Inegalitatea Cauchy-Schwarz

În matematică , inegalitatea Cauchy-Schwarz , cunoscută și sub numele de inegalitatea Schwarz sau inegalitatea Bunyakovskii , este o inegalitate care apare în algebra liniară și se aplică în multe alte domenii, cum ar fi analiza funcțională și probabilitatea .

Propusă inițial de Augustin-Louis Cauchy , formularea integrală a inegalității se datorează lui Viktor Bunyakovsky (1859) și poate fi găsită și în lucrările lui Hermann Amandus Schwarz începând cu 1884.

În spațiile L ^p , inegalitatea Cauchy-Schwarz este un caz special al inegalității Hölder .

Inegalitate

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu preilbertian , adică un spațiu vectorial real cu un produs scalar pozitiv definit sau un spațiu vectorial complex cu un produs hermitian . Inegalitatea afirmă că valoarea absolută a produsului scalar a două elemente este mai mică sau egală cu produsul normelor lor. Oficial:

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V,

{\ displaystyle | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | \ leq \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ cdot \ left \ | \ mathbf {y} \ right \ | \ qquad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ în V,}

{\ displaystyle | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | \ leq \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ cdot \ left \ | \ mathbf {y} \ right \ | \ qquad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ în V,}

cu egalitatea care există numai dacă $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ sunt multiple (adică se află pe aceeași linie).

În formă integrală :

\left|\int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\ dx\right|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\ dx\cdot \int _{a}^{b}|g(x)|^{2}\ dx,

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} \ dx \ right | ^ {2} \ leq \ int _ {a} ^ {b } | f (x) | ^ {2} \ dx \ cdot \ int _ {a} ^ {b} | g (x) | ^ {2} \ dx,}

{\ displaystyle \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ overline {g (x)}} \ dx \ right | ^ {2} \ leq \ int _ {a} ^ {b } | f (x) | ^ {2} \ dx \ cdot \ int _ {a} ^ {b} | g (x) | ^ {2} \ dx,}

cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ funcții care pot fi însumate în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , care formează spațiul Hilbert L ² . O generalizare a acestei inegalități este inegalitatea Hölder .

În spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ avem:

\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} \ right) ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} \ right) ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ^ {2} \ right).}

În dimensiunea 3, inegalitatea este o consecință a următoarei egalități:

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle =|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}+\left\|\mathbf {x} \times \mathbf {y} \right\|^{2}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle = | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} + \ left \ | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} \ right \ | ^ {2}}

\ langle \ mathbf x, \ mathbf x \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf y, \ mathbf y \ rangle = | \ langle \ mathbf x, \ mathbf y \ rangle | ^ 2 + \ left \ | \ mathbf x \ times \ mathbf y \ right \ | ^ 2

unde operația binară $\times \colon \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ times \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ times \ colon \ mathbb {R} ^ {3} \ times \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ indică produsul vector .

Proprietate

Prin urmare, inegalitatea este valabilă, de exemplu, în spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional și în spații Hilbert dimensional infinit.

În plan , inegalitatea rezultă din relația:

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |=\left\|\mathbf {x} \right\|\cdot \left\|\mathbf {y} \right\|\cdot |\cos \theta |,

{\ displaystyle | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | = \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ cdot \ left \ | \ mathbf {y} \ right \ | \ cdot | \ cos \ theta |,}

{\ displaystyle | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | = \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ cdot \ left \ | \ mathbf {y} \ right \ | \ cdot | \ cos \ theta |,}

unde este $\theta ={\widehat {\mathbf {x} \mathbf {y} }}$ ${\ displaystyle \ theta = {\ widehat {\ mathbf {x} \ mathbf {y}}}}$ $\ theta = \ widehat {\ mathbf x \ mathbf y}$ este unghiul dintre cei doi vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ . Extindem apoi această relație la orice spațiu vectorial cu produs scalar, folosindu-l pentru a defini unghiul dintre doi vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ dupa cum $\theta \in [0,\pi ]$ ${\ displaystyle \ theta \ in [0, \ pi]}$ $\ theta \ în [0, \ pi]$ care realizează egalitatea.

Printre consecințele importante ale inegalității se numără:

produsul scalar (sau hermitian) este o funcție continuă din $V\times V$ ${\ displaystyle V \ times V}$ $V \ times V$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ ;
norma verifică inegalitatea triunghiulară ;
inegalitatea Bessel .

Demonstrația 1

Lasa-i sa fie $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ vectori arbitrari într-un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ pe un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu un produs scalar (formând astfel un spațiu intern al produsului), și așa să fie $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ câmpul real sau complex. Dovedim inegalitatea

{\big |}\langle u,v\rangle {\big |}\leq \left\|u\right\|\left\|v\right\|,

{\ displaystyle {\ big |} \ langle u, v \ rangle {\ big |} \ leq \ left \ | u \ right \ | \ left \ | v \ right \ |,}

{\ displaystyle {\ big |} \ langle u, v \ rangle {\ big |} \ leq \ left \ | u \ right \ | \ left \ | v \ right \ |,}

iar identitatea deține dacă și numai dacă $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ sunt multiple între ele.

De sine $v=0$ ${\ displaystyle v = 0}$ $v = 0$ egalitatea este dovedită în mod trivial și acesta este și cazul în care $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ele sunt liniar dependente indiferent de $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Prin urmare, putem presupune $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ nu nul. Presupunem și noi $\langle u,v\rangle \neq 0$ ${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle \ neq 0}$ , altfel inegalitatea este evident verificată, pentru că niciuna dintre ele $\left\|u\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | u \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | u \ right \ |}$ nici $\left\|v\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ |}$ pot fi negative.

Este $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ vectorul ortogonal a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ (vezi ortogonalizarea Gram-Schmidt ) definită după cum urmează:

z=u-u_{v}=u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v.

{\ displaystyle z = u-u_ {v} = u - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v.}

{\ displaystyle z = u-u_ {v} = u - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v.}

Pentru liniaritatea produsului scalar în raport cu primul operand, avem

\langle z,v\rangle =\left\langle u-{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v,v\right\rangle =\langle u,v\rangle -{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\langle v,v\rangle =0,

{\ displaystyle \ langle z, v \ rangle = \ left \ langle u - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v, v \ right \ rangle = \ langle u , v \ rangle - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} \ langle v, v \ rangle = 0,}

{\ displaystyle \ langle z, v \ rangle = \ left \ langle u - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v, v \ right \ rangle = \ langle u , v \ rangle - {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} \ langle v, v \ rangle = 0,}

pentru care $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este prin definiție ortogonală atât a $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ decât multiplului său $u_{v}$ ${\ displaystyle u_ {v}}$ ${\ displaystyle u_ {v}}$ pentru liniaritatea produsului punct. Putem apoi aplica teorema lui Pitagora la

u={\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}v+z,

{\ displaystyle u = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v + z,}

{\ displaystyle u = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} v + z,}

obținându-se astfel

\left\|u\right\|^{2}=\left|{\frac {\langle u,v\rangle }{\langle v,v\rangle }}\right|^{2}\left\|v\right\|^{2}+\left\|z\right\|^{2}={\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}}+\left\|z\right\|^{2}\geq {\frac {|\langle u,v\rangle |^{2}}{\left\|v\right\|^{2}}},

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | ^ {2} = \ left | {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} \ right | ^ {2} \ left \ | v \ right \ | ^ {2} + \ left \ | z \ right \ | ^ {2} = {\ frac {| \ langle u, v \ rangle | ^ {2}} {\ left \ | v \ right \ | ^ {2}}} + \ left \ | z \ right \ | ^ {2} \ geq {\ frac {| \ langle u, v \ rangle | ^ {2}} {\ left \ | v \ right \ | ^ {2}}},}

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | ^ {2} = \ left | {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ langle v, v \ rangle}} \ right | ^ {2} \ left \ | v \ right \ | ^ {2} + \ left \ | z \ right \ | ^ {2} = {\ frac {| \ langle u, v \ rangle | ^ {2}} {\ left \ | v \ right \ | ^ {2}}} + \ left \ | z \ right \ | ^ {2} \ geq {\ frac {| \ langle u, v \ rangle | ^ {2}} {\ left \ | v \ right \ | ^ {2}}},}

prin urmare, înmulțind ambele părți cu $\left\|v\right\|^{2}$ ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ left \ | v \ right \ | ^ {2}}$ ,

\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}\geq \ |\langle u,v\rangle |^{2},

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | ^ {2} \ left \ | v \ right \ | ^ {2} \ geq \ | \ langle u, v \ rangle | ^ {2},}

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | ^ {2} \ left \ | v \ right \ | ^ {2} \ geq \ | \ langle u, v \ rangle | ^ {2},}

și întrucât norma și valoarea absolută sunt non-negative (pătratele mărimilor non-negative sunt ordonate ca baze), luând rădăcina pătrată a ambelor părți dă

|\langle u,v\rangle |\leq \ \left\|u\right\|\left\|v\right\|

{\ displaystyle | \ langle u, v \ rangle | \ leq \ \ left \ | u \ right \ | \ left \ | v \ right \ |}

{\ displaystyle | \ langle u, v \ rangle | \ leq \ \ left \ | u \ right \ | \ left \ | v \ right \ |}

QED .

Demonstrația 2

Inegalitatea este trivial adevărată pentru $\mathbf {y} \mathbf {=} \mathbf {0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} \ mathbf {=} \ mathbf {0}}$ $\ mathbf y \ mathbf = \ mathbf 0$ , deci se presupune $\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle}$ $\ langle \ mathbf y, \ mathbf y \ rangle$ non-zero. Este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ un număr complex. Avem:

0\leq \left\|\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \right\|^{2}=\langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle

{\ displaystyle 0 \ leq \ left \ | \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y} \ right \ | ^ {2} = \ langle \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y}, \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y} \ rangle}

{\ displaystyle 0 \ leq \ left \ | \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y} \ right \ | ^ {2} = \ langle \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y}, \ mathbf {x} - \ lambda \ mathbf {y} \ rangle}

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\lambda }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +|\lambda |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle .

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - \ lambda \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle - {\ overline {\ lambda}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle + | \ lambda | ^ {2} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle.}

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - \ lambda \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle - {\ overline {\ lambda}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle + | \ lambda | ^ {2} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle.}

Prin alegere

\lambda =\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}

{\ displaystyle \ lambda = \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ lambda = \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}

, și amintindu-mi asta

|\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}\lambda ,

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {2} = {\ overline {\ lambda}} \ lambda,}

{\ displaystyle | \ lambda | ^ {2} = {\ overline {\ lambda}} \ lambda,}

primesti:

0\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle

{\ displaystyle 0 \ leq \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle - {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle + {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle}

{\ displaystyle 0 \ leq \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle - {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle + {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle}

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+{\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}(\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle )

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - {\ overline {\ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle}} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} - {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} + {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} (\ langle \ mathbf { y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle)}

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - {\ overline {\ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle}} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} - {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} + {\ overline {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle}} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {x} \ rangle {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} (\ langle \ mathbf { y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle)}

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}-|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}+|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}{\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}}

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} - | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} + | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}}

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}} - | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} \ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1} + | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} {\ langle \ mathbf {y}, \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}}

=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle ^{-1}

{\ displaystyle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle - | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} \ cdot \ langle \ mathbf {y} , \ mathbf {y} \ rangle ^ {- 1}}

= \ langle \ mathbf x, \ mathbf x \ rangle - | \ langle \ mathbf x, \ mathbf y \ rangle | ^ 2 \ cdot \ langle \ mathbf y, \ mathbf y \ rangle ^ {- 1}

care este valabil dacă și numai dacă

|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle

{\ displaystyle | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle | ^ {2} \ leq \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf {y} , \ mathbf {y} \ rangle}

| \ langle \ mathbf x, \ mathbf y \ rangle | ^ 2 \ leq \ langle \ mathbf x, \ mathbf x \ rangle \ cdot \ langle \ mathbf y, \ mathbf y \ rangle

sau echivalent

{\big |}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle {\big |}\leq \left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|.

{\ displaystyle {\ big |} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle {\ big |} \ leq \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ left \ | \ mathbf { y} \ dreapta \ |.}

{\ displaystyle {\ big |} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle {\ big |} \ leq \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | \ left \ | \ mathbf { y} \ dreapta \ |.}

Dovadă algebrică

Luați în considerare un polinom de gradul doi în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de tipul:

p(x)=(a_{1}+b_{1}x)^{2}+\ldots +(a_{n}+b_{n}x)^{2},

{\ displaystyle p (x) = (a_ {1} + b_ {1} x) ^ {2} + \ ldots + (a_ {n} + b_ {n} x) ^ {2},}

{\ displaystyle p (x) = (a_ {1} + b_ {1} x) ^ {2} + \ ldots + (a_ {n} + b_ {n} x) ^ {2},}

care nu are rădăcini reale decât în cazul în care $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ și $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ toate sunt egale între ele sau dacă li se dă o pereche $a_{i}{\mbox{ e }}b_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i} {\ mbox {e}} b_ {i}}$ $a_i \ mbox {e} b_i$ există o legătură de proporționalitate cu toate cuplurile $a_{j}{\mbox{ e }}b_{j}$ ${\ displaystyle a_ {j} {\ mbox {e}} b_ {j}}$ $a_j \ mbox {e} b_j$ (adică pentru fiecare $j\in \{1,2,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle j \ in \ {1,2, \ ldots, n \}}$ există $k_{j}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle k_ {j} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle k_ {j} \ in \ mathbb {R}}$ astfel încât $a_{j}=k_{j}a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {j} = k_ {j} a_ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {j} = k_ {j} a_ {i}}$ Și $b_{j}=k_{j}b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {j} = k_ {j} b_ {i}}$ ${\ displaystyle b_ {j} = k_ {j} b_ {i}}$ ). În acest caz, rădăcina este:

x=-{\frac {a_{i}}{b_{i}}}=-{\frac {a_{j}}{b_{j}}}=-{\frac {ma_{i}}{mb_{i}}}.

{\ displaystyle x = - {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = - {\ frac {a_ {j}} {b_ {j}}} = - {\ frac {ma_ {i} } {mb_ {i}}}.}

{\ displaystyle x = - {\ frac {a_ {i}} {b_ {i}}} = - {\ frac {a_ {j}} {b_ {j}}} = - {\ frac {ma_ {i} } {mb_ {i}}}.}

Prin dezvoltarea pătratelor obținem:

p(x)=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+\ldots +a_{n}^{2}+b_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x=\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)x^{2}+2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)x+\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right).

{\ displaystyle p (x) = a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {1} b_ {1} x + \ ldots + a_ {n} ^ { 2} + b_ {n} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {n} b_ {n} x = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) x ^ {2} +2 \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) x + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right).}

{\ displaystyle p (x) = a_ {1} ^ {2} + b_ {1} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {1} b_ {1} x + \ ldots + a_ {n} ^ { 2} + b_ {n} ^ {2} x ^ {2} + 2a_ {n} b_ {n} x = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) x ^ {2} +2 \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) x + \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right).}

Deoarece polinomul are una sau nici o rădăcină, discriminantul trebuie să fie mai mic sau egal cu 0. Prin urmare:

\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}-\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\leq 0,

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) ^ {2} - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ leq 0,}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) ^ {2} - \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right) \ leq 0,}

din care obținem:

\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right),

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right),}

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} \ right) ^ {2} \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} ^ {2} \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2} \ right),}

care este inegalitatea Cauchy-Schwarz.

Bibliografie

Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VI Bityutskov, inegalitatea Bunyakovskii , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy