Unicitatea teoremei limitei

Unicitatea teoremei limitei este o teoremă a matematicii și mai precis a analizei . Acesta ia forme diferite în funcție de contexte și, în fiecare dintre acestea, afirmă că nu pot exista două limite distincte. Se aplică în principal secvențelor și funcțiilor .

Succesiuni

Afirmație

Teorema unicității limită pentru secvențe afirmă că

O succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ a numerelor reale nu poate avea două limite distincte.

Cu alte cuvinte, dacă succesiunea are o limită, este unică. ^[1]

Demonstrație

să presupunem că $l_{1},l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}}$ sunt limite (finite; într-adevăr, această restricție poate fi ușor eliminată) succesiunii $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ . Vom arăta asta $l_{1}=l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ .

Pentru definirea limitei, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ exista $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ și $N_{2}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ astfel încât pentru fiecare $i>N_{1}$ ${\ displaystyle i> N_ {1}}$ ${\ displaystyle i> N_ {1}}$ e adevărat $|a_{i}-l_{1}|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | a_ {i} -l_ {1} | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | a_ {i} -l_ {1} | <\ varepsilon}$ , și pentru fiecare $i>N_{2}$ ${\ displaystyle i> N_ {2}}$ ${\ displaystyle i> N_ {2}}$ e adevărat $|a_{i}-l_{2}|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | a_ {i} -l_ {2} | <\ varepsilon}$ ${\ displaystyle | a_ {i} -l_ {2} | <\ varepsilon}$ . Este $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ maximul dintre $N_{1}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ ${\ displaystyle N_ {1}}$ Și $N_{2}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ ${\ displaystyle N_ {2}}$ . Apoi pentru fiecare $i>N$ ${\ displaystyle i> N}$ ${\ displaystyle i> N}$ avem

|l_{1}-l_{2}|\leq |l_{1}-a_{i}|+|a_{i}-l_{2}|<2\varepsilon

{\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | \ leq | l_ {1} -a_ {i} | + | a_ {i} -l_ {2} | <2 \ varepsilon}

{\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | \ leq | l_ {1} -a_ {i} | + | a_ {i} -l_ {2} | <2 \ varepsilon}

pentru inegalitatea triunghiulară . Prin urmare $|l_{1}-l_{2}|<2\varepsilon$ ${\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | <2 \ varepsilon}$ ${\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | <2 \ varepsilon}$ pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , și apoi $|l_{1}-l_{2}|=0$ ${\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | = 0}$ ${\ displaystyle | l_ {1} -l_ {2} | = 0}$ . Prin urmare $l_{1}=l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ .

Generalizări

Teorema se menține (cu dovezi analoge) și pentru orice succesiune de puncte într-un spațiu metric . Mai general, se păstrează în orice spațiu topologic Hausdorff .

Funcții

Afirmație

Unicitatea teoremei limitei pentru funcții afirmă că

O functie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ R$ definit pe un interval deschis $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ numerele reale nu pot avea două limite distincte la un moment dat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Cu alte cuvinte, dacă funcția are limită în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , acest lucru este unic. ^[2]

Demonstrație

să presupunem că $l_{1},l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {1}, l_ {2}}$ sunt limite ale funcției în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Vom arăta asta $l_{1}=l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {1} = l_ {2}}$ , raționând în mod absurd și, prin urmare, presupunând că $l_{1}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ $l_1$ Și $l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ $l_2$ sunt distincte. Apoi, există două cartiere $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ din $l_{1}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ ${\ displaystyle l_ {1}}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ din $l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ disjunct .

Prin definiție a limitei, există două cartiere $U_{1}$ ${\ displaystyle U_ {1}}$ $U_ {1}$ Și $U_{2}$ ${\ displaystyle U_ {2}}$ $U_ {2}$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru care se aplică:

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

aparține lui

V_{1}

{\ displaystyle V_ {1}}

{\ displaystyle V_ {1}}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

în

U_{1}\cap X

{\ displaystyle U_ {1} \ cap X}

{\ displaystyle U_ {1} \ cap X}

diferit de

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

,

f(x)

{\ displaystyle f (x)}

f (x)

aparține lui

V_{2}

{\ displaystyle V_ {2}}

{\ displaystyle V_ {2}}

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

în

U_{2}\cap X

{\ displaystyle U_ {2} \ cap X}

{\ displaystyle U_ {2} \ cap X}

diferit de

x_{0}

{\ displaystyle x_ {0}}

x_0

.

Întregul $U_{1}\cap U_{2}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2}}$ ${\ displaystyle U_ {1} \ cap U_ {2}}$ este un alt cartier al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , deci conține o perioadă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ diferit de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ deoarece $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este punctul de acumulare pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Pentru acest punct, $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este simultan în $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ Și $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ , care totuși sunt disjuncte: acest lucru este absurd.

Generalizări

Teorema se menține (cu dovezi analoage) și pentru orice funcție $f:X\to Y$ ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ $f: X \ to Y$ între spații metrice , cum ar fi spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ sau orice subset al acestuia. Mai general, acest lucru este valabil pentru funcții între spații topologice , cu ipoteza că codomainul $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ambii din Hausdorff .

Observare

Ipoteza din afirmația generală că codomainul este un spațiu Hausdorff (ca $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ cu topologia euclidiană obișnuită) este cheia întregii teoreme. De fapt, într-un spațiu non-Hausdorff, în general, unicitatea limitei nu este validă. Uită-te la acest exemplu:

Este $X=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$ cu topologia euclidiană, în timp ce $Y=(\mathbb {R} ,\mathrm {T} )$ ${\ displaystyle Y = (\ mathbb {R}, \ mathrm {T})}$ ${\ displaystyle Y = (\ mathbb {R}, \ mathrm {T})}$ cu topologia semicontinuității inferioare , adică a cărei deschidere este jumătatea dreaptă; este $f:X\to Y,f(x)=x^{2}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y, f (x) = x ^ {2}}$ ${\ displaystyle f: X \ to Y, f (x) = x ^ {2}}$ . Atunci funcția admite limite infinite, în special:

\lim _{x\to 0}f(x)=a

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} f (x) = a}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} f (x) = a}

, pentru fiecare

a\leq 0

{\ displaystyle a \ leq 0}

{\ displaystyle a \ leq 0}

.

De fapt, am ales pe oricare $a\leq 0$ ${\ displaystyle a \ leq 0}$ ${\ displaystyle a \ leq 0}$ , cartierele sale sunt seturile de tip $[a-r,+\infty )$ ${\ displaystyle [ar, + \ infty)}$ ${\ displaystyle [a-r, + \ infty)}$ , cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ > 0, prin urmare conțin imaginea oricărui vecinătate din 0 dată conform topologiei euclidiene, adică a intervalelor $[-\varepsilon ,\varepsilon ]$ ${\ displaystyle [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$ ${\ displaystyle [- \ varepsilon, \ varepsilon]}$ , îngustarea corespunzătoare a razei $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Notă

^ Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.97
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p. U70

Bibliografie

Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 .
Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Carla Maderna și Paolo M. Soardi, Lecții de analiză matematică , CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4 . p.97

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p. U70

[1]

[2]