Funcția Lipschitz

Interpretarea grafică a condiției Lipschitz: funcția f = sin (x) cos (4x) este Lipschitz cu K = 4. Aceasta înseamnă că, dacă alegem orice punct pe graficul funcției și trasăm liniile coeficienților unghiulari 4 și -4 care trec prin acest punct, ca în figura (unde punctul ales este originea), graficul va fi întotdeauna limitat spre regiunea roz.

În analiza matematică , o funcție Lipschitz este o funcție a unei variabile reale care are o creștere limitată , în sensul că raportul dintre variația ordonatei și variația abscisei nu poate depăși niciodată o valoare fixă, numită constantă Lipschitz . Este o condiție mai puternică decât continuitatea și își ia numele de la cel al matematicianului german Rudolf Lipschitz .

Lipschitzianitatea joacă un rol cheie în unicitatea soluțiilor în problemele Cauchy legate de ecuațiile diferențiale obișnuite . Este, de fapt, o condiție centrală în teorema Picard-Lindelöf , care garantează existența și unicitatea soluției pentru o anumită condiție inițială. Un tip special de continuitate Lipschitz, numit contracție , este utilizat în teorema contracției ( teorema punctului fix ).

Următorul lanț de incluziuni are loc pentru funcții definite pe un subset compact al liniei reale: diferențialitate cu continuitate ⊆ Lipschitz continuitate ⊆ α- Hölderianitate ⊆ continuitate uniformă ⊆ continuitate ; cu 0 <α ≤1.

De asemenea, avem: continuitate Lipschitz ⊆ continuitate absolută variation variație limitată ⊆ diferențialitate aproape peste tot

Conceptul poate fi introdus în general în spații metrice . Generalizarea sa este dată de conceptul funcției hölderiene .

Starea Lipschitz

Spații normate

O functie $\mathbf {f} \colon \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f} \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ mathbf {f}} \ colon \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}$ Lipschitz se spune pe $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ dacă există o constantă $K\geq 0$ ${\ displaystyle K \ geq 0}$ $K \ geq 0$ astfel încât:

{\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {y} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\leq K\quad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \Omega .

{\ displaystyle {\ frac {\ left \ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {y}) \ right \ |} {\ left \ | \ mathbf {x } - \ mathbf {y} \ right \ |}} \ leq K \ quad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ Omega.}

{\ displaystyle {\ frac {\ left \ | \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {y}) \ right \ |} {\ left \ | \ mathbf {x } - \ mathbf {y} \ right \ |}} \ leq K \ quad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in \ Omega.}

Spații metrice

Având în vedere două spații metrice $(X_{1},d_{1})$ ${\ displaystyle (X_ {1}, d_ {1})}$ $(X_ {1}, d_ {1})$ Și $(X_{2},d_{2})$ ${\ displaystyle (X_ {2}, d_ {2})}$ $(X_ {2}, d_ {2})$ . O functie $f\colon X_{1}\to X_{2}$ ${\ displaystyle f \ colon X_ {1} \ to X_ {2}}$ $f \ colon X_ {1} \ to X_ {2}$ satisface condiția Lipschitz dacă există o constantă $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ astfel încât, pentru fiecare alegere a două puncte $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ $X y$ în $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ avem: ^[1]

d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y).

{\ displaystyle d_ {2} (f (x), f (y)) \ leq Kd_ {1} (x, y).}

d_ {2} (f (x), f (y)) \ leq Kd_ {1} (x, y).

Proprietate

O funcție diferențiată $f\colon I\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ subset \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ este Lipschitz dacă și numai dacă prima sa derivată este mărginită. În acest caz, constanta Lipschitz este $K=\sup |f'(x)|$ ${\ displaystyle K = \ sup | f '(x) |}$ $K = \ sup | f '(x) |$ .
Dacă o funcție $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$ $f \ colon U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}$ este Lipschitz și diferențiat, apoi există o constantă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât Jacobianul satisface: $\|J_{f}(x)\|\leq K\quad \forall x\in U$ ${\ displaystyle \ | J_ {f} (x) \ | \ leq K \ quad \ forall x \ in U}$ $\ | J_ {f} (x) \ | \ leq K \ quad \ forall x \ în U$ .
Relația incrementală a unei funcții Lipschitz este limitată.
Dacă o funcție este Lipschitz, este de asemenea continuă , dar nu se spune că este derivabilă .
Dacă se menține cea mai puternică condiție: există o constantă $K\geq 1$ ${\ displaystyle K \ geq 1}$ $K \ geq 1$ astfel încât

{\frac {1}{K}}\|x_{1}-x_{2}\|\leq \|f(x_{1})-f(x_{2})\|\leq K\|x_{1}-x_{2}\|,

{\ displaystyle {\ frac {1} {K}} \ | x_ {1} -x_ {2} \ | \ leq \ | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) \ | \ leq K \ | x_ {1} -x_ {2} \ |,}

{\ frac {1} {K}} \ | x_ {1} -x_ {2} \ | \ leq \ | f (x_ {1}) - f (x_ {2}) \ | \ leq K \ | x_ {1} -x_ {2} \ |,

atunci funcția se numește bilipschitziană . O funcție bilipschitziana este un homeomorfism pe imagine și apoi în special injectare .

Lipschitzianitatea are importanță imediată în contextul ecuațiilor diferențiale obișnuite , deoarece se încadrează în ipoteza existenței și teoremei unicității pentru o problemă Cauchy .
O funcție Lipschitz este continuă uniform (ceea ce implică la rândul său $f$ {\ displaystyle f} $f$ continua ). Aceste două implicații sunt vizualizate cel mai bine prin compararea următoarelor definiții ale celor trei tipuri de continuitate:
- Continuitate simplă: $\forall x\forall \varepsilon \ \exists \delta \ :\left|f\left(x\right)-f\left(x+\delta \ \right)\right|<\varepsilon \$ ${\ displaystyle \ forall x \ forall \ varepsilon \ \ există \ delta \: \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + \ delta \ \ right) \ right | <\ varepsilon \}$ $\ forall x \ forall \ varepsilon \ \ există \ delta \: \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + \ delta \ \ right) \ right | <\ varepsilon \$ .
- Continuitate uniformă: $\forall \varepsilon \ \exists \delta \ :\forall x\left|f\left(x\right)-f\left(x+\delta \ \right)\right|<\varepsilon \$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ \ există \ delta \: \ forall x \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + \ delta \ \ right) \ right | <\ varepsilon \}$ $\ forall \ varepsilon \ \ există \ delta \: \ forall x \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + \ delta \ \ right) \ right | <\ varepsilon \$ .
- Continuitate conform Lipschitz: $\exists K:\forall x\forall \varepsilon \ \left|f\left(x\right)-f\left(x+{\frac {\varepsilon \ }{K}}\right)\right|<\varepsilon \$ ${\ displaystyle \ există K: \ forall x \ forall \ varepsilon \ \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + {\ frac {\ varepsilon \} {K}} \ right) \ right | <\ varepsilon \}$ $\ există K: \ forall x \ forall \ varepsilon \ \ left | f \ left (x \ right) -f \ left (x + {\ frac {\ varepsilon \} {K}} \ right) \ right | <\ varepsilon \$ .

Notă

^ PM Soardi , p.198 .

Bibliografie

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, 1998, ISBN 88-207-2819-2 .
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis Due , Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-2675-0 .
Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] PM Soardi , p.198 .

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy