Normă (matematică)

În algebra liniară , analiza funcțională și ariile conexe ale matematicii , o normă este o funcție care atribuie o lungime pozitivă fiecărui vector al unui spațiu vectorial , cu excepția zero.

Definiție

O normă pentru un spațiu vectorial real sau complex $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o funcție :

{\begin{matrix}\|\cdot \|:&X&\longrightarrow &[0,+\infty )\\&x&\mapsto &\|x\|\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ | \ cdot \ |: & X & \ longrightarrow & [0, + \ infty) \\ & x & \ mapsto & \ | x \ | \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} \ | \ cdot \ |: & X & \ longrightarrow & [0, + \ infty) \\ & x & \ mapsto & \ | x \ | \ end {matrix}}

care verifică următoarele condiții:

$\|x\|\geq 0\quad \forall x\in X$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0 \ quad \ forall x \ în X}$ $\ | x \ | \ geq 0 \ quad \ forall x \ în X$
$\|x\|=0$ ${\ displaystyle \ | x \ | = 0}$ $\ | x \ | = 0$ dacă și numai dacă $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$
$\|\lambda x\|=|\lambda |\|x\|$ ${\ displaystyle \ | \ lambda x \ | = | \ lambda | \ | x \ | |$ $\ | \ lambda x \ | = | \ lambda | \ | x \ |$ pentru fiecare urcare $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ ( omogenitate )
$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ ${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}$ $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |$ pentru fiecare $x,y\in X$ ${\ displaystyle x, y \ în X}$ $x, y \ în X$ ( inegalitate triunghiulară )

Cuplul $(X,\left\|\cdot \right\|)$ ${\ displaystyle (X, \ left \ | \ cdot \ right \ |)}$ $(X, \ left \ | \ cdot \ right \ |)$ constituie un spațiu reglementat .

O funcție care verifică toate condițiile, dar nu a doua, se numește seminormă : seminorma atribuie, de asemenea, lungimea zero unui vector diferit de zero. Una dintre cele două implicații ale celei de-a doua condiții (în mod specific $\|0\|=0$ ${\ displaystyle \ | 0 \ | = 0}$ $\ | 0 \ | = 0$ ) este totuși automat din a treia condiție și din proprietățile unui spațiu vectorial. Orice spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu un seminorm $p(v)$ ${\ displaystyle p (v)}$ $p (v)$ induce un spațiu normat $V/W$ ${\ displaystyle V / W}$ $V / W$ , numit spațiu vector quocient , în care subspaiul $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este ansamblul tuturor vectorilor $w\in V$ ${\ displaystyle w \ în V}$ ${\ displaystyle w \ în V}$ astfel încât $p(w)=0$ ${\ displaystyle p (w) = 0}$ ${\ displaystyle p (w) = 0}$ . Norma indusă pe $V/W$ ${\ displaystyle V / W}$ $V / W$ este bine definit și este dat de $p(W+v)=p(v)$ ${\ displaystyle p (W + v) = p (v)}$ $p (W + v) = p (v)$ .

Exemple

Diferite norme din plan pot fi vizualizate prin desenarea sferei unitare .

Spații cu dimensiuni finite

Sunt norme ale $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și de $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ funcții:

\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}},

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {p}: = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}},}

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {p}: = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}},}

cu $p\in [1,+\infty )$ ${\ displaystyle p \ in [1, + \ infty)}$ $p \ in [1, + \ infty)$ . In marime $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ toate aceste norme coincid cu valoarea absolută . Pentru $p\in (0,1)$ ${\ displaystyle p \ in (0,1)}$ ${\ displaystyle p \ in (0,1)}$ inegalitatea triunghiulară nu este respectată, prin urmare nu poate fi o normă.

Norma 1 este în mod trivial suma valorilor absolute ale componentelor, de obicei indicate în funcție de contracția tensorului cu: $|x|:=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$ ${\ displaystyle | x |: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} |}$ $| x |: = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} |$ , indicând în mod explicit modul în care aceasta generalizează valoarea absolută la cazul vector .

Cel mai cunoscut exemplu este în schimb norma 2 (atât de mult încât 2 este de obicei omisă), numită și norma euclidiană , care în spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ devine:

\left\|\mathbf {x} \right\|:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}.

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ |: = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}.}

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ |: = {\ sqrt {\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}}.}

Standardul $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ este (folosind noțiunea de limită a unei funcții ) maximul valorilor componentelor în valoare absolută:

\left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max _{i}|x_{i}|.

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {\ infty}: = \ max _ {i} | x_ {i} |.}

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {x} \ right \ | _ {\ infty}: = \ max _ {i} | x_ {i} |.}

Spații de dimensiune infinită

Pentru orice subset compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ ia în considerare spațiul vectorial $C(K,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C (K, \ mathbb {R})}$ $C (K, \ mathbb {R})$ a funcțiilor continue cu valoare reală. Apoi definim L ^p (1 <p <∞) semi-formal :

\psi \mapsto \left\|\psi \right\|_{L^{p}}:=\left(\int _{\mathbb {R} }\left|\psi (x)\right|^{p}dx\right)^{1/p}

{\ displaystyle \ psi \ mapsto \ left \ | \ psi \ right \ | _ {L ^ {p}}: = \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} \ left | \ psi (x) \ right | ^ {p} dx \ right) ^ {1 / p}}

\ psi \ mapsto \ left \ | \ psi \ right \ | _ {{L ^ {p}}}: = \ left (\ int _ {{\ mathbb {R}}} \ left | \ psi (x) \ dreapta | ^ {p} dx \ dreapta) ^ {{1 / p}}

Fix $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ set arbitrar, aceeași funcție definește o normă pe spațiul vectorial al funcțiilor mărginite la valori în ${\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle {\ mathbb {R}}}$ ${{\ mathbb R}}$ .

Norma uniformă , în analogie cu cazul spațiilor cu dimensiuni finite, este:

f\mapsto \left\|f\right\|_{\infty }:=\sup _{x\in K}|f(x)|

{\ displaystyle f \ mapsto \ left \ | f \ right \ | _ {\ infty}: = \ sup _ {x \ în K} | f (x) |}

f \ mapsto \ left \ | f \ right \ | _ {\ infty}: = \ sup _ {{x \ in K}} | f (x) |

În spațiul vectorial al funcțiilor sumabile pătrate $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ seminorma euclidiană este definită:

\psi \mapsto \left\|\psi \right\|_{L^{2}}:=\left(\int _{\mathbb {R} }\left|\psi (x)\right|^{2}dx\right)^{1/2}

{\ displaystyle \ psi \ mapsto \ left \ | \ psi \ right \ | _ {L ^ {2}}: = \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} \ left | \ psi (x) \ right | ^ {2} dx \ right) ^ {1/2}}

\ psi \ mapsto \ left \ | \ psi \ right \ | _ {{L ^ {2}}}: = \ left (\ int _ {{\ mathbb {R}}} \ left | \ psi (x) \ dreapta | ^ {2} dx \ dreapta) ^ {{1/2}}

Produs scalar, distanță

În general, fiecare produs punct pozitiv definit induce o normă:

\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}

{\ displaystyle \ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}

\ | x \ |: = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}

.

Dacă o distanță definită într-un spațiu vectorial îndeplinește proprietățile:

d(x,y)=d(x+a,y+a)

{\ displaystyle d (x, y) = d (x + a, y + a)}

d (x, y) = d (x + a, y + a)

(invarianță pentru traduceri )

d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)

{\ displaystyle d (\ alpha x, \ alpha y) = | \ alpha | d (x, y)}

d (\ alfa x, \ alfa y) = | \ alfa | d (x, y)

(omogenitate)

apoi funcția:

\|x\|:=d(x,0)

{\ displaystyle \ | x \ |: = d (x, 0)}

\ | x \ |: = d (x, 0)

este o normă.

Proprietate

Fiecare (semi) normă este o funcție subliniară (dar viceversa nu este adevărată), din care rezultă că fiecare normă este o funcție convexă .
Non-negativitatea ar putea fi, de asemenea, derivată ca o consecință a proprietăților sale: de fapt, proprietatea omogenității implică faptul că:

\|{\vec {0}}\|=\|0\cdot {\vec {0}}\|=0\|{\vec {0}}\|=0

{\ displaystyle \ | {\ vec {0}} \ | = \ | 0 \ cdot {\ vec {0}} \ | = 0 \ | {\ vec {0}} \ | = 0}

\ | {\ vec 0} \ | = \ | 0 \ cdot {\ vec 0} \ | = 0 \ | {\ vec 0} \ | = 0

și, prin urmare, cu inegalitatea triunghiulară obținem:

0=\|{\vec {0}}\|=\|x-x\|\leq \|x\|+\|-x\|=\|x\|+\|x\|=2\|x\|

{\ displaystyle 0 = \ | {\ vec {0}} \ | = \ | xx \ | \ leq \ | x \ | + \ | -x \ | = \ | x \ | + \ | x \ | = 2 \ | x \ |}

0 = \ | {\ vec 0} \ | = \ | x-x \ | \ leq \ | x \ | + \ | -x \ | = \ | x \ | + \ | x \ | = 2 \ | x \ |

pentru fiecare

x\in X

{\ displaystyle x \ în X}

x \ în X

.

Inegalitate triunghiulară inversă:

Pentru fiecare

x,y\in X

{\ displaystyle x, y \ în X}

x, y \ în X

:

|\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|

{\ displaystyle | \ | x \ | - \ | y \ || \ leq \ | xy \ |}

| \ | x \ | - \ | y \ || \ leq \ | x-y \ |

Intr-adevar:

\|x\|=\|x-y+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|

{\ displaystyle \ | x \ | = \ | x-y + y \ | \ leq \ | xy \ | + \ | y \ |}

\ | x \ | = \ | x-y + y \ | \ leq \ | x-y \ | + \ | y \ |

de la care:

\|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|

{\ displaystyle \ | x \ | - \ | y \ | \ leq \ | xy \ |}

\ | x \ | - \ | y \ | \ leq \ | x-y \ |

și în mod similar:

\|y\|-\|x\|\leq \|y-x\|=\|x-y\|

{\ displaystyle \ | y \ | - \ | x \ | \ leq \ | yx \ | = \ | xy \ |}

\ | y \ | - \ | x \ | \ leq \ | y-x \ | = \ | x-y \ |

Structura topologică

Norma induce o metrică prin:

d(x,y):=\|x-y\|

{\ displaystyle d (x, y): = \ | xy \ |}

d (x, y): = \ | x-y \ |

(

x,y\in X

{\ displaystyle x, y \ în X}

x, y \ în X

)

și, prin urmare, o topologie , definind ca un cartier al $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ orice set care conține o minge :

B_{r}(x):=\{y\in X:\|x-y\|<r\}

{\ displaystyle B_ {r} (x): = \ {y \ în X: \ | xy \ | <r \}}

B_ {r} (x): = \ {y \ în X: \ | x-y \ | <r \}

Pentru o

r>0

{\ displaystyle r> 0}

r> 0

Inegalitatea triunghiulară inversă implică faptul că funcția normei este continuă în raport cu topologia pe care ea însăși o induce.

Standarde echivalente

Două standarde $\|\cdot \|_{1}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {1}}$ $\ | \ cdot \ | _ {1}$ Și $\|\cdot \|_{2}$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {2}}$ $\ | \ cdot \ | _ {2}$ definit pe același spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt echivalente dacă există două constante $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ strict pozitiv astfel încât:

c\|x\|_{1}\leq \|x\|_{2}\leq C\|x\|_{1}

{\ displaystyle c \ | x \ | _ {1} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq C \ | x \ | _ {1}}

c \ | x \ | _ {1} \ leq \ | x \ | _ {2} \ leq C \ | x \ | _ {1}

pentru fiecare element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . Două norme echivalente definesc aceeași structură topologică.

De exemplu, înmulțind o normă cu o constantă pozitivă fixă, obținem o normă echivalentă cu cea anterioară.

Dimensiune finisată

Toate normele definibile pe un spațiu vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de mărime finită $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt echivalente. În special, regulile sunt $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ descris mai sus.

Toate regulile definibile pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ de aceea induceți aceeași topologie, echivalentă cu topologia standard euclidiană a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Dimensiune infinită

Într-o dimensiune infinită există multe exemple de norme non-echivalente. Luați spații ca exemple $C(\mathbb {K} ),L^{p}(\mathbb {K} )$ ${\ displaystyle C (\ mathbb {K}), L ^ {p} (\ mathbb {K})}$ $C ({\ mathbb K}), L ^ {p} ({\ mathbb K})$ definite anterior. Atunci nici o pereche de norme nu este echivalentă cu alta.

Bibliografie

( EN ) Nicolas Bourbaki , capitolele 1-5 , în spații vectoriale topologice , Springer , 1987, ISBN 3-540-13627-4 .
( EN ) Eduard Prugovečki, Mecanica cuantică în spațiul Hilbert , 2, Academic Press, 1981, p. 20, ISBN 0-12-566060-X .
( EN ) François Trèves, Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Academic Press, Inc., 1995, pp. 136-149195-201,240-252,335-390,420-433, ISBN 0-486-45352-9 .
( EN ) SM Khaleelulla, Contraexemple în spații vectoriale topologice , Note de curs în matematică, vol. 936, Springer-Verlag , 1982, pp. 3-5, ISBN 978-3-540-11565-6 , Zbl 0482.46002 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere standard

linkuri externe

( EN ) EA Gorin, Norm , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Norm , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema