Stare Courant-Friedrichs-Lewy

În dinamica numerică a fluidelor , condiția Courant-Friedrichs-Lewy , adesea prescurtată ca CFL și al cărei nume se datorează lui Richard Courant , Kurt Friedrichs și Hans Lewy , este o condiție necesară pentru convergența numerică a soluției unor ecuații diferențiale parțiale (de obicei ecuații hiperbolice ) obținute în 1928 . ^[1] ^[2]

Această condiție este exploatată în utilizarea schemelor numerice temporale explicite. În consecință, pasul de timp trebuie să fie mai mic decât un anumit interval de timp, altfel simularea va produce rezultate în mare parte incorecte. De exemplu, dacă o undă traversează o rețea de calcul discretă, atunci intervalul de timp trebuie să fie mai mic decât timpul necesar pentru ca unda să traverseze două puncte adiacente pe rețea. Ca corolar, dacă distanța dintre două puncte de grilă adiacente este redusă, limita superioară a intervalului de timp va fi, de asemenea, redusă. În esență, domeniul numeric (sau discret) al dependenței trebuie să includă domeniul analitic (sau continuu) al dependenței pentru a se asigura că schema poate găsi informațiile necesare pentru a crea soluția.

Descriere

Condiția CFL este impusă în mod obișnuit pentru acei termeni ai ecuațiilor diferențiale parțiale care reprezintă convecție (sau mai bine, pentru termenii advective , adică relativ la mișcările orizontale sau predominant orizontale). Pentru un caz unidimensional, condiția CFL este scrisă ca:

C={\frac {u\cdot \Delta \,t}{\Delta \,x}}<C_{max}

{\ displaystyle C = {\ frac {u \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \, x}} <C_ {max}}

{\ displaystyle C = {\ frac {u \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \, x}} <C_ {max}}

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ reprezintă debitul , $\Delta \,t$ ${\ displaystyle \ Delta \, t}$ ${\ displaystyle \ Delta \, t}$ este intervalul de timp și $\Delta \,x$ ${\ displaystyle \ Delta \, x}$ ${\ displaystyle \ Delta \, x}$ este intervalul spațial. Constanta $C_{max}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ depinde de tipul de ecuație de rezolvat și de tipul de schemă numerică utilizată pentru soluție (explicită sau implicită). Dacă utilizați o schemă explicită, atunci $C_{max}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ este de ordinul 1. Schemele implicite, pe de altă parte, sunt mai puțin sensibile la instabilitățile numerice, deci valorile de $C_{max}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ ${\ displaystyle C_ {max}}$ superior.

Numărul fără dimensiuni $C.$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ se numește numărul Courant .

Într-un caz bidimensional, condiția CFL poate fi scrisă ca: ^[3]

C={\frac {u_{x}\cdot \Delta \,t}{\Delta \,x}}+{\frac {u_{y}\cdot \Delta \,t}{\Delta \,y}}<C_{max}

{\ displaystyle C = {\ frac {u_ {x} \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \, x}} + {\ frac {u_ {y} \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \ , y}} <C_ {max}}

{\ displaystyle C = {\ frac {u_ {x} \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \, x}} + {\ frac {u_ {y} \ cdot \ Delta \, t} {\ Delta \ , y}} <C_ {max}}

In caz $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional avem:

C=\Delta t\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{x_{i}}}{\Delta x_{i}}}\leq C_{max}

{\ displaystyle C = \ Delta t \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ leq C_ {max}}

{\ displaystyle C = \ Delta t \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {u_ {x_ {i}}} {\ Delta x_ {i}}} \ leq C_ {max}}

Condiția CFL poate deveni o limitare majoră pentru etapa de timp $\Delta \,t$ ${\ displaystyle \ Delta \, t}$ ${\ displaystyle \ Delta \, t}$ datorită faptului că pentru anumite ecuații diferențiale parțiale neliniare de ordinul patru poate deveni sub forma:

C={\frac {\Delta t}{\Delta x^{4}}}<C_{max}

{\ displaystyle C = {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x ^ {4}}} <C_ {max}}

{\ displaystyle C = {\ frac {\ Delta t} {\ Delta x ^ {4}}} <C_ {max}}

și din acest motiv se fac eforturi în aceste cazuri pentru a evita această condiție prin utilizarea metodelor numerice implicite.

Notă

^ ( DE ) R. Courant, K. Friedrichs și H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik , Mathematische Annalen , vol. 100, nr. 1, pp. 32–74, 1928.
^(EN) R. Courant, K. Friedrichs și H. Lewy, Despre ecuațiile diferenței parțiale ale fizicii matematice, IBM Journal, martie 1967, pp. 215-234, traducere în engleză a originalului german din 1928 care poate fi descărcată aici
^ Copie arhivată ( PDF ), pe lcd-www.colorado.edu . Adus la 5 noiembrie 2008 (arhivat din original la 8 septembrie 2006) .

Bibliografie

( DE ) R. Courant, KO Friedrichs, H. Lewy, Ueber die partiellen Differenzgleichungen der mathematische Physik Math Ann. , 100 (1928) pp. 32-74
(EN) SK Godunov, VS Ryaben'kii, The theory of difference scheme, North-Holland (1964)
(EN) Courant, R.; Friedrichs, K.; și Lewy, H. Despre ecuațiile diferenței parțiale ale fizicii matematice. IBM J. 11, 215-234, 1967.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Nikolai Sergeevich Bakhvalov, starea Courant-Friedrichs-Lewy , în Enciclopedia Matematicii , Springer și Societatea Europeană de Matematică, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Courant-Friedrichs-Lewy Condition in MathWorld Wolfram Research.

Portalul de fizică

Portal de inginerie

Portalul de matematică

[1] ( DE ) R. Courant, K. Friedrichs și H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik , Mathematische Annalen , vol. 100, nr. 1, pp. 32–74, 1928.

[2] (EN) R. Courant, K. Friedrichs și H. Lewy, Despre ecuațiile diferenței parțiale ale fizicii matematice, IBM Journal, martie 1967, pp. 215-234, traducere în engleză a originalului german din 1928 care poate fi descărcată aici

[3] Copie arhivată ( PDF ), pe lcd-www.colorado.edu . Adus la 5 noiembrie 2008 (arhivat din original la 8 septembrie 2006) .

[1]

[2]

[3]