Norma operativă

În matematică , norma operatorului unui operator liniar este norma definită pe spațiul operatorilor liniari delimitați între spațiile vectoriale normate .

Definiție

Având în vedere două spații normate $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ pe același teren $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {C}$ , o transformare liniară $A:V\to W$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$ este continuu dacă și numai dacă există un număr real $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât:

\|Av\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\quad \forall v\in V

{\ displaystyle \ | Av \ | _ {W} \ leq c \ | v \ | _ {V} \ quad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle \ | Av \ | _ {W} \ leq c \ | v \ | _ {V} \ quad \ forall v \ in V}

Intuitiv, operatorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu „întinde” niciodată vectorii asupra cărora acționează cu un factor mai mare decât $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . În acest fel, imaginea unui set limitat este limitată. Din acest fapt rezultă că operatorii liniari continui sunt numiți și operatori mărginite .

Norma de funcționare este definită luând în considerare cea mai mică $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât egalitatea anterioară este valabilă pentru fiecare $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ :

\|A\|_{op}=\min\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ per ogni }}v\in V\}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ min \ {c \ geq 0: \ | Av \ | \ leq c \ | v \ | {\ mbox {pentru fiecare}} v \ în V \}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ min \ {c \ geq 0: \ | Av \ | \ leq c \ | v \ | {\ mbox {pentru fiecare}} v \ în V \}}

unde minimul există întotdeauna datorită faptului că acest set este închis, limitat și nu gol.

Se poate arăta că următoarele definiții sunt echivalente cu cele date:

{\begin{aligned}\|A\|_{op}&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|\leq 1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|<1\}\\&=\sup\{\|Av\|:v\in V{\mbox{ con }}\|v\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V{\mbox{ con }}v\neq 0\right\}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ | A \ | _ {op} & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | \ leq 1 \ } \\ & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | <1 \} \\ & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | = 1 \} \\ & = \ sup \ left \ {{\ frac {\ | Av \ |} {\ | v \ |}}: v \ în V {\ mbox {con}} v \ neq 0 \ right \} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ | A \ | _ {op} & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | \ leq 1 \ } \\ & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | <1 \} \\ & = \ sup \ {\ | Av \ |: v \ in V {\ mbox {con}} \ | v \ | = 1 \} \\ & = \ sup \ left \ {{\ frac {\ | Av \ |} {\ | v \ |}}: v \ în V {\ mbox {con}} v \ neq 0 \ right \} \ end {align}}}

Proprietate

Norma operatorului este o normă definită pe spațiul operatorilor delimitați de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , ce înseamnă:

$\|A\|_{op}\geq 0$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} \ geq 0}$ Și $\|A\|_{op}=0$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = 0}$ ${\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = 0}$ dacă și numai dacă $A=0$ ${\ displaystyle A = 0}$ ${\ displaystyle A = 0}$ .
Se întâmplă:

\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a

{\ displaystyle \ | aA \ | _ {op} = | a | \ | A \ | _ {op} \ quad \ forall a}

{\ displaystyle \ | aA \ | _ {op} = | a | \ | A \ | _ {op} \ quad \ forall a}

unde este

la

{\ displaystyle a}

la

este o urcare.

Se aplică inegalități:

\|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}\qquad \|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V

{\ displaystyle \ | A + B \ | _ {op} \ leq \ | A \ | _ {op} + \ | B \ | _ {op} \ qquad \ | Av \ | \ leq \ | A \ | _ {op} \ | v \ | \ quad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle \ | A + B \ | _ {op} \ leq \ | A \ | _ {op} + \ | B \ | _ {op} \ qquad \ | Av \ | \ leq \ | A \ | _ {op} \ | v \ | \ quad \ forall v \ in V}

De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt spații reglementate pe același câmp e $A:V\to W$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$ ${\ displaystyle A: V \ to W}$ , $B:W\to X$ ${\ displaystyle B: W \ to X}$ ${\ displaystyle B: W \ to X}$ sunt operatori delimitați, atunci:

\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}

{\ displaystyle \ | BA \ | _ {op} \ leq \ | B \ | _ {op} \ | A \ | _ {op}}

{\ displaystyle \ | BA \ | _ {op} \ leq \ | B \ | _ {op} \ | A \ | _ {op}}

Pentru operatorii limitați de pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ aceasta implică faptul că multiplicarea între operatori este continuă.

Rezultă, de asemenea, din definiție că, dacă o succesiune de operatori converge în norma operatorului, atunci ea converge uniform pe seturi delimitate.

Operatori în spațiile Hilbert

Este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un spațiu Hilbert real e $A:H\to H$ ${\ displaystyle A: H \ to H}$ ${\ displaystyle A: H \ to H}$ un operator liniar mărginit. Atunci noi avem:

\|A\|_{op}=\|A^{*}\|_{op}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ | A ^ {*} \ | _ {op}}

{\ displaystyle \ | A \ | _ {op} = \ | A ^ {*} \ | _ {op}}

și apoi:

\|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}

{\ displaystyle \ | A ^ {*} A \ | _ {op} = \ | A \ | _ {op} ^ {2}}

{\ displaystyle \ | A ^ {*} A \ | _ {op} = \ | A \ | _ {op} ^ {2}}

unde este $A^{*}$ ${\ displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ este operatorul adjunct al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (care într-un spațiu euclidian cu produsul scalar standard este reprezentat de matricea de transpunere conjugată a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ).

În general, raza spectrală $\rho (A)$ ${\ displaystyle \ rho (A)}$ $\ rho (A)$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este limitat de norma operatorului de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\rho (A)\leq \|A\|_{op}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A \ | _ {op}}

{\ displaystyle \ rho (A) \ leq \ | A \ | _ {op}}

Când o matrice $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este normal ca forma sa canonică Jordan să fie diagonală , în conformitate cu teorema spectrală . În acest caz, este ușor de văzut că:

\rho (N)=\|N\|_{op}

{\ displaystyle \ rho (N) = \ | N \ | _ {op}}

{\ displaystyle \ rho (N) = \ | N \ | _ {op}}

Teorema spectrală poate fi extinsă la operatori normali în general, iar egalitatea anterioară este valabilă pentru orice operator normal mărginit $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Spațiul limitat al operatorului este activat $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu topologia indusă de norma de funcționare nu este separabilă . Setul operatorilor mărginite pe un spațiu Hilbert, împreună cu norma operatorului și operația de adunare, dă o C * -algebră .

Bibliografie

John B. Conway, Un curs de analiză funcțională , New York, Springer-Verlag, 1990, p. 67, ISBN 0-387-97245-5 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică