Constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing

Constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing
Simbol	λ
Valoare	0.303663002898732658 ... (secvența A038517 a OEIS )
Originea numelui	Carl Friedrich Gauss , Rodion Osievich Kuzmin și Eduard Wirsing
Fracție continuă	[0, 3, 3, 2, 2, 3, 13, 1, 174, 1, 1, 1, ...] (secvența A007515 a OEIS)
Camp	numere reale

Constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing (numele derivă de la matematicienii Carl Gauss , Rodion Osievich Kuzmin și Eduard Wirsing ) este o constantă matematică întâlnită în combinatorică și este importantă în studiul eficienței algoritmului euclidian pentru calcularea divizorul comun maxim . Nu se știe dacă este irațional . Este legat de funcția Riemann Zeta .

Definiție

Fie G operatorul Gauss-Kuzmin-Wirsing, adică:

[Gf](x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}f\left({\frac {1}{x+n}}\right).

{\ displaystyle [Gf] (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1 } {x + n}} \ dreapta).}

{\ displaystyle [Gf] (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(x + n) ^ {2}}} f \ left ({\ frac {1 } {x + n}} \ dreapta).}

Cea mai mare valoare proprie în valoare absolută este 1 și corespunde funcției:

{\frac {\ln 2}{1+x}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ ln 2} {1 + x}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ ln 2} {1 + x}}.}

A doua valoare proprie este constanta Gauss-Kuzmin-Wirsing și este aproximativ:

\lambda =0,30366300289...

{\ displaystyle \ lambda = 0.30366300289 ...}

{\ displaystyle \ lambda = 0.30366300289 ...}

Eduard Wirsing a arătat că dacă $F_{n}(x)$ ${\ displaystyle F_ {n} (x)}$ $F_ {n} (x)$ este distribuția Gauss-Kuzmin , apoi:

\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n}(x)-\ln(1-x)}{(-\lambda )^{n}}}=\Psi (x),

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {F_ {n} (x) - \ ln (1-x)} {(- \ lambda) ^ {n}}} = \ Psi (x ),}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {F_ {n} (x) - \ ln (1-x)} {(- \ lambda) ^ {n}}} = \ Psi (x ),}

unde este $\Psi (x)$ ${\ displaystyle \ Psi (x)}$ $\ Psi (x)$ este o funcție analitică astfel încât $\Psi (0)=\Psi (1)=0$ ${\ displaystyle \ Psi (0) = \ Psi (1) = 0}$ ${\ displaystyle \ Psi (0) = \ Psi (1) = 0}$ .

Relație cu funcția Riemann Zeta

Operatorul GKW este legat de funcția Riemann Zeta . Funcția Riemann Zeta poate fi scrisă astfel:

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-s\int _{0}^{1}h(x)x^{s-1}\;dx

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} h (x) x ^ {s-1} \; dx}

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} h (x) x ^ {s-1} \; dx}

asta presupune că:

\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-s\int _{0}^{1}dx\;x\left[Gx^{s-1}\right]

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} dx \; x \ left [Gx ^ {s-1} \ right] }

{\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {s} {s-1}} - s \ int _ {0} ^ {1} dx \; x \ left [Gx ^ {s-1} \ right] }

după o schimbare de variabilă.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, operator Gauss-Kuzmin-Wirsing în MathWorld Wolfram Research.
Toate cifrele constantei Gauss-Kuzmin-Wirsing ( TXT ), pe pi.lacim.uqam.ca . Adus la 20 septembrie 2005 (arhivat din original la 8 ianuarie 2006) .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică