Continuitate uniformă

În matematică , în special în analiza matematică , o funcție uniformă continuă este un caz special al unei funcții continue . Intuitiv o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este uniform continuu dacă o mică variație a punctului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ implică o mică variație a imaginii $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ (asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este continuă), iar măsura variației lui $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ depinde numai de amploarea variației de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , dar nu din punct de vedere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ la fel.

Continuitatea uniformă este deci o proprietate globală a funcției, spre deosebire de continuitatea simplă care este o proprietate locală. De fapt, atunci când spunem că o funcție este continuă, înseamnă pur și simplu că este continuă în fiecare punct al domeniului său. Pe de altă parte, nu are sens să spunem că o funcție este uniformă continuă într-un punct.

Definiție

În cazul specific al unei funcții $f:I\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: I \ to \ mathbb {R}}$ $f: I \ to {\ mathbb {R}}$ , unde este $I\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subseteq \ mathbb {R}}$ $I \ subseteq {\ mathbb {R}}$ este un interval , se spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este continuu uniform dacă pentru orice număr real $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un număr real $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât pentru fiecare $x_{1},x_{2}\in I$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în I}$ $x_ {1}, x_ {2} \ în I$ cu $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ ${\ displaystyle | x_ {1} -x_ {2} | <\ delta}$ $| x_ {1} -x_ {2} | <\ delta$ (adică „suficient de aproape unul de celălalt”) avem ^[1]

|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon

{\ displaystyle | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | <\ varepsilon}

| f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | <\ varepsilon

Spre deosebire de simpla continuitate, distanță $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ deci depinde numai de distanță $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ și nu din punct de vedere $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ sau $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ .

Definiția de mai sus poate fi generalizată imediat la spații metrice arbitrare: date două spații metrice $(X,d_{X})$ ${\ displaystyle (X, d_ {X})}$ $(X, d_ {X})$ Și $(Y,d_{Y})$ ${\ displaystyle (Y, d_ {Y})}$ $(Y, d_ {Y})$ , se spune că o funcție $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ este uniform continuu dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât, cu toate acestea, sunt alese două puncte $x_{1},x_{2}\in X$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în X}$ $x_ {1}, x_ {2} \ în X$ care satisfac $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$ ${\ displaystyle d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) <\ delta}$ $d_ {X} (x_ {1}, x_ {2}) <\ delta$ , atunci avem: ^[2]

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon

{\ displaystyle d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2})) <\ varepsilon}

d_ {Y} (f (x_ {1}), f (x_ {2})) <\ varepsilon

Exemple

Graficul funcțional

\sin \left({\frac {1}{x}}\right)

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}

\ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)

, care nu este uniform continuu în

(0,1]

{\ displaystyle (0,1]}

(0,1]

.

Exemple de funcții uniform continue sunt funcția constantă , identitatea sau orice funcție liniară ; alte exemple sunt funcții diferențiate într-un convex a cărui derivată este mărginită (de exemplu funcțiile sinus și cosinus ).

În schimb, polinoame de grad mai mare decât $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ nu sunt funcții uniforme continue pe întreaga linie reală, deși sunt pe seturi delimitate: dată de exemplu funcția $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ , de fapt, pentru fiecare $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ diferența:

f(x+\delta )-f(x)=(x+\delta )^{2}-x^{2}=2\delta x+\delta ^{2}

{\ displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = (x + \ delta) ^ {2} -x ^ {2} = 2 \ delta x + \ delta ^ {2}}

f (x + \ delta) -f (x) = (x + \ delta) ^ {2} -x ^ {2} = 2 \ delta x + \ delta ^ {2}

tinde spre infinit pentru $x\to \pm \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ pm \ infty}$ $x \ to \ pm \ infty$ .

Un raționament similar poate fi folosit pentru a demonstra că funcția $f(x)=1/x$ ${\ displaystyle f (x) = 1 / x}$ $f (x) = 1 / x$ nu este uniform continuu în interval $(0,1]$ ${\ displaystyle (0,1]}$ $(0,1]$ , arătând că funcțiile continue pe un delimitat nu sunt neapărat uniforme continue. Nici măcar adăugând ipoteza că funcția este mărginită nu obținem funcții uniforme continue: de exemplu funcția $f(x)=\sin(1/x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ sin (1 / x)}$ $f (x) = \ sin (1 / x)$ (întotdeauna în gama $(0,1]$ ${\ displaystyle (0,1]}$ $(0,1]$ ) nu este uniform continuu, deoarece în fiecare interval $(0,\delta )$ ${\ displaystyle (0, \ delta)}$ $(0, \ delta)$ poate fi găsit $x_{1},x_{2}\in I$ ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ în I}$ $x_ {1}, x_ {2} \ în I$ astfel încât $|f(x_{1})-f(x_{2})|=2$ ${\ displaystyle | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | = 2}$ $| f (x_ {1}) - f (x_ {2}) | = 2$ .

Condiții suficiente pentru continuitate uniformă

Teorema Heine-Cantor afirmă că funcțiile continue pe un compact (în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ un set închis și limitat) sunt continuu uniform pe acest compact; ^[2] teorema poate fi extinsă pentru a include seturi necompacte, atâta timp cât funcția tinde (pentru $x\to \pm \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ pm \ infty}$ $x \ to \ pm \ infty$ ) la o limită finită sau admite o asimptotă oblică.

În plus, fiecare funcție Lipschitz $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este uniform continuu: dat $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , tu poti alege $\delta :={\frac {\varepsilon }{K}}$ ${\ displaystyle \ delta: = {\ frac {\ varepsilon} {K}}}$ $\ delta: = {\ frac {\ varepsilon} {K}}$ , unde este $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ este o constantă Lipschitz a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Lipschitianitatea este o condiție suficientă, dar nu necesară pentru o continuitate uniformă (a se vedea exemplul următor).

Exemplu

Ia-l $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {\ frac {1} {3}}}$ $f (x) = x ^ {{{\ frac {1} {3}}}}$ . Nu este Lipschitzian în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , dar este în orice set de tip $\left(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty \right)$ ${\ displaystyle \ left (- \ infty, -a) \ cup (a, + \ infty \ right)}$ $\ left (- \ infty, -a) \ cup (a, + \ infty \ right)$ , cu $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ (derivatul său, de fapt, rămâne limitat în acest caz, ceea ce este suficient pentru Lipschitzanity). Prin urmare, $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este uniform continuu în aceste intervale.

Pe de altă parte, în jurul valorii (adică într-un interval de tip $\left[-a,a\right]$ ${\ displaystyle \ left [-a, a \ right]}$ $\ left [-a, a \ right]$ , complementar intervalelor menționate anterior), continuitatea uniformă a $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ (continuu și definit într-un compact ).

Combinând aceste rezultate, obținem acest lucru $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este uniform continuu în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , deși nu Lipschitzian.

Alte proprietăți

O funcție uniformă continuă într-un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este valabil și în orice subset $E\subseteq X$ ${\ displaystyle E \ subseteq X}$ $Și \ subseteq X$ ; conversa nu este adevărată (de exemplu, $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ {2}$ este uniform continuu în fiecare interval limitat, dar nu și în intervalele nelimitate).

Imaginea unui interval limitat în funcție de o funcție uniformă continuă este limitată.

Notă

^ E. Giusti , p. 155 .
^ ^a ^b PM Soardi , pp. 186-187 .

Bibliografie

Enrico Giusti, Analiza matematică 1 , al treilea, Bollati Boringhieri , 2002, ISBN 88-339-5684-9 .
Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2 .
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0 .
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .
( EN ) Nicolas Bourbaki , Topologie generală: capitolele 1–4 [ Topologie Générale ], ISBN 0-387-19374-X . Capitolul II este o referință cuprinzătoare a spațiilor uniforme.
( EN ) Jean Dieudonné , Fundamente ale analizei moderne , Academic Press, 1960.
( EN ) Patrick Fitzpatrick, Advanced Calculus , Brooks / Cole, 2006, ISBN 0-534-92612-6 .
( EN ) John L. Kelley, Topologie generală , Texte postuniversitare în matematică, Springer-Verlag, 1955, ISBN 0-387-90125-6 .
( EN ) Walter Rudin , Principiile analizei matematice , New York, McGraw-Hill, 1976, ISBN 978-0-07-054235-8 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse pentru continuitate uniformă
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu continuitate uniformă

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Continuitate uniformă , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] E. Giusti , p. 155 .

[soardi-2] PM Soardi , pp. 186-187 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy