} {8 \ alpha ^ {3} EI}}}

Atâta timp cât $\alpha ^{4}={\frac {\beta }{4EI}}\Rightarrow C_{1}={\frac {\alpha P_{0}}{2\beta }}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {\ alpha P_ {0}} {2 \ beta}}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {1} = {\ frac {\ alpha P_ {0}} {2 \ beta}}}$ Deci ecuația care definește deplasarea se dovedește a fi:

v(x)={\frac {\alpha P_{0}}{2\beta }}e^{-\alpha x}\left[\cos(\alpha x)+\sin(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {\ alpha P_ {0}} {2 \ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ left [\ cos (\ alpha x) + \ sin (\ alpha x ) \ dreapta]}

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {\ alpha P_ {0}} {2 \ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ left [\ cos (\ alpha x) + \ sin (\ alpha x ) \ dreapta]}

Prin urmare, este posibil să scrieți ecuațiile momentului și forfecării, căutând maxima relativă:

$v^{(III)}(x)EI=V(x)=e^{-\alpha x}{\frac {P_{0}}{2}}\cos(\alpha x)$ ${\ displaystyle v ^ {(III)} (x) EI = V (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {2}} \ cos (\ alpha x)}$ ${\ displaystyle v ^ {(III)} (x) EI = V (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {2}} \ cos (\ alpha x)}$

${\displaystyle v^{(II)}(x)EI=M(x)=e^{-\alpha x}{\frac {P_{0}}{4\alpha }}[\sin(\alpha x)-\cos(\alpha x)]}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle v ^ {(II)} (x) EI = M (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {4 \ alpha}} [\ sin ( \ alfa x) - \ cos (\ alfa x)]}}$ ${\ displaystyle {\ displaystyle v ^ {(II)} (x) EI = M (x) = e ^ {- \ alpha x} {\ frac {P_ {0}} {4 \ alpha}} [\ sin ( \ alfa x) - \ cos (\ alfa x)]}}$

$V(x)=0\quad \forall \,x:\alpha x=k\pi \Rightarrow M_{max}={\frac {P_{0}}{4\alpha }}$ ${\ displaystyle V (x) = 0 \ quad \ forall \, x: \ alpha x = k \ pi \ Rightarrow M_ {max} = {\ frac {P_ {0}} {4 \ alpha}}}$ ${\ displaystyle V (x) = 0 \ quad \ forall \, x: \ alpha x = k \ pi \ Rightarrow M_ {max} = {\ frac {P_ {0}} {4 \ alpha}}}$

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ aplicat în secțiunea constrânsă inițială

Condițiile limită pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Sunt ${\begin{cases}\varphi (0)=0\Rightarrow v'(0)=0\\T(0)=-P_{0}\Rightarrow -EIv'''(0)=-P_{0}\Rightarrow v'''(0)={\frac {P_{0}}{EI}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi (0) = 0 \ Rightarrow v '(0) = 0 \\ T (0) = - P_ {0} \ Rightarrow -EIv' '' (0) = - P_ {0} \ Rightarrow v '' '(0) = {\ frac {P_ {0}} {EI}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ varphi (0) = 0 \ Rightarrow v '(0) = 0 \\ T (0) = - P_ {0} \ Rightarrow -EIv' '' (0) = - P_ {0} \ Rightarrow v '' '(0) = {\ frac {P_ {0}} {EI}} \ end {cases}}}$

Problema poate fi urmărită înapoi la cea a fasciculului nelimitat pe ambele părți cu forță concentrată, dar având în vedere o tensiune dublă și o valoare a deplasării.

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unui moment ${\mathfrak {M}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} _ {0}}$ în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$

Condițiile limită pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ Sunt ${\begin{cases}v(0)=0\\M(0)=m_{0}/2\Rightarrow -EIv''(0)=-m_{0}/2\Rightarrow v''(0)={\frac {m_{0}}{2EI}}\end{cases}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} v (0) = 0 \\ M (0) = m_ {0} / 2 \ Rightarrow -EIv '' (0) = - m_ {0} / 2 \ Rightarrow v '' (0) = {\ frac {m_ {0}} {2EI}} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {cases} v (0) = 0 \\ M (0) = m_ {0} / 2 \ Rightarrow -EIv '' (0) = - m_ {0} / 2 \ Rightarrow v '' (0) = {\ frac {m_ {0}} {2EI}} \ end {cases}}}$

Trebuie să înlocuim valorile în funcțiile derivate:

v(x)=C_{1}e^{-\alpha x}\cos(\alpha x)+C_{2}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

{\ displaystyle v (x) = C_ {1} e ^ {- \ alpha x} \ cos (\ alpha x) + C_ {2} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

v(0)=0\Rightarrow C_{1}=0

{\ displaystyle v (0) = 0 \ Rightarrow C_ {1} = 0}

{\ displaystyle v (0) = 0 \ Rightarrow C_ {1} = 0}

v^{(II)}(x)=2\alpha ^{2}e^{-\alpha x}\left[C_{1}\sin(\alpha x)+C_{2}\cos(\alpha x)\right]

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} e ^ {- \ alpha x} \ left [C_ {1} \ sin (\ alpha x) + C_ {2} \ cos (\ alfa x) \ dreapta]}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (x) = 2 \ alpha ^ {2} e ^ {- \ alpha x} \ left [C_ {1} \ sin (\ alpha x) + C_ {2} \ cos (\ alfa x) \ dreapta]}

v^{(II)}(0)=2\alpha ^{2}\left(C_{2}\right)={\frac {m_{0}}{2EI}}\Rightarrow C_{2}={\frac {m_{0}}{4\alpha ^{2}EI}}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (0) = 2 \ alpha ^ {2} \ left (C_ {2} \ right) = {\ frac {m_ {0}} {2EI}} \ Rightarrow C_ {2 } = {\ frac {m_ {0}} {4 \ alpha ^ {2} EI}}}

{\ displaystyle v ^ {(II)} (0) = 2 \ alpha ^ {2} \ left (C_ {2} \ right) = {\ frac {m_ {0}} {2EI}} \ Rightarrow C_ {2 } = {\ frac {m_ {0}} {4 \ alpha ^ {2} EI}}}

Atâta timp cât $\alpha ^{4}={\frac {\beta }{4EI}}\Rightarrow C_{2}={\frac {\alpha ^{2}m_{0}}{\beta }}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2} m_ {0}} {\ beta}}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {4} = {\ frac {\ beta} {4EI}} \ Rightarrow C_ {2} = {\ frac {\ alpha ^ {2} m_ {0}} {\ beta}}}$ Deci ecuația care definește deplasarea se dovedește a fi:

v(x)={\frac {\alpha ^{2}m_{0}}{\beta }}e^{-\alpha x}\sin(\alpha x)

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {\ alpha ^ {2} m_ {0}} {\ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

{\ displaystyle v (x) = {\ frac {\ alpha ^ {2} m_ {0}} {\ beta}} e ^ {- \ alpha x} \ sin (\ alpha x)}

Elemente conexe

linkuri externe

Diagramele fasciculului Winkler de lungime infinită , onengineerianet.it .

Controlul autorității	Tezaur BNCF 28755

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie

V · D · M Modele structurale
Continuu unidimensional	Teoria grinzii · Grindă în stil Winkler pe teren elastic
Continuos bidimensional	Rezervor cilindric · Placă · Placă · Membrană · Carcasă

Grinzi pe teren elastic în stil Winkler

Principiul teoretic

Ecuația diferențială

Soluția ecuației diferențiale

Integrală a omogenului asociat

Integrală particulară

Integrală generală

Cazuistică

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate P. 0 {\ displaystyle P_ {0}} aplicat în secțiunea inițială

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unei sarcini concentrate P. 0 {\ displaystyle P_ {0}} în X = 0 {\ displaystyle x = 0}

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate P. 0 {\ displaystyle P_ {0}} aplicat în secțiunea constrânsă inițială

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unui moment M. 0 {\ displaystyle {\ mathfrak {M}} _ {0}} în X = 0 {\ displaystyle x = 0}

Elemente conexe

linkuri externe

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ aplicat în secțiunea inițială

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$

Fascicul nelimitat pe o parte și supus unei sarcini concentrate $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ aplicat în secțiunea constrânsă inițială

Fascicul nelimitat pe ambele părți și supus unui moment ${\mathfrak {M}}_{0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {M}} _ {0}}$ în $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$