Starea Samuelson

Condiția Samuelson , formulată de Paul Samuelson , spune că o producție optimă de bun public pur necesită o egalitate între suma ratelor marginale de substituție și rata marginală de transformare a produselor .

Formalizarea matematică

Este $q_{o}$ ${\ displaystyle q_ {o}}$ ${\ displaystyle q_ {o}}$ binele public e $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ ( $j=1,2,\ldots ,m$ ${\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, m}$ ${\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, m}$ ) active private. Funcția de producție implicită este dată de următoarea expresie: $\varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0$ ${\ displaystyle \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q }} _ {m}) = 0}$ ${\ displaystyle \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q }} _ {m}) = 0}$ unde este ${\hat {q}}_{j}$ ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {j}}$ ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {j}}$ este cantitatea de bun j produs.

Funcțiile utilitare sunt:

u_{i}(q_{o},q_{i1},q_{i2},\ldots ,q_{im})\qquad i=1,2,\ldots ,h

{\ displaystyle u_ {i} (q_ {o}, q_ {i1}, q_ {i2}, \ ldots, q_ {im}) \ qquad i = 1,2, \ ldots, h}

{\ displaystyle u_ {i} (q_ {o}, q_ {i1}, q_ {i2}, \ ldots, q_ {im}) \ qquad i = 1,2, \ ldots, h}

unde este $q_{ij}$ ${\ displaystyle q_ {ij}}$ $q _ {{ij}}$ este cantitatea de bun j consumată de individul i. Nu există un indice i pentru binele public, deoarece cantitatea consumată este aceeași pentru toți indivizii. Cantitatea de bunuri private consumate depinde de preferințele și veniturile fiecărui individ.

Un optim Pareto poate fi obținut prin maximizarea utilității primului consumator sub constrângerile existente între producție și consum. Lagrangianul este:

L=u_{1}(q_{o},q_{11},q_{12},\ldots ,q_{1m})+\sum _{i=2}^{h}\lambda _{i}(u_{i}-u_{i}^{o})+\sigma \varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},\ldots ,{\hat {q}}_{m})+\mu _{o}(q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o})+\sum _{j=1}^{m}\mu _{j}(q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j})

{\ displaystyle L = u_ {1} (q_ {o}, q_ {11}, q_ {12}, \ ldots, q_ {1m}) + \ sum _ {i = 2} ^ {h} \ lambda _ { i} (u_ {i} -u_ {i} ^ {o}) + \ sigma \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) + \ mu _ {o} (q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o}) + \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mu _ {j} (q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alfa j})}

{\ displaystyle L = u_ {1} (q_ {o}, q_ {11}, q_ {12}, \ ldots, q_ {1m}) + \ sum _ {i = 2} ^ {h} \ lambda _ { i} (u_ {i} -u_ {i} ^ {o}) + \ sigma \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) + \ mu _ {o} (q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o}) + \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mu _ {j} (q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alfa j})}

unde este $\lambda _{i},\sigma ,\mu _{j}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}, \ sigma, \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {i}, \ sigma, \ mu _ {j}}$ sunt multiplicatorii Lagrange și $q_{j}^{o}$ ${\ displaystyle q_ {j} ^ {o}}$ ${\ displaystyle q_ {j} ^ {o}}$ stocul activului j.

Condițiile pentru prima comandă sunt:

(1)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{o}}}=\sum _{\alpha =1}^{h}\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}-\mu _{o}=0\qquad (\lambda _{1}=1)

{\ displaystyle (1) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {o}}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} \ lambda _ {\ alpha} {\ frac { \ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} - \ mu _ {o} = 0 \ qquad (\ lambda _ {1} = 1)}

{\ displaystyle (1) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {o}}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} \ lambda _ {\ alpha} {\ frac { \ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} - \ mu _ {o} = 0 \ qquad (\ lambda _ {1} = 1)}

(2)\qquad {\frac {\partial L}{\partial q_{\alpha j}}}=\lambda _{\alpha }{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}-\mu _{j}=0\qquad \qquad \quad \alpha =1,2,\ldots ,h\quad ;\quad j=1,2,\ldots ,m

{\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q _ {\ alpha j}}} = \ lambda _ {\ alpha} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} { \ partial q _ {\ alpha j}}} - \ mu _ {j} = 0 \ qquad \ qquad \ quad \ alpha = 1,2, \ ldots, h \ quad; \ quad j = 1,2, \ ldots , m}

{\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q _ {\ alpha j}}} = \ lambda _ {\ alpha} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} { \ partial q _ {\ alpha j}}} - \ mu _ {j} = 0 \ qquad \ qquad \ quad \ alpha = 1,2, \ ldots, h \ quad; \ quad j = 1,2, \ ldots , m}

(3)\qquad {\frac {\partial L}{\partial {\hat {q}}_{s}}}=\sigma {\frac {\partial \varphi }{\partial {\hat {q}}_{s}}}+\mu _{s}=0\qquad \qquad \qquad s=0,1,\ldots ,m

{\ displaystyle (3) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} = \ sigma {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} + \ mu _ {s} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad s = 0,1, \ ldots, m}

{\ displaystyle (3) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} = \ sigma {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} + \ mu _ {s} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad s = 0,1, \ ldots, m}

(4)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \lambda _{i}}}=u_{i}-u_{i}^{o}=0\qquad \qquad \qquad \quad \;i=2,3,\ldots ,h

{\ displaystyle (4) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda _ {i}}} = u_ {i} -u_ {i} ^ {o} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \; i = 2,3, \ ldots, h}

{\ displaystyle (4) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda _ {i}}} = u_ {i} -u_ {i} ^ {o} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \; i = 2,3, \ ldots, h}

(5)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \sigma }}=\varphi ({\hat {q}}_{o},{\hat {q}}_{1},{\hat {q}}_{2},\ldots ,{\hat {q}}_{m})=0

{\ displaystyle (5) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ sigma}} = \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1} , {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) = 0}

{\ displaystyle (5) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ sigma}} = \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1} , {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) = 0}

(6)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{o}}}=q_{o}^{o}+{\hat {q}}_{o}-q_{o}=0

{\ displaystyle (6) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {o}}} = q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o} = 0}

{\ displaystyle (6) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {o}}} = q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o} = 0}

(7)\qquad {\frac {\partial L}{\partial \mu _{j}}}=q_{j}^{o}+{\hat {q}}_{j}-\sum _{\alpha =1}^{h}q_{\alpha j}=0

{\ displaystyle (7) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {j}}} = q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j} = 0}

{\ displaystyle (7) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {j}}} = q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j} = 0}

Prin eliminarea multiplicatorilor Lagrange obținem:

\sum _{\alpha =1}^{h}{\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{o}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}}={\frac {\varphi _{o}}{\varphi _{j}}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} {\ frac {\ partial u _ { \ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}}} = {\ frac {\ varphi _ {o}} {\ varphi _ {j}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} {\ frac {\ partial u _ { \ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}}} = {\ frac {\ varphi _ {o}} {\ varphi _ {j}}}}

{\frac {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}{\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha s}}}}={\frac {\varphi _{j}}{\varphi _{s}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ { \ alpha s}}}} = {\ frac {\ varphi _ {j}} {\ varphi _ {s}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ { \ alpha s}}}} = {\ frac {\ varphi _ {j}} {\ varphi _ {s}}}}

Luând cele trei cantități consumate $q_{o}$ ${\ displaystyle q_ {o}}$ ${\ displaystyle q_ {o}}$ , $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ Și $q_{s}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$ , poti sa scrii:

\sum _{\alpha =1}^{h}TMS_{oj}^{\alpha }=TTP_{oj}

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} TMS_ {oj} ^ {\ alpha} = TTP_ {oj}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} TMS_ {oj} ^ {\ alpha} = TTP_ {oj}}

TMS_{js}^{\alpha }=TTP_{js}

{\ displaystyle TMS_ {js} ^ {\ alpha} = TTP_ {js}}

{\ displaystyle TMS_ {js} ^ {\ alpha} = TTP_ {js}}

A doua relație, referitoare la bunurile private jes, este identică cu cea obținută în excelentul clasic Pareto . Ratele de înlocuire marginală (TMS) trebuie să fie egale cu ratele de transformare a produsului marginal (TTP). Prima relație este condiția optimității pentru binele public. Suma ratelor marginale de substituție (între bunul public și orice bun privat) a tuturor consumatorilor trebuie să fie egală cu rata marginală de transformare a produselor.

Bibliografie

Michael Pickhardt: Cincizeci de ani după Teoria pură a cheltuielilor publice a lui Samuelson : Cu ce ne-a rămas? În: Journal of the History of Economic Thought. 28, nr. 4, 2006, pp. 439-460.
Agnar Sandmo: Bunuri publice. În: Steven N. Durlauf și Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (ediție online).
Paul Samuelson: Teoria pură a cheltuielilor publice. În: Revista de economie și statistici. 36, nr. 4, 1954, pp. 387–389.

Elemente conexe

Bunuri publice

Portalul Economiei

Portalul de matematică