Limita unei funcții

În matematică , limita unei funcții într-un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de acumulare ^[1] pentru domeniul său exprimă cantitatea spre care tinde valoarea asumată de funcție pe măsură ce argumentul său se apropie $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Indicând cu $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ funcția, limita este indicată cu:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x)

și citește limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Cu alte cuvinte, $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}$ înseamnă că atunci când valoarea $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ abordari $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ ( $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ ), valoarea $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ asumată de abordările funcționale $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , acesta este $f(x)\to l$ ${\ displaystyle f (x) \ to l}$ ${\ displaystyle f (x) \ to l}$ . Valoarea $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ poate fi terminat ( $l\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle l \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle l \ in \ mathbb {R}}$ ), infinit ( $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ ), sau să nu existe. Limita reprezintă într-un anumit sens comportamentul unui obiect matematic atunci când una sau mai multe variabile ale domeniului său tind să-și asume o anumită valoare.

Conceptul de limită al unei funcții este generalizat de la cel al limitei unui filtru , în timp ce un caz particular este cel al limitei unei succesiuni de puncte într-un spațiu topologic .

Definiție

Ni se dă o funcție $f\colon X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon X \ to \ mathbb {R}$ definit pe un subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a liniei reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , și un punct de acumulare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un număr real $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă, în mod arbitrar, setați o valoare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ a distanței dintre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , este posibil să se găsească, în corespondență cu aceasta, o valoare $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ a distanței dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru care pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , exclus $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , care sunt departe de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ mai puțin decât $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , avem asta $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ disti from $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ mai puțin decât $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Distanța dintre puncte se măsoară folosind valoarea absolută a diferenței: prin urmare $|x-x_{0}|$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} |}$ $| x-x_0 |$ este distanța dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $|f(x)-l|$ ${\ displaystyle | f (x) -l |}$ $| f (x) -l |$ este distanța dintre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Conceptele de „fixate în mod arbitrar” și „pot fi găsite” sunt exprimate formal, respectiv, cu cuantificatoarele „pentru fiecare” ( cuantificator universal ) și „există” ( cuantificator existențial ).

Definiția metrică formală a limitei afirmă că $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care tinde spre $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru orice număr real $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un alt număr real pozitiv $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât dacă $0<|x-x_{0}|<\delta$ ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta}$ ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta}$ asa de $|f(x)-l|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ $| f (x) -l | <\ varepsilon$ , sau cu formalism pur matematic

\forall \varepsilon >0\;\;\exists \delta >0\;:\;0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \; \ există \ delta> 0 \ ;: \; 0 <| x-x_ {0} | <\ delta \ Rightarrow | f (x) -l | <\ varepsilon }

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \; \ există \ delta> 0 \ ;: \; 0 <| x-x_ {0} | <\ delta \ Rightarrow | f (x) -l | <\ varepsilon }

care se rezumă prin scriere:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = l

Definiția topologică, echivalentă cu cea metrică, folosește conceptul de vecinătate este: $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limită dacă pentru fiecare cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ astfel încât $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ aparține lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru fiecare $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ $x \ neq x_0$ în $V\cap X$ ${\ displaystyle V \ cap X}$ $V \ cap X$ . Ideea $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ nu este neapărat cuprins în domeniul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Punctul este totuși exclus în definiția limitei, deoarece limita trebuie să depindă doar de valorile $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în puncte arbitrare apropiate de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dar nu prin valoarea pe care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupune în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ : din acest motiv cerem asta $|x-x_{0}|$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} |}$ $| x-x_0 |$ este mai mare decât zero.

Definiția de mai sus este cea mai utilizată în zilele noastre. Cu toate acestea, în a doua jumătate a secolului al XX-lea, o revizuire a conceptelor de bază ale topologiei i-a determinat pe unii savanți iluștri să propună o definiție modificată a limitei. ^[2] ^[3] Dacă într-adevăr $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ mai general este un punct de aderare la ansamblu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , atunci se spune că $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limită dacă pentru orice număr real $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $|f(x)-l|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ $| f (x) -l | <\ varepsilon$ de fiecare dată când $|x-x_{0}|<\delta$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} | <\ delta}$ $| x-x_0 | <\ delta$ . Conditia $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ $x \ n și x_0$ de aceea nu reușește. Definiția reformată nu modifică limitele tradiționale, cum ar fi definiția derivatului , ci tratează diferit unele cazuri „patologice”. Rețineți că condiția de aderență a $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o condiție necesară și suficientă pentru ca limita, înțeleasă de definiția reformată, să fie unică. Mai mult, utilizarea acestei definiții continuitatea devine un caz particular de limită din toate punctele de vedere: de fapt este ușor de văzut asta $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuați în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , punctul stăpânirii sale, este echivalent cu a spune că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ admite limită $l=f(x_{0})$ ${\ displaystyle l = f (x_ {0})}$ $l = f (x_0)$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Diverse alte rezultate clasice iau o formă mai simplificată prin asumarea definiției reformate a limitei: de exemplu, teorema trecerii la limită într-o funcție compusă se menține sub cele mai naturale ipoteze posibile.

Extindere la cazul infinit

Definiția limitei este extinsă în mod normal pentru a lua în considerare și cazurile în care $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și / sau $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ sunt infinite.

Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are limita $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ într-un punct finit $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru orice număr real $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ există un alt număr real $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $f(x)>N$ ${\ displaystyle f (x)> N}$ $f (x)> N$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu $0<|x-x_{0}|<\delta$ ${\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta}$ $0 <| x-x_0 | <\ delta$ , adică

\forall N>0\;\;\exists \delta >0\;:\;0<|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow f(x)>N

{\ displaystyle \ forall N> 0 \; \; \ exists \ delta> 0 \ ;: \; 0 <| x-x_ {0} | <\ delta \ Rightarrow f (x)> N}

{\ displaystyle \ forall N> 0 \; \; \ exists \ delta> 0 \ ;: \; 0 <| x-x_ {0} | <\ delta \ Rightarrow f (x)> N}

care într-un mod mai sintetic este scris:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = + \ infty}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = + \ infty

În mod similar, limita este definită $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ înlocuind $f(x)>N$ ${\ displaystyle f (x)> N}$ $f (x)> N$ cu $f(x)<-N$ ${\ displaystyle f (x) <- N}$ $f (x) <-N$ .

Limita pentru

x\to +\infty

{\ displaystyle x \ to + \ infty}

x \ to + \ infty

Și

L

{\ displaystyle L}

L

.

Pentru a defini limita pentru $x_{0}\to +\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to + \ infty}$ , este încă necesar ca $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ este un „punct de acumulare” pentru domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : aceasta se traduce prin cererea care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conține valori arbitrare mari, adică limita sa superioară este infinită:

\sup X=+\infty

{\ displaystyle \ sup X = + \ infty}

\ sup X = + \ infty

În acest caz, un număr finit $l\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle l \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle l \ in \ mathbb {R}}$ este limita de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ $x \ to + \ infty$ dacă pentru orice număr real $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un alt număr real $S>0$ ${\ displaystyle S> 0}$ $S> 0$ astfel încât $|f(x)-l|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}$ $| f (x) -l | <\ varepsilon$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu $x>S$ ${\ displaystyle x> S}$ $x> S$ , adică

\forall \varepsilon >0\;\;\exists S>0\;:\;x>S\Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \; \ există S> 0 \ ;: \; x> S \ Rightarrow | f (x) -l | <\ varepsilon}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \; \ există S> 0 \ ;: \; x> S \ Rightarrow | f (x) -l | <\ varepsilon}

care într-un mod mai sintetic este scris:

\lim _{x\to +\infty }f(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} f (x) = l}

\ lim_ {x \ to + \ infty} f (x) = l

În mod similar, definim limita pentru $x\to -\infty$ ${\ displaystyle x \ to - \ infty}$ $x \ to - \ infty$ , înlocuind $x>S$ ${\ displaystyle x> S}$ ${\ displaystyle x> S}$ cu $x<-S$ ${\ displaystyle x <-S}$ ${\ displaystyle x <-S}$ .

Prin urmare, rămâne să examinăm cazul în care ambele $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ sunt infinite. Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are limita $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ pentru $x\to +\infty$ ${\ displaystyle x \ to + \ infty}$ $x \ to + \ infty$ dacă pentru orice număr real $N>0$ ${\ displaystyle N> 0}$ $N> 0$ există un alt număr real $S>0$ ${\ displaystyle S> 0}$ $S> 0$ astfel încât $f(x)>N$ ${\ displaystyle f (x)> N}$ $f (x)> N$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu $x>S$ ${\ displaystyle x> S}$ $x> S$ , adică

\forall N>0\;\;\exists S>0\;:\;x>S\Rightarrow f(x)>N

{\ displaystyle \ forall N> 0 \; \; \ există S> 0 \ ;: \; x> S \ Rightarrow f (x)> N}

{\ displaystyle \ forall N> 0 \; \; \ există S> 0 \ ;: \; x> S \ Rightarrow f (x)> N}

care într-un mod mai sintetic este scris:

\lim _{x\to +\infty }f(x)=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} f (x) = + \ infty}

\ lim_ {x \ to + \ infty} f (x) = + \ infty

Cazurile în care $x_{0}\to -\infty$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ to - \ infty}$ și / sau $f(x)\to -\infty$ ${\ displaystyle f (x) \ to - \ infty}$ ${\ displaystyle f (x) \ to - \ infty}$ .

Linie extinsă și definiție generală

Toate aceste definiții pot fi grupate elegant într-o singură propunere: în acest scop, este suficient să extindeți linia reală $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ la linia reală extinsă :

\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*} = \ mathbb {R} \ cup \ lbrace - \ infty, + \ infty \ rbrace}

\ reals ^ * = \ reals \ cup \ lbrace - \ infty, + \ infty \ rbrace

obținută prin adunarea a două puncte $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ Și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ . Linia reală extinsă este un set ordonat și un spațiu topologic . Prin urmare, conceptul de cartier se extinde la linia reală extinsă: cartierele din $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sunt toate seturile care conțin o rază $(a,+\infty )$ ${\ displaystyle (a, + \ infty)}$ $(a, + \ infty)$ , pentru unii $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

În acest fel, toate definițiile anterioare pot fi reunite într-o singură propoziție, obținută prin substituire $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ cu $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ în definiția care folosește cartierele. Deci, să fie $f:X\to \mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {*}}$ $f: X \ to \ R ^ *$ o funcție definită pe un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ , și așa să fie $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . O valoare $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ în $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ este limita de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru fiecare din jur $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ în $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ astfel încât $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ aparține lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru fiecare $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ $x \ neq x_0$ în $V\cap X$ ${\ displaystyle V \ cap X}$ $V \ cap X$ .

Prin unicitatea teoremei limitei , o funcție poate avea o limită (finită sau infinită) în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ sau nici unul (deci nu poate avea mai mult de unul).

Terminologie

Dacă limita pentru $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ din $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este 0, $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ se spune că este infinitesimal sau convergent în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Pe de altă parte, dacă $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Tinde să $\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$ se numește divergent . De sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este conținut în domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , și dacă conține:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = f (x_ {0})}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = f (x_0)

atunci funcția este continuă în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Noțiunea de continuitate este foarte importantă în matematică: intuitiv, o funcție continuă în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ are graficul care „nu sare” în jurul punctului, deci poate fi desenat manual fără a scoate vreodată pixul de pe foaie: în orice moment $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din domeniul său, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ presupune în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ valoarea limitei sale pentru $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ . În caz contrar, funcția are în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de discontinuitate .

Exemple

Câteva exemple sunt enumerate aici.

Functia $f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}$ $f (x) = x ^ 2$ este continuu în $x_{0}=3$ ${\ displaystyle x_ {0} = 3}$ $x_0 = 3$ , deoarece valoarea sa $f(3)=3^{2}=9$ ${\ displaystyle f (3) = 3 ^ {2} = 9}$ $f (3) = 3 ^ 2 = 9$ coincide cu valoarea obținută ca limită:

\lim _{x\to 3}x^{2}=9

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 3} x ^ {2} = 9}

\ lim_ {x \ to 3} x ^ 2 = 9

Cat de mult $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ devine foarte mare, valoarea $1/x$ ${\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ devine arbitrar mic și, prin urmare, tinde la zero:

\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {x}} = 0}

\ lim_ {x \ to \ infty} \ frac 1x = 0

Cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ devine foarte mare, valoarea $x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ 3$ devine arbitrar de mare și, prin urmare, tinde să $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ :

\lim _{x\to +\infty }x^{3}=+\infty

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} x ^ {3} = + \ infty}

\ lim_ {x \ to + \ infty} x ^ 3 = + \ infty

Funcția sinus oscilează la nesfârșit între $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ Și $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ , și, prin urmare, nu tinde la o limită definită pentru $x\to \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ infty}$ $x \ to \ infty$ . Această afirmație este dovedită formal datorită primei teoreme de restricție : ca restricție a sinusului la valori ${\pi \over 2}+2k\pi$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} + 2k \ pi}$ ${\ pi \ peste 2} + 2k \ pi$ este constant 1 și restricția a $-{\pi \over 2}+2k\pi$ ${\ displaystyle - {\ pi \ over 2} + 2k \ pi}$ $- {\ pi \ over 2} + 2k \ pi$ este constant -1, funcția sinusoidală nu poate admite limită globală. Prin urmare:

\lim _{x\to +\infty }\sin x={\rm {indefinito}}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} \ sin x = {\ rm {nedefinit}}}

\ lim_ {x \ to + \ infty} \ sin x = {\ rm undefined}

sau mai strict:

\nexists \lim _{x\to +\infty }\sin x

{\ displaystyle \ nexists \ lim _ {x \ to + \ infty} \ sin x}

\ nexists \ lim_ {x \ to + \ infty} \ sin x

Limite dreapta, stânga, sus și jos

Pentru a obține informații mai precise, uneori este util să se utilizeze conceptele de limită dreaptă și stângă , definite de noțiunea de mediu drept și stâng .

Un cartier potrivit al unui punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a liniei extinse $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ $\ R ^ *$ este o gamă de tip $[x_{0},x_{0}+r[$ ${\ displaystyle [x_ {0}, x_ {0} + r [}$ $[x_0, x_0 + r [$ cu $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ . În mod similar, un cartier din stânga este un interval de acest tip $]x_{0}-r,x_{0}]$ ${\ displaystyle] x_ {0} -r, x_ {0}]}$ $] x_0-r, x_0]$ . În special, cartierele din $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ toți sunt dreptaci și cei din $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ sunt sinistre.

În acest moment, fie el $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ R$ cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ punct de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . O valoare $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ a liniei extinse este limita potrivită pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă pentru fiecare din jur $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ există un cartier potrivit $V^{+}$ ${\ displaystyle V ^ {+}}$ $V ^ +$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ aparține lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $V^{+}\cap X$ ${\ displaystyle V ^ {+} \ cap X}$ $V ^ + \ cap X$ .

Limita din stânga este definită în mod similar. Limitele stânga și dreapta (dacă există) sunt descrise, respectiv, ca:

\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x),\quad \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x), \ quad \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x)}

\ lim_ {x \ to x_0 ^ -} f (x), \ quad \ lim_ {x \ to x_0 ^ +} f (x)

Se aplică următorul rezultat: o funcție are limită în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă și numai dacă are limite la dreapta și la stânga, iar aceste două limite sunt finite și coincid.

Funcția pas a lui Heaviside are un salt înăuntru

x_{0}=0

{\ displaystyle x_ {0} = 0}

x_0 = 0

, deoarece limitele stânga și dreapta nu coincid.

De exemplu, funcția pas $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ afișat în figură are limita la stânga și la dreapta în $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ $x_0 = 0$ , dar acestea nu coincid: de aceea nu are limită în $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ $x_0 = 0$ :

\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0,\quad \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {-}} f (x) = 0, \ quad \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} f (x) = 1}

\ lim_ {x \ to 0 ^ -} f (x) = 0, \ quad \ lim_ {x \ to 0 ^ +} f (x) = 1

Noțiunile de limită sub și peste sunt definite într-un mod similar, înlocuind vecinătatea $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ cu împrejurimile din dreapta și din stânga. Limitele sub și peste (dacă există) pot fi indicate cu un mic abuz de limbă după cum urmează:

l^{+}=\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x),\quad l^{-}=\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)

{\ displaystyle l ^ {+} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x), \ quad l ^ {-} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x)}

{\ displaystyle l ^ {+} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {+}} f (x), \ quad l ^ {-} = \ lim _ {x \ to x_ {0} ^ {-}} f (x)}

Proprietăți de bază

Limitarea locală

Printeorema limitării locale , o funcție care are limită finită în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este limitat într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , adică există un număr $K>0$ ${\ displaystyle K> 0}$ $K> 0$ și în jur $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $|f(x)|<K$ ${\ displaystyle | f (x) | <K}$ $| f (x) | <K$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului conținut în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Pe de altă parte, o succesiune limitată într - un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ nu are neapărat limită în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ : de exemplu, funcția pas este limitată peste tot, dar nu are limită la zero.

Permanența semnului

Prin teorema permanenței semnului , dacă o funcție are limită $l>0$ ${\ displaystyle l> 0}$ $l> 0$ strict pozitiv în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , apoi își asumă valori strict pozitive pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ suficient de aproape de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Cu alte cuvinte, există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ diferit de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

În mod similar, o funcție care are limită $l<0$ ${\ displaystyle l <0}$ $l <0$ strict negativ are valori strict negative pentru toți $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ suficient de aproape de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . O funcție care are limite $l=0$ ${\ displaystyle l = 0}$ $l = 0$ poate lua aproape de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ valorile ambelor semne (de exemplu funcția $f(x)=x$ ${\ displaystyle f (x) = x}$ $f (x) = x$ cu $x_{0}=0$ ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ $x_0 = 0$ ).

Compararea funcțiilor

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții definite pe un domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , cu $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ punct de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . De sine $f(x)\geq g(x)$ ${\ displaystyle f (x) \ geq g (x)}$ $f (x) \ geq g (x)$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a domeniului dintr-un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , și dacă ambele funcții au limită în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , apoi reține:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)\geq \lim _{x\to x_{0}}g(x)

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) \ geq \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x)}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) \ geq \ lim_ {x \ to x_0} g (x)

Acest rezultat se obține prin aplicarea teoremei permanenței semnului la diferență $f-g$ ${\ displaystyle fg}$ $f-g$ .

Teorema comparației (sau a carabinierilor)

Teorema comparației (sau a carabinierilor ) afirmă că o funcție „strânsă între două secvențe” care converg la aceeași limită converge și ea la această limită. În mod formal, dacă $f, g$ ${\ displaystyle f, g}$ $f, g$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ sunt trei funcții definite pe un domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu punct de acumulare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , astfel încât:

f(x)\leqslant g(x)\leqslant h(x)

{\ displaystyle f (x) \ leqslant g (x) \ leqslant h (x)}

f (x) \ leqslant g (x) \ leqslant h (x)

pentru fiecare $x\neq x_{0}$ ${\ displaystyle x \ neq x_ {0}}$ $x \ neq x_0$ a domeniului într-un cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , și astfel încât:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = \ lim _ {x \ to x_ {0}} h (x) = l}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = \ lim_ {x \ to x_0} h (x) = l

apoi și:

\lim _{x\to x_{0}}g(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = l}

\ lim_ {x \ to x_0} g (x) = l

Se spune „ despre carabinieri ” pentru că $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Și $h(x)$ ${\ displaystyle h (x)}$ $h (x)$ sunt imaginați ca cei doi carabinieri pe care îi aduc în celulă $g(x)$ ${\ displaystyle g (x)}$ $g (x)$ acesta este criminalul sau, pentru că ne imaginăm doi carabinieri care încearcă să prindă un criminal din două părți opuse, va tinde, împreună cu carabinieri (funcții externe), în același punct.

Operații cu limite

Același subiect în detaliu: Operațiuni cu limite .

Funcțiile care au același domeniu pot fi adăugate sau multiplicate. În multe cazuri este posibil să se determine limita funcției care rezultă din limitele funcțiilor individuale.

Lasa-i sa fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ două funcții cu același domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dacă există limite:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1},\quad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l_ {1}, \ quad \ lim _ {x \ to x_ {0}} g (x) = l_ {2}}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = l_1, \ quad \ lim_ {x \ to x_0} g (x) = l_2

asa de:

$\lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad \forall c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} (c \ cdot f (x)) = c \ cdot l_ {1} \ qquad \ forall c \ in \ mathbb {R}}$ $\ lim_ {x \ to x_0} (c \ cdot f (x)) = c \ cdot l_1 \ qquad \ forall c \ in \ R$
$\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} (f (x) \ pm g (x)) = l_ {1} \ pm l_ {2}}$ $\ lim_ {x \ to x_0} (f (x) \ pm g (x)) = l_1 \ pm l_2$
$\lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} (f (x) \ cdot g (x)) = l_ {1} \ cdot l_ {2}}$ $\ lim_ {x \ to x_0} (f (x) \ cdot g (x)) = l_1 \ cdot l_2$
$\lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad {\mbox{se }}l_{1}\neq 0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {1 \ over f (x)} = {1 \ over l_ {1}} \ qquad {\ mbox {se}} l_ {1} \ neq 0 }$ $\ lim_ {x \ to x_0} {1 \ over f (x)} = {1 \ over l_1} \ qquad \ mbox {se} l_1 \ ne 0$
$\lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad {\mbox{se }}l_{2}\neq 0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} {f (x) \ over g (x)} = {l_ {1} \ over l_ {2}} \ qquad {\ mbox {se}} l_ {2} \ neq 0}$ $\ lim_ {x \ to x_0} {f (x) \ over g (x)} = {l_1 \ over l_2} \ qquad \ mbox {se} l_2 \ ne 0$

Unele dintre egalitățile enumerate sunt extensibile la cazurile în care $l_{1}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ $l_1$ și / sau $l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ $l_2$ este infinit.

Spații metrice

Conceptul de limită este generalizat pentru fiecare funcție $f:X\to Y\,\!$ ${\ displaystyle f: X \ to Y \, \!}$ $f: X \ to Y \, \!$ între spații metrice $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ în felul următor. De sine $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este un punct de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o valoare $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_0$ din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ $x \ to x_0$ de sine $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ abordări arbitrare $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_0$ cand $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ abordari $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . În mod formal, dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $\delta >0$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ $\ delta> 0$ astfel încât $d(f(x),y_{0})<\varepsilon$ ${\ displaystyle d (f (x), y_ {0}) <\ varepsilon}$ $d (f (x), y_0) <\ varepsilon$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cu $0<d(x,x_{0})<\delta$ ${\ displaystyle 0 <d (x, x_ {0}) <\ delta}$ $0 <d (x, x_0) <\ delta$ . În acest caz, scriem:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = y_ {0}}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = y_0

Unicitatea teoremei limitelor continuă să fie valabilă: o funcție nu poate tinde la două limite diferite la un moment dat.

Spații topologice

Lasa-i sa fie $(X,\tau )$ ${\ displaystyle (X, \ tau)}$ $(X, \ tau)$ Și $(Y,\psi )$ ${\ displaystyle (Y, \ psi)}$ ${\ displaystyle (Y, \ psi)}$ două spații topologice și sunt $A\subseteq X$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ , $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un element de închidere a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $l\in Y$ ${\ displaystyle l \ în Y}$ ${\ displaystyle l \ în Y}$ .

Data $f:A\to Y$ ${\ displaystyle f: A \ to Y}$ ${\ displaystyle f: A \ to Y}$ o aplicație spune asta $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este o limită de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $x\to x_{0}$ ${\ displaystyle x \ to x_ {0}}$ $x \ to x_0$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , iar tu scrii $l\in \lim _{x\to x_{0}}f(x)$ ${\ displaystyle l \ in \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}$ ${\ displaystyle l \ in \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}$ de sine:

${\begin{matrix}F:&A\cup \{x_{0}\}&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &f(x)&se&x\in A-\{x_{0}\}\\&x&\longmapsto &l&se&x=x_{0}\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} F: & A \ cup \ {x_ {0} \} & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) & se & x \ în A - \ { x_ {0} \} \\ & x & \ longmapsto & l & se & x = x_ {0} \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} F: & A \ cup \ {x_ {0} \} & \ longrightarrow & Y \\ & x & \ longmapsto & f (x) & se & x \ în A - \ { x_ {0} \} \\ & x & \ longmapsto & l & se & x = x_ {0} \ end {matrix}}}$

este continuu în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ cu $A\cup \{x_{0}\}$ ${\ displaystyle A \ cup \ {x_ {0} \}}$ ${\ displaystyle A \ cup \ {x_ {0} \}}$ înzestrat cu topologia indusă de $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ dotat cu topologie $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ .

De asemenea dacă $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ punct de acumulare de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și spațiu $(Y,\psi )$ ${\ displaystyle (Y, \ psi)}$ ${\ displaystyle (Y, \ psi)}$ atunci setul este al lui Hausdorff $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x)}$ are cel mult un element ( unicitatea limitei ).

Funcții reale cu mai multe variabile

Același subiect în detaliu: Limita funcțiilor multi-variabile .

Spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ este un spațiu metric, cu metrica euclidiană . Deci, definiția limitei pentru spațiile metrice se aplică oricărei funcții:

f:X\to \mathbb {R} ^{m}

{\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R} ^ {m}}

f: X \ to \ R ^ m

unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este orice subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ .

Funcții complexe

O funcție complexă $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$ $f: \ Complex \ to \ Complex$ poate fi interpretat ca o funcție:

f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}

f: \ reals ^ 2 \ rightarrow \ reals ^ 2

În acest fel, limita pentru funcții între seturi de numere complexe este, de asemenea, definită.

Notă

^ Adesea în topologie poate fi necesar ca punctul să fie doar un punct de aderență pentru domeniul funcției. Acest lucru nu schimbă nimic pentru limitele funcției în ceea ce privește punctele de acumulare, deoarece acestea sunt un subset al punctelor de aderență și nici nu afectează teoremele asupra proprietăților generale ale limitelor.
^ Ennio De Giorgi, Lessons of Institutions of Mathematics 1 , Ferrara, De Salvia, 1972.
^ Laurent Schwartz, Analize. Deuxième partie: Topologie générale et analyse fonctionnelle , Paris, Hermann, 1970.

Bibliografie

Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis One. Versiune simplificată pentru cursuri de studii noi , Napoli , Liguori Editore , 2016, ISBN 978-88-20-73383-4 .
Nicola Fusco , Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis Two. Versiune simplificată pentru noile cursuri de studii , Napoli , Liguori Editore , 2001, ISBN 88-207-3137-1 .
(EN) Norman Miller, Limits, Waltham , Blaisdell Publishing Company, 1964.
( EN ) Richard Courant , Calcul diferențial și integral, 1-2 , New York , John Wiley & Sons , 1988, ISBN 978-04-71-60842-4 .
( EN ) Karl R. Stromberg, Introducere în analiza reală clasică , New York, Editura Chelsea, 2015, ISBN 978-14-70-42544-9 .
( EN ) John L. Kelley, Topologie generală , New York, D. van Nostrand Company, 1955. pp. 125; 127
( EN ) Barry Mitchell, Teoria categoriilor , New York, Academic Press , 1965, ISBN 978-00-80-87329-9 . pp. 7
( EN ) Jiří Adámek, Teoria structurilor matematice , Berlin , Springer , 1983, ISBN 978-90-27-71459-6 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu o limită de caracteristici

Collegamenti esterni

( EN ) LD Kudryavtsev, Limit , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Limite in MathWorld
( EN ) Calcolatore online di limiti , su numberempire.com .

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Adesea în topologie poate fi necesar ca punctul să fie doar un punct de aderență pentru domeniul funcției. Acest lucru nu schimbă nimic pentru limitele funcției în ceea ce privește punctele de acumulare, deoarece acestea sunt un subset al punctelor de aderență și nici nu afectează teoremele asupra proprietăților generale ale limitelor.

[2] Ennio De Giorgi, Lessons of Institutions of Mathematics 1 , Ferrara, De Salvia, 1972.

[3] Laurent Schwartz, Analize. Deuxième partie: Topologie générale et analyse fonctionnelle , Paris, Hermann, 1970.

[1]

[2]

[3]

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione ( di funzioni ) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite ( di una funzione · di una successione · Forma indeterminata ) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie ( di funzioni ) · Criteri di convergenza ·Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo , di linea ( 1ª specie · 2ª specie ) e di superficie ( di volume )
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy