Limită (matematică)

În matematică , conceptul de limită servește pentru a descrie performanța unei funcții la abordarea argumentului său la o anumită valoare ( limita unei funcții ) sau tendința unei succesiuni de a crește indicele nelimitat ( limita unei secvențe ). Limitele sunt utilizate în toate ramurile analizei matematice ; ele sunt utilizate de exemplu pentru a defini continuitatea , derivarea și integrarea . Conceptul de limită a unei funcții, mai general decât limita unei secvențe, poate fi generalizat de la cel al limitei unui filtru .

fundal

Conceptul de limită era deja prezent intuitiv în antichitate, de exemplu în Arhimede (în metoda sa de epuizare ) și a fost folosit, deși nu strict, de la sfârșitul secolului al XVII-lea de Newton , Leibniz , Euler și D'Alembert .

Prima definiție destul de riguroasă a limitei datează din secolul al XIX-lea cu Cauchy , urmată de o mai bună formalizare de către Weierstrass .

O teorie completă a limitei se găsește cu Heine , care în 1872 a publicat o lucrare care a creat mult interes la vremea respectivă și în care a elaborat regulile și proprietățile limitei. Mulți alți cercetători s-au interesat de problema limitei, aprofundând subiectul cu studiul analizei infinitesimale, inclusiv Bolzano , Dedekind și Cantor .

Dar numai în 1922 Eliakim Hastings Moore și HL Smith au dat o noțiune generală ( topologică ) de limită ^[1] și este cea utilizată în prezent în matematică. În 1937 , Henri Cartan a furnizat o versiune echivalentă, bazată pe conceptul de filtru .

Limita unei secvențe

Același subiect în detaliu: Limita unei secvențe .

O succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ de numere reale este limitată de număr $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dacă ca $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ termenii secvenței „sunt în mod arbitrar apropiați” de valoare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . În mod formal, această noțiune este redată cerând asta pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ mic după bunul plac există un număr natural $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $|a_{n}-a|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | a_ {n} -a | <\ varepsilon}$ $| a_n - a | <\ varepsilon$ pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

O succesiune poate să nu aibă limită, de exemplu $a_{n}=(-1)^{n}$ ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ $a_n = (-1) ^ n$ , dat de:

1,-1,1,-1,1,-1,\ldots

{\ displaystyle 1, -1,1, -1,1, -1, \ ldots}

1, -1,1, -1,1, -1, \ ldots

nu are limită. Pe de altă parte, dacă există o limită $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , se spune că secvența converge în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ; în acest caz, limita este unică (o secvență nu poate converge la două valori distincte). De exemplu, succesiunea $a_{n}=1/n$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1 / n}$ $a_n = 1 / n$ , dat de:

1,1/2,1/3,1/4,\ldots

{\ displaystyle 1.1 / 2.1 / 3.1 / 4, \ ldots}

1,1 / 2, 1/3, 1/4, \ ldots

converge la zero.

Având în vedere un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o succesiune $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ cu $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ tinde la limită $a\in X$ ${\ displaystyle a \ in X}$ ${\ displaystyle a \ in X}$ dacă totuși luați o înconjurătoare $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , este un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $x_{n}\in B$ ${\ displaystyle x_ {n} \ în B}$ ${\ displaystyle x_ {n} \ în B}$ pentru toți $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ ${\ displaystyle n> N}$ , și scriem:

\lim _{n\to +\infty }x_{n}=a

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x_ {n} = a}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x_ {n} = a}

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ limita lui este un spațiu Hausdorff $x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ $x_ {n}$ cu $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ , dacă există, este unic.

Limita unei funcții

Același subiect în detaliu: Limita unei funcții .

Limita unei funcții generalizează limita unei succesiuni de puncte într-un spațiu topologic $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ; secvența este considerată o funcție $f:\mathbb {N} \to Y$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to Y}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {N} \ to Y}$ în spațiul topologic $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ lbrace + \ infty \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ cup \ lbrace + \ infty \ rbrace}$ cu topologie discretă . În această definiție, un cartier al $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ are forma $\lbrace n:n\geq n_{0}\rbrace \cup \lbrace +\infty \rbrace$ ${\ displaystyle \ lbrace n: n \ geq n_ {0} \ rbrace \ cup \ lbrace + \ infty \ rbrace}$ ${\ displaystyle \ lbrace n: n \ geq n_ {0} \ rbrace \ cup \ lbrace + \ infty \ rbrace}$ .

Ni se dă o funcție $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ rightarrow \ mathbb {R}}$ $f: X \ rightarrow \ R$ definit pe un subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a liniei reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și un punct de acumulare $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Un număr real $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limita de $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ pentru $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ tinde să $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dacă distanța dintre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este în mod arbitrar mic când $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ abordari $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Distanța dintre puncte se măsoară folosind valoarea absolută a diferenței: prin urmare $|x-x_{0}|$ ${\ displaystyle | x-x_ {0} |}$ $| x-x_0 |$ este distanța dintre $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $|f(x)-l|$ ${\ displaystyle | f (x) -l |}$ $| f (x) -l |$ este distanța dintre $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ și $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ . Conceptul de „arbitrar de mic” este exprimat formal cu cuantificatorii „pentru fiecare” ( cuantificator universal ) și „există” ( cuantificator existențial ).

Oficial, $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este limită dacă pentru orice număr real $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ mic după bunul plac, există un alt număr real pozitiv $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ astfel încât:

|f(x)-l|<\varepsilon

{\ displaystyle | f (x) -l | <\ varepsilon}

| f (x) -l | <\ varepsilon

pentru fiecare

X

{\ displaystyle x}

X

în

X

{\ displaystyle X}

X

cu

0<|x-x_{0}|<\delta

{\ displaystyle 0 <| x-x_ {0} | <\ delta}

0 <| x-x_0 | <\ delta

.

În acest caz, scriem:

\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to x_ {0}} f (x) = l}

\ lim_ {x \ to x_0} f (x) = l

Definiția limitei unei funcții este necesară pentru a formaliza conceptul de funcție continuă .

Limita unui ultrafiltru

Având în vedere un spațiu topologic $(X,T)$ ${\ displaystyle (X, T)}$ $(X, T)$ , un punct $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ este limita unui ultrafiltru $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ dacă fiecare în jur de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține lui $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ .

Limita unei funcții față de un filtru este definită luând în considerare o funcție $f:B\subset X\to Y$ ${\ displaystyle f: B \ subset X \ to Y}$ ${\ displaystyle f: B \ subset X \ to Y}$ între spațiile topologice și un filtru $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ pe $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Ideea $y\in Y$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ este limita de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ cu privire la $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este limita de $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ este limita de $f(U)$ ${\ displaystyle f (U)}$ $f (U)$ . În acest caz, scriem:

\lim _{U}f(x)=y

{\ displaystyle \ lim _ {U} f (x) = y}

{\ displaystyle \ lim _ {U} f (x) = y}

Setați limita

Același subiect în detaliu: Setați limita .

Conceptul de limită se extinde și la secvențele de mulțimi prin noțiunile de limită superioară și limită inferioară : dată o secvență de mulțimi $\{A_{n}\}_{n}$ ${\ displaystyle \ {A_ {n} \} _ {n}}$ $\ {Ann$ , setul limită este definit ca setul care conține intuitiv elementele care se află în cel mai mare număr de seturi ale secvenței. În mod formal, se spune că o succesiune de seturi are limită dacă se menține următoarea egalitate:

{\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)=:\lim _{n\to \infty }A_{n}

{\ displaystyle {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcup _ {m = n} ^ {\ infty}} A_ {m} \ right) = {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty}} \ left ({\ bigcap _ {m = n} ^ {\ infty}} A_ {m} \ right) =: \ lim _ {n \ to \ infty} A_ {n} }

{\ bigcap_ {n = 1} ^ \ infty} \ left ({\ bigcup_ {m = n} ^ \ infty} A_m \ right) = {\ bigcup_ {n = 1} ^ \ infty} \ left ({\ bigcap_ {m = n} ^ \ infty} A_m \ right) =: \ lim_ {n \ to \ infty} A_n

Notă

^ Vezi Moore, Smith A General Theory of Limits

Bibliografie

Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis One , Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2 , 1998.
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecții de analiză matematică două , Zanichelli Editore, Bologna, ISBN 978-88-08-52020-3 , 2020.
(EN) EH Moore, HL Smith, „O teorie generală a limitelor”. American Journal of Mathematics 44 (2), 102-121 (1922).
( EN ) Miller, N. Limite: Un tratament introductiv . Waltham, MA: Blaisdell, 1964.
( EN ) Gruntz, D. Despre limitele de calcul într-un sistem de manipulare simbolică . Teză de doctorat. Zürich: Institutul Federal Elvețian de Tehnologie, 1996.
( EN ) Hight, DW Un concept de limite . New York: Prentice-Hall, 1966.
(EN) Kaplan, W. „Limite și continuitate”. §2.4 în Calcul avansat, ediția a IV-a . Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82-86, 1992.

Elemente conexe

linkuri externe

Limite , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Limit , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) LD Kudryavtsev, Limit , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Limit , în MathWorld Wolfram Research.
Limite , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 19410 · NDL (RO, JA) 00567231

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Vezi Moore, Smith A General Theory of Limits

[1]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy