Valoare absolută

Graficul funcției de valoare absolută

În matematică , valoarea absolută sau modulală a unui număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o funcție care se leagă de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un număr real non-negativ conform următoarei definiții: dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este non-negativ, valoarea sa absolută este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la fel; de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este negativ, valoarea sa absolută este $-x$ ${\ displaystyle -x}$ $-X$ . De exemplu, valoarea absolută este de $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ cea a $-3$ ${\ displaystyle -3}$ $-3$ Și $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ . Valoarea absolută a unui număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este indicat cu $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ $| x |$ .

Valoarea absolută a unui număr real

În cazul numerelor reale, valoarea absolută este definită ca următoarea funcție în bucăți :

|x|:=\left\{{\begin{matrix}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x<0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle | x |: = \ left \ {{\ begin {matrix} x, & {\ mbox {se}} x \ geq 0 \\ - x, & {\ mbox {se}} x <0 \ end {matrice}} \ dreapta.}

{\ displaystyle | x |: = \ left \ {{\ begin {matrix} x, & {\ mbox {se}} x \ geq 0 \\ - x, & {\ mbox {se}} x <0 \ end {matrice}} \ dreapta.}

sau

|x|:=\max\{x,-x\}

{\ displaystyle | x |: = \ max \ {x, -x \}}

{\ displaystyle | x |: = \ max \ {x, -x \}}

sau ca o compoziție a 2 funcții algebrice

|x|:={\sqrt {x^{2}}}

{\ displaystyle | x |: = {\ sqrt {x ^ {2}}}}

{\ displaystyle | x |: = {\ sqrt {x ^ {2}}}}

sau folosind parantezele Iverson :

|x|:=-x[x<0]+x[x\geq 0].

{\ displaystyle | x |: = - x [x <0] + x [x \ geq 0].}

{\ displaystyle | x |: = - x [x <0] + x [x \ geq 0].}

Dacă reprezentăm numere reale pe linia reală, atunci valoarea absolută a unui număr poate fi văzută ca distanța sa de la zero. Conceptele care generalizează această idee sunt noțiunea matematică de distanță și cea de normă , care uneori folosește aceeași notație a valorii absolute.

Proprietate

Valoarea absolută are următoarele proprietăți:

$|a|\geq 0;$ ${\ displaystyle | a | \ geq 0;}$ ${\ displaystyle | a | \ geq 0;}$
$|a|=0$ ${\ displaystyle | a | = 0}$ ${\ displaystyle | a | = 0}$ dacă și numai dacă $a=0;$ ${\ displaystyle a = 0;}$ ${\ displaystyle a = 0;}$
$|ab|=|a||b|;$ ${\ displaystyle | ab | = | a || b |;}$ ${\ displaystyle | ab | = | a || b |;}$
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| a |} {| b |}}}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | = {\ frac {| a |} {| b |}}}$ (cu $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ );
$|-a|=|a|;$ ${\ displaystyle | -a | = | a |;}$ ${\ displaystyle | -a | = | a |;}$
$|a+b|\leq |a|+|b|$ ${\ displaystyle | a + b | \ leq | a | + | b |}$ ${\ displaystyle | a + b | \ leq | a | + | b |}$ ( inegalitatea triunghiulară );
$|a-b|\geq {\Big |}|a|-|b|{\Big |}$ ${\ displaystyle | ab | \ geq {\ Big |} | a | - | b | {\ Big |}}$ ${\ displaystyle | a-b | \ geq {\ Big |} | a | - | b | {\ Big |}}$ ( Lipschitzianitatea valorii absolute);
$|a-b|=0$ ${\ displaystyle | ab | = 0}$ ${\ displaystyle | a-b | = 0}$ dacă și numai dacă $a=b;$ ${\ displaystyle a = b;}$ ${\ displaystyle a = b;}$
$|a|\leq b$ ${\ displaystyle | a | \ leq b}$ ${\ displaystyle | a | \ leq b}$ de sine $-b\leq a\leq b;$ ${\ displaystyle -b \ leq a \ leq b;}$ ${\ displaystyle -b \ leq a \ leq b;}$
$|a|\geq b$ ${\ displaystyle | a | \ geq b}$ ${\ displaystyle | a | \ geq b}$ de sine $a\leq -b\vee a\geq b.$ ${\ displaystyle a \ leq -b \ vee a \ geq b.}$ ${\ displaystyle a \ leq -b \ vee a \ geq b.}$

Ultimele două proprietăți sunt deseori exploatate în soluția inegalităților de tipul:

|x-3|\leq 9;

{\ displaystyle | x-3 | \ leq 9;}

{\ displaystyle | x-3 | \ leq 9;}

-9\leq x-3\leq 9;

{\ displaystyle -9 \ leq x-3 \ leq 9;}

{\ displaystyle -9 \ leq x-3 \ leq 9;}

-6\leq x\leq 12.

{\ displaystyle -6 \ leq x \ leq 12.}

{\ displaystyle -6 \ leq x \ leq 12.}

Funcția de formă

Pentru argumente reale, funcția de valoare absolută $f(x)=|x|$ ${\ displaystyle f (x) = | x |}$ $f (x) = | x |$ Este uniform, continuu peste tot și diferențiat pentru $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ $x \ neq 0$ . Această funcție nu este inversabilă , deoarece nu este injectivă : pentru fiecare valoare a intervalului există două numere (un număr și opusul acestuia) cu aceeași valoare absolută (cu excepția cazului zero).

Transformări cu modulul

Transformări ale unei funcții cubice cu valoarea absolută

O functie $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ poate fi transformat în funcție de argumentul modulului: într-o funcție de tip $|f(x)|$ ${\ displaystyle | f (x) |}$ $| f (x) |$ forma face pozitiv ceea ce este negativ și lasă pozitiv ceea ce este pozitiv; prin urmare graficul funcției va fi simetrizat față de axă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în intervalele în care $f(x)<0$ ${\ displaystyle f (x) <0}$ $f (x) <0$ . Dacă argumentul modulului este, de asemenea, variabila independentă a funcției, adică este de tip $f(|x|)$ ${\ displaystyle f (| x |)}$ ${\ displaystyle f (| x |)}$ , funcția devine uniformă; rezultă că partea graficului din stânga axei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ( $x<0$ ${\ displaystyle x <0}$ $x <0$ ) este anulat și înlocuit de simetrie față de axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din partea graficului din dreapta acestora ( $x>0$ ${\ displaystyle x> 0}$ $x> 0$ ).

Generalizări

Termenul valoare absolută este de obicei folosit în lumea reală. Generalizând această noțiune la numere complexe , vectori și spații metrice mai generale, termenul modulo este folosit mai frecvent.

Numere complexe

În cazul unui număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ modulul este definit ca

|z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}},

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {\ operatorname {Re} (z) ^ {2} + \ operatorname {Im} (z) ^ {2}}},}

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {\ operatorname {Re} (z) ^ {2} + \ operatorname {Im} (z) ^ {2}}},}

unde este $\operatorname {Re} (z)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Re} (z)}$ este partea reală a numărului și $\operatorname {Im} (z)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (z)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} (z)}$ partea imaginară . Asa de $|z|$ ${\ displaystyle | z |}$ ${\ displaystyle | z |}$ este distanța dintre origine și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în planul complex . Această definiție coincide cu cea precedentă dacă numărul complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este un număr real.

Într-un mod echivalent putem defini modulul $z\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}$ ca $|z|={\sqrt {z\,{\overline {z}}}}$ ${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \, {\ overline {z}}}}}$ ${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z \, {\ overline {z}}}}}$ , unde este ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ este conjugatul complex al lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Această definiție de formular pe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb C$ satisface proprietățile de la 1 la 7 de mai sus: de fapt, identificarea câmpului complex cu spațiul $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ , nu este alta decât norma euclidiană a vectorului $z=(\operatorname {Re} (z),\operatorname {Im} (z))$ ${\ displaystyle z = (\ operatorname {Re} (z), \ operatorname {Im} (z))}$ ${\ displaystyle z = (\ operatorname {Re} (z), \ operatorname {Im} (z))}$ .

Pentru argumente complexe , funcția modulo $f(z)=|z|$ ${\ displaystyle f (z) = | z |}$ ${\ displaystyle f (z) = | z |}$ este întotdeauna continuu, dar nu este niciodată diferențiat (se poate vedea arătând că nu satisface ecuațiile Cauchy-Riemann ).

Forma unui vector

Același subiect în detaliu: Norma (matematică) .

Forma unui vector $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $v=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ${\ displaystyle v = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle v = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ este dat în general de:

\left|v\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}

{\ displaystyle \ left | v \ right | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + ... + x_ {n} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ left | v \ right | = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + ... + x_ {n} ^ {2}}}}

Rețineți că $|v|$ ${\ displaystyle | v |}$ ${\ displaystyle | v |}$ este distanța vectorului $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ de la originea axelor și că, pe lângă termenul modulo , este adesea folosit termenul normă euclidiană sau pitagorică (deoarece în 2 dimensiuni această formulă este tocmai teorema pitagorică ).

Utilizarea acestui termen se explică prin faptul că modulul așa cum este scris aici poate fi considerat un caz particular, în spațiul euclidian , al noțiunii de normă a vectorului unui spațiu normat sau a unei matrice : setul real și setul de complexe poate fi de fapt considerat spații normate unidimensionale și seturi de matrice $1\times 1$ ${\ displaystyle 1 \ times 1}$ $1 \ ori 1$ .

Programează valoarea absolută

Majoritatea limbajelor de programare oferă în bibliotecile lor matematice o funcție pentru calcularea valorii absolute, de exemplu În limbajul C valoarea absolută a unui număr este calculată de funcțiile abs() , labs() , llabs() (în C99) , fabs() , fabsf() și fabsl() .

Scrierea versiunii funcției pentru numere întregi este banală, dacă nu luați în considerare cazul limitativ în care este introdus cel mai mare întreg negativ, iată un exemplu:

 int abs ( int i )
 {
     dacă ( i < 0 )
         retur - i ;
     altceva
         retur i ;
 }

Versiunile pentru numerele cu virgulă mobilă sunt mai complexe, deoarece trebuie să țină cont de codurile speciale pentru infinit și nu-un-număr .

Presupunând intrarea pe 32 de biți, putem folosi și algebra booleană pentru a produce un xor fără a utiliza salturi condiționale, astfel:

$abs(x)=(x\oplus (x>>31))-(x>>31)$ ${\ displaystyle abs (x) = (x \ oplus (x >> 31)) - (x >> 31)}$ ${\ displaystyle abs (x) = (x \ oplus (x >> 31)) - (x >> 31)}$

De fapt, dacă x este pozitiv, x >> 31 va produce 0x0 prin urmare abs (x) = x, în schimb dacă x este negativ x >> 31 va produce -1 și, prin urmare, xor efectuează complementul la 1 din x și scăderea lui -1 complementul lui 2 obținând valoarea absolută.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu valoare absolută

linkuri externe

( EN ) Valoare absolută , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică