Derivat mixt

În analiza matematică , în special în calculul cu variabile variabile, derivata mixtă este rezultatul unor derivate parțiale ale unei funcții cu variabile reale .

Definiție

Este $f:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ o funcție variabilă reală a clasei $C^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ Omega)}$ , adică derivabil cu continuitate în funcție de fiecare variabilă. O derivată parțială mixtă de ordinul doi este rezultatul a două derivate parțiale realizate în funcție de două variabile diferite. În simboluri:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)\qquad i\neq j

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}} \ equiv {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ qquad i \ neq j}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}} \ equiv {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right) \ qquad i \ neq j}

sau $f_{x_{i}x_{j}}$ ${\ displaystyle f_ {x_ {i} x_ {j}}}$ ${\ displaystyle f_ {x_ {i} x_ {j}}}$ .

În mod similar, o derivată parțială mixtă de ordinul k este rezultatul k derivate parțiale succesive:

{\frac {\partial ^{k}f}{\partial {x_{i}}^{m}\partial {x_{j}}^{n}...\partial {x_{l}}^{p}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {k} f} {\ partial {x_ {i}} ^ {m} \ partial {x_ {j}} ^ {n} ... \ partial {x_ {l} } ^ {p}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {k} f} {\ partial {x_ {i}} ^ {m} \ partial {x_ {j}} ^ {n} ... \ partial {x_ {l} } ^ {p}}}}

cu $m+n+...+p=k$ ${\ displaystyle m + n + ... + p = k}$ ${\ displaystyle m + n + ... + p = k}$ . Poate fi utilizată și notația compactă multi-index .

Este posibil să se definească o derivată parțială mixtă diferită pentru fiecare dintre combinațiile cu repetări ale n variabile cu lungimea k, adică în număr de:

{\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}-n

{\ displaystyle {\ frac {(n + k-1)!} {k! (n-1)!}} - n}

{\ displaystyle {\ frac {(n + k-1)!} {k! (n-1)!}} - n}

unde n se scade deoarece este în general exclus din definiția că una dintre variabile se repetă pentru toate k derivări.

Notarea utilizată în această definiție se bazează pe teorema lui Schwarz , care sub ipoteza continuității derivatelor parțiale garantează că rezultatul nu depinde de ordinea în care sunt realizate derivatele parțiale. De exemplu, pentru funcție $f:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ avem:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x_{0},y_{0})

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0}, y_ {0})}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (x_ {0}, y_ {0})}

pentru fiecare $(x_{0},y_{0})$ ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ $(x_0, y_0)$ în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Bibliografie

Giuseppe Zwirner , Elemente de analiză matematică , a doua parte, Cedam Padova (1973), paginile 92-93
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone, Mathematical analysis two , Liguori, 1996, ISBN 8820726750 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy