Homeomorfism

O ceașcă și o gogoasă sunt homeomorfe. Din „deformarea fără rupere” prezentată în figură, este posibil să se construiască un homeomorfism între cele două obiecte.

În matematică și mai exact în topologie , un homeomorfism (din grecescul homoios = similar și morphe = formă, care nu trebuie confundat cu homomorfismul ) este o funcție specială între spațiile topologice care modelează ideea intuitivă de „deformare fără rupere”. .

Noțiunea de homeomorfism este foarte importantă în topologie. Două spații topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ conectate printr-un homeomorfism se numesc homeomorfe : din punct de vedere topologic, acestea sunt practic aceleași. În special, au aceiași invarianți topologici .

Definiție

Un homeomorfism între două spații topologice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o funcție continuă $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ care este și bidirecțional și al cărui revers $f^{-1}:Y\to X$ ${\ displaystyle f ^ {- 1}: Y \ to X}$ $f ^ {- 1}: Y \ to X$ este, de asemenea, continuu. ^[1]

O definiție echivalentă este următoarea: un homeomorfism este o corespondență unu-la-unu $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ între spații topologice astfel încât un subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este deschis dacă și numai dacă imaginea sa este $f(A)$ ${\ displaystyle f (A)}$ $face)$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Pe scurt, este o corespondență unu-la-unu între spații topologice care induce o corespondență unu-la-unu între spațiile deschise ale acestora.

Dacă există un homeomorfism între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , cele două spații sunt numite homeomorfe . Relația homeomorfismului dintre spațiile topologice este o relație de echivalență .

Exemple

Intervalele liniei reale

Lasa-i sa fie $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ două numere reale. Functia

f:[0,1]\to [a,b]

{\ displaystyle f: [0,1] \ to [a, b]}

f: [0,1] \ la [a, b]

f:x\mapsto a+(b-a)x

{\ displaystyle f: x \ mapsto a + (ba) x}

f: x \ mapsto a + (b-a) x

este un homeomorfism. De fapt, este continuu, unu-la-unu și invers

f^{-1}:[a,b]\to [0,1]

{\ displaystyle f ^ {- 1}: [a, b] \ to [0,1]}

f ^ {- 1}: [a, b] \ la [0,1]

f^{-1}:y\mapsto {\frac {y-a}{b-a}}

{\ displaystyle f ^ {- 1}: y \ mapsto {\ frac {ya} {ba}}}

f ^ {- 1}: y \ mapsto \ frac {y-a} {b-a}

este, de asemenea, continuu. Orice interval închis și limitat $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ este deci homeomorf la interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ . Din proprietatea tranzitivă rezultă atunci că intervalele închise și delimitate sunt toate homeomorfe între ele.

În mod similar, intervin deschise $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ toate sunt homeomorfe unele cu altele. Nu numai asta: un interval deschis este homeomorf pentru întreaga linie reală $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ prin intermediul funcției tangente

f:(-\pi /2,\pi /2)\to \mathbb {R}

{\ displaystyle f: (- \ pi / 2, \ pi / 2) \ to \ mathbb {R}}

f: (- \ pi / 2, \ pi / 2) \ to \ R

f:x\mapsto \tan x.

{\ displaystyle f: x \ mapsto \ tan x.}

f: x \ mapsto \ tan x.

care este unu-la-unu, continuu și cu invers continuu ( funcția arctangentă ). Prin urmare, limitarea nu este un invariant topologic: un spațiu delimitat, cum ar fi $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ poate fi homeomorf pentru un spațiu nelimitat, cum ar fi $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Proprietate

Două spații homeomorfe se bucură exact de aceleași proprietăți topologice ( separabilitate , conexiune , conexiune simplă , compactitate ...). În limbajul teoriei categoriilor , se spune că un homeomorfism este un izomorfism între spațiile topologice.

Notă

^ M. Manetti , p. 45 .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometria 2 , Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6 .
Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre homeomorfism

linkuri externe

( EN ) Homeomorfism / Homeomorfism (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	GND ( DE ) 4352383-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] M. Manetti , p. 45 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy