Funcție (matematică)

Reprezentarea unei funcții care asociază valorile domeniului X cu valorile intervalului Y

În matematică , o funcție este o relație între două seturi , numit domeniu și Codomeniu funcției, care se asociază cu fiecare element al celui de domeniu și doar un element al Codomeniu.

Dacă cele două seturi sunt indicate respectiv cu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , relația este indicată cu $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ și elementul asociat cu $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ prin intermediul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este indicat de obicei cu $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ (pronunțat „effe of x”).

Descriere

Prin urmare, cuvântul funcție nu se referă doar la relație, ci la triada: relație, domeniu și codomain. De exemplu: funcția care asociază rădăcina pătrată a acestui număr la un număr natural este diferit de funcția care asociază rădăcina pătrată a acestui număr la un întreg ( în funcție de modul în care este definit intervalul, a doua nu poate fi chiar o corectă asociere). În multe cazuri, când domeniul și intervalul sunt clare din context, o funcție este exprimată indicând doar relația și implicând domeniul și intervalul.

Se spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este argumentul funcției sau o valoare a variabilei independente, în timp ce $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ este o valoare a variabilei dependente a funcției.

Sinonime ale funcției cuvânt sunt aplicații și harta. Transformarea este folosit deseori în câmpul geometric pentru a indica o funcție $f:X\rightarrow X$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow X}$ inversabil și care păstrează proprietățile geometrice ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , În timp ce operatorul este uneori folosit în tratamentul funcțiilor liniare între spații vectoriale .

Funcțiile au un rol foarte important în toate științele exacte . Conceptul de dependență funcțională între două cantități de fapt înlocuiește, în teoriile fizice și matematice, cauza-efect, care, spre deosebire de cea anterioară, nu se referă la entitățile teoretice ci direct elementele realității concrete. Dacă spunem, de exemplu, că presiunea unei anumite cantități de gaz perfect este o funcție a temperaturii și a volumului său , facem o afirmare internă a unui model termodinamic , în timp ce relația cauză-efect identificată între cele trei cantitățile depind în mod substanțial de posibilitățile de intervenție concretă asupra acestora. Rămânând cu acest exemplu, valoarea presiunii este văzută mai des ca o consecință a valorii celorlalți doi parametri, deoarece este, în general, mult mai ușor să se intervină asupra volumului și temperaturii decât direct asupra presiunii.

Exemple

Cele mai simple exemple de funcții sunt acelea pentru care atât domeniul și Codomeniu sunt seturi numerice . De exemplu, dacă dublul acestui număr este asociat cu fiecare număr natural, avem o funcție, al cărei domeniu este dat de naturali și a cărui gamă este alcătuită din chiar naturali.

Cu toate acestea, vorbim de funcție chiar și atunci când domeniul sau intervalul, sau ambele, nu sunt seturi numerice. Dacă, de exemplu, cercul înscris în acesta este asociat cu fiecare triunghi al planului, există și o funcție, deoarece pentru fiecare triunghi există un singur și un singur cerc înscris în el.

Mai mult, vorbim adesea despre funcții cu mai multe argumente sau cu mai multe valori: de exemplu funcția care la coordonate $X, y, z$ ${\ displaystyle x, y, z}$ $x, y, z$ un punct din spațiu echivalează cu temperatura $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și presiune $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a aerului. În acest caz, funcția are de fapt întotdeauna un singur argument, care este triada $(x,y,z),$ ${\ displaystyle (x, y, z),}$ ${\ displaystyle (x, y, z),}$ și are întotdeauna o singură valoare, care este perechea $(T,P).$ ${\ displaystyle (T, P).}$ ${\ displaystyle (T, P).}$

Definiție

Având două seturi ne-goale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , se numește funcția de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ o relație $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ astfel încât pentru fiecare $x\in X\;$ ${\ displaystyle x \ în X \;}$ $x \ în X \;$ există un singur și un singur element $y\in Y\;$ ${\ displaystyle y \ în Y \;}$ $y \ în Y \;$ astfel încât $(x,y)\in f$ ${\ displaystyle (x, y) \ în f}$ $(x, y) \ în f$ . Acest element este notat în mod tradițional prin $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ : cu alte cuvinte, în loc să scrie $(x,y)\in f$ ${\ displaystyle (x, y) \ în f}$ $(x, y) \ în f$ puteți folosi scrierea mai tradițională:

y=f(x).

{\ displaystyle y = f (x).}

{\ displaystyle y = f (x).}

Faptul că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ cu care se asociază $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ elementul $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ poate fi exprimat în scris:

{\begin{matrix}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &f(x)\end{matrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & X & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) \ end {matrix}}.}

Întregul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (de aici și funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ „Ia“ valorile) este domeniul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , în timp ce întregul $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ (unde sunt valorile „returnate” de funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ) Este Codomeniu funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . ^[1]

Expresiile „iau o valoare” și „returnează o valoare” se referă la un model mecanic de funcții, reprezentat ca mecanisme care, dat fiind un element al domeniului, îl „transformă” în elementul corespunzător al gamei.

Imagine și contor imagine

Același subiect în detaliu: imagine (matematică) .

Având o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și codomain $Da,$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle Y,}$ oricum a ales un articol $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ domeniu, se numește imagine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ elementul corespunzător al gamei, indicat cu $f(x).$ ${\ displaystyle f (x).}$ $f (x).$ În mod similar, dacă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este un element al gamei care este o imagine a unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului, adică dacă $y=f(x)$ ${\ displaystyle y = f (x)}$ $y = f (x)$ , se spune că $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este o imagine inversă a $y .$ ${\ displaystyle y.}$ ${\ displaystyle y.}$ În timp ce fiecare element al domeniului $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o singură imagine este atribuită, este posibil ca un element din gamă să aibă mai multe imagini contra, sau să nu aibă deloc. Prin urmare, „imaginea contra” a elementului este definită $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ întregul

f^{-1}(y)=\{x\in X\,|\,f(x)=y\}

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ {x \ în X \, | \, f (x) = y \}}

f ^ {- 1} (y) = \ {x \ în X \, | \, f (x) = y \}

.

De sine $f^{-1}(y)\neq \varnothing$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y) \ neq \ varnothing}$ pentru fiecare $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este surjectiv , în timp ce în cazul în care $f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {{- 1}} (y)$ conține cel mult un element pentru fiecare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este injecție . Dacă se aplică ambele condiții, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Se numește bijectivă sau bijectivă.

Întregul

\{y\in Y\,|\,\exists x\in X:y=f(x)\}

{\ displaystyle \ {y \ în Y \, | \, \ există x \ în X: y = f (x) \}}

\ {y \ în Y \, | \, \ există x \ în X: y = f (x) \}

a elementelor $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din intervalul pentru care există cel puțin unul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniul pe care îl are $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ așa cum se spune o imagine imagine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și este notat cu ${\textrm {Im}}(f)$ ${\ displaystyle {\ textrm {Im}} (f)}$ ${\ textrm {Im}} (f)$ sau cu $f(X)$ ${\ displaystyle f (X)}$ $f (X)$ . ^[2]

Alte notații pentru funcții

Pentru valoarea unei funcții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ corespunzător unui element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , denotabilă cu notația tradițională $F(x)$ ${\ displaystyle F (x)}$ $F (x)$ , sunt utilizate și alte două scripturi.

Pentru ceea ce noi numim apare funcția notatia prefix

\,Fx:=F(x).

{\ displaystyle \, Fx: = F (x).}

{\ displaystyle \, Fx: = F (x).}

Pentru ceea ce noi numim notație apare funcția suffixal

\,xF:=F(x).

{\ displaystyle \, xF: = F (x).}

{\ displaystyle \, xF: = F (x).}

Uneori se utilizează paranteze pătrate în locul parantezelor rotunde:

F[x]=F(x).

{\ displaystyle F [x] = F (x).}

{\ displaystyle F [x] = F (x).}

Acest lucru evită confuzia cu paranteze care indică ordinea operațiilor. Această notație este utilizată de unele programe de calcul simbolice.

În funcțiile de două variabile este , uneori , folosește notația infix, adică

yFx:=F(x,y),

{\ displaystyle yFx: = F (x, y),}

{\ displaystyle yFx: = F (x, y),}

de exemplu, în operațiile obișnuite de adunare și scădere pe care le folosim pentru a scrie $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ Și $x-y$ ${\ displaystyle xy}$ $X y$ in loc de $+(x,y)$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ Și $-(x,y).$ ${\ displaystyle - (x, y).}$ ${\ displaystyle - (x, y).}$

Extinderea și restricționarea unei funcții

Având o funcție $f:A\to Y$ ${\ displaystyle f: A \ to Y}$ $f: A \ to Y$ Este un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât $A\subset X$ ${\ displaystyle A \ subset X}$ $A \ subset X$ , se spune că funcția ${\tilde {f}}:X\to Y$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: X \ to Y}$ ${\ tilde {f}}: de la X la Y$ Este o „extensie multimea f $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de sine

{\tilde {f}}\circ i=f

{\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ i = f}

{\ tilde {f}} \ circ i = f

unde este $i:A\to X$ ${\ displaystyle i: A \ to X}$ $i: de la A la X$ Este " includerea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , dat de $i(a)=a$ ${\ displaystyle i (a) = a}$ $i (a) = a$ . Invers, se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Este restricția de ${\tilde {f}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ tilde {f}}$ la întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Restricția unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ conținut în domeniul său este de obicei indicat cu $f{\big |}_{A}$ ${\ displaystyle f {\ big |} _ {A}}$ $f {\ big |} _ {A}$ .

Funcțiile a două sau mai multe variabile

Când domeniul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Este produsul cartezian a două sau mai multe seturi , și , prin urmare , funcția acționează asupra $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -copii de elemente ale seturilor, apoi imaginea vectorială a acestor elemente $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ se indică cu notația

f(x_{i})\

{\ displaystyle f (x_ {i}) \}

f (x_ {i}) \

În acest caz , funcția este , de asemenea , numit caracteristica vector . În acest sens, în fizica vorbim de domeniu .

De exemplu, ia în considerare funcția de multiplicare care asociază un vector de două numere naturale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la produsul lor: $f(x,y)=xy$ ${\ displaystyle f (x, y) = xy}$ ${\ displaystyle f (x, y) = xy}$ . Această funcție poate fi definită formal ca având pentru domeniu $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}$ , ansamblul tuturor perechilor de numere naturale; de asemenea, rețineți că, în acest caz, funcția este simetrică față de componentele vectorului: $f(x,y)=f(y,x)$ ${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ ${\ displaystyle f (x, y) = f (y, x)}$ și , prin urmare, este o funcție a unui set $f\{x,y\}$ ${\ displaystyle f \ {x, y \}}$ ${\ displaystyle f \ {x, y \}}$ în care ordinea elementelor nu contează. Alte variabile , de asemenea grupări sunt de asemenea posibile: de exemplu, este extrem de important în studiul sistemelor de ecuații diferențiale, teoria funcției array :

f(x_{ij}).

{\ displaystyle f (x_ {ij}).}

{\ displaystyle f (x_ {ij}).}

Operații binare

Multe operații binare de „ aritmetică , cum ar fi“ adăugarea și multiplicarea , sunt funcții din produsul cartezian $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}$ la valori în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ Și acestea sunt descrise de notație infixat : ea scrie că $x+y$ ${\ displaystyle x + y}$ $x + y$ (si nu $+(x,y)$ ${\ displaystyle + (x, y)}$ $+ (x, y)$ ) pentru a descrie imaginea cuplului $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ prin operație $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ . ^[3]

Această notație a fost generalizată de la " algebra modernă, pentru a defini structuri algebrice , cum ar fi cea a grupului de ansamblu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ echipat cu unele operații binare având anumite proprietăți.

Funcții cu mai multe valori

În cazul în care intervalul de o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este produsul cartezian a două sau mai multe seturi, acest lucru poate fi indicat ca o funcție cu valori vectoriale . Aceste variabile sunt adesea agregate într - un vector ; în acest sens , în fizică suntem chemați câmp vectorial .

Un exemplu tipic este dat de o transformare liniară a planului , de exemplu:

(x,y)\to (y,x)

{\ displaystyle (x, y) \ to (y, x)}

(x, y) \ to (y, x)

.

O funcție se numește în schimb polidroma în cazul în care există cel puțin un element al domeniului , care corespunde mai multor dintre elementul Codomeniu. De fapt, aceste funcții nu se încadrează în definiția dată inițial, dar în unele domenii ( de exemplu , în analiza complexă ) se extinde în acest sens. Un exemplu al unei funcții multivaloare este rădăcina pătrată a unui număr real pozitiv, care poate fi descrisă ca o funcție

\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {P} (\mathbb {R} )

{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})}

\ mathbb {R} _ {+} \ to \ mathbb {P} (\ mathbb {R})

care asociază fiecare număr real pozitiv l ' împreună a două rădăcini pătrate. Un exemplu similar este logaritmul definit pe mulțimea numerelor complexe . ^[4]

Tipologie

În matematică și în mod substanțial în toate aplicațiile sale, se întâlnesc numeroase tipuri de funcții, care au, de asemenea, caracteristici foarte diferite și care sunt clasificate în funcție de criterii diferite.

Clasificare pur stabilită

Clasificarea funcțiilor în teoria calculabilitate

Funcția recursivă primitivă
Funcție calculabilă
Funcția recursive (conform tezei Bisericii-Turing , funcțiile calculabile și funcțiile recursive sunt același lucru)
Funcție recursivă totală
Funcția enumerativă

Clasificarea funcțiilor în domeniul " analiză matematică

Câteva caracteristici notabile

Funcția Beta , funcția Gamma , funcția Riemann zeta
Funcții trigonometrice : sinus , cosinus , tangenta , cotangentă , secante , cosecant
Funcția de identitate
Funcție exponențială , logaritm

Funcții de interes probabilistic și statistic

Operații elementare asupra funcțiilor unei variabile reale cu valori reale

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variabilă reală cu valori reale și o constantă $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ , Operații aritmetice elementare sau pe ea se aplică sumă , scădere , înmulțire , divizare , exponentiala , rădăcină n -lea și anume:

z(x)=f(x)+c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) + c,}

z (x) = f (x) + c,

z(x)=f(x)-c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) -c,}

z (x) = f (x) -c,

z(x)=f(x)\cdot c,

{\ displaystyle z (x) = f (x) \ cdot c,}

z (x) = f (x) \ cdot c,

de sine $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ $c \ neq 0$ ai și tu

z(x)={\frac {f(x)}{c}},

{\ displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},}

z (x) = {\ frac {f (x)} {c}},

de sine $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ ai și tu

z(x)=f(x)^{c},

{\ displaystyle z (x) = f (x) ^ {c},}

z (x) = f (x) ^ {c},

si daca $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ număr întreg mai mare de 1 și dacă $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ egal trebuie, de asemenea, avut $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ , ai și tu

z(x)={\sqrt[{c}]{f(x)}}.

{\ displaystyle z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.}

z (x) = {\ sqrt [{c}] {f (x)}}.

Acordați două funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ a variabilei reale cu valori reale, sunt aplicabile operațiile aritmetice elementare menționate mai sus, adică:

z(x)=f(x)+g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) + g (x),}

z (x) = f (x) + g (x),

z(x)=f(x)-g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) -g (x),}

z (x) = f (x) -g (x),

z(x)=f(x)\cdot g(x),

{\ displaystyle z (x) = f (x) \ cdot g (x),}

z (x) = f (x) \ cdot g (x),

de sine $g(x)\neq 0$ ${\ displaystyle g (x) \ neq 0}$ $g (x) \ neq 0$ ai și tu

z(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}

{\ displaystyle z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}}

z (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}}

de sine $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ (sau $f(x)\geq 0$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$ În cazul în care $f(x)=0\land g(x)>0$ ${\ displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ${\ displaystyle f (x) = 0 \ land g (x)> 0}$ ) are deasemenea

z(x)=f(x)^{g(x)}

{\ displaystyle z (x) = f (x) ^ {g (x)}}

z (x) = f (x) ^ {{g (x)}}

Compoziţie

Dă două funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ : $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ → $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ → $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ puteți defini lor compoziție : acest lucru este definită prin aplicarea mai întâi $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și apoi aplicând $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ la rezultat $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ .

Această nouă funcție este notată cu $g\circ f$ ${\ displaystyle g \ circ f}$ $g \ circ f$ (se citește: „f compusul g”). ^{[ Fără sursă ]} Riconducendoci notația tradițională cu cele două notațiile rezultatul compoziției anterioare aplicat elementului x în domeniu putem scrie ^[5]

\,(g\circ f)(x)=g[f(x)]

{\ displaystyle \, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]}

\, (g \ circ f) (x) = g [f (x)]

Traducere

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ de variabilă reală cu valori reale și o constantă $c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c \ in \ mathbb {R}}$ $c \ in \ mathbb {R}$ :

translația sa în raport cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în dreapta este $f(x-c)$ ${\ displaystyle f (xc)}$ $f (x-c)$
translația sa în raport cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la stânga este $f(x+c)$ ${\ displaystyle f (x + c)}$ ${\ displaystyle f (x + c)}$
translația sa în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sus este $f(x)+c$ ${\ displaystyle f (x) + c}$ $f (x) + c$
translația sa în raport cu axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ jos este $f(x)-c$ ${\ displaystyle f (x) -c}$ $f (x) -c$

Simetrie

Având o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ variabilei reale cu valori reale:

simetricul de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în raport cu axa y este $f(-x)$ ${\ displaystyle f (-x)}$ $f (-x)$
simetricul de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ în raport cu axa x este $-f(x)$ ${\ displaystyle -f (x)}$ $-f (x)$

Notă

^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.
^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, matematică discretă și elemente liniare algebra , Pearson Pearson Addison Mondad, 2007, p. 169.
^ Gazzola Ferrero Zanotti, elemente de analiză superioare în fizică și inginerie , Aesculap Publishing Company, 2007, pp. 127-128.
^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiza matematică , Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70.

Bibliografie

Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, analiza matematică, Liguori Editore, 1995 ISBN 9788820723972
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Două lecții în Analiză matematică Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203
Paul Marcellini , Carlo Sbordone , analiza matematică One, Liguori Editore, 1998 ISBN 9788820728199
Enrico Giusti , Calculul 1, Basic Books, 2002, ISBN 9788833956848

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționar conține dicționarul intrare „ funcția “
Wikiversitate conține resurse funcție
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în funcție

linkuri externe

Funcția pe Treccani.it - enciclopedii on - line, Institutul Enciclopediei Italiene .
(RO) funcția , în Enciclopedia Britannica , Encyclopaedia Britannica, Inc.
Funcția în Treccani.it - enciclopedii on - line, Encyclopaedia Institutul Italian.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 19483 · LCCN (RO) sh85052327 · GND (DE) 4071510-3 · BNF (FR) cb11946892t (data) · NDL (RO, JA) 00564960

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.

[2] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiză matematică , Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.

[3] Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, matematică discretă și elemente liniare algebra , Pearson Pearson Addison Mondad, 2007, p. 169.

[4] Gazzola Ferrero Zanotti, elemente de analiză superioare în fizică și inginerie , Aesculap Publishing Company, 2007, pp. 127-128.

[5] Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analiza matematică , Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy