Matricea de transformare

În matematică și mai precis în algebră liniară , matricea de transformare , numită și matrice asociată cu o transformare sau matrice reprezentativă a operatorului în raport cu bazele sale , este matricea care reprezintă o transformare liniară între spațiile vectoriale față de o bază pentru fiecare dintre spații.

După ce a stabilit o bază pentru domeniu și una pentru interval, fiecare transformare liniară poate fi descrisă prin intermediul unei matrice $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în felul următor:

\mathbf {y} =M\mathbf {x} \,\!

{\ displaystyle \ mathbf {y} = M \ mathbf {x} \, \!}

{\ displaystyle \ mathbf {y} = M \ mathbf {x} \, \!}

unde este $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este vectorul coloană al coordonatelor unui punct al domeniului în raport cu baza domeniului e $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ este vectorul coloană al coordonatelor imaginii, în timp ce produsul $M\mathbf {x}$ ${\ displaystyle M \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle M \ mathbf {x}}$ este produsul rând cu coloană .

Definiție

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ două spații vectoriale pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de mărime finită, e $T:V\to W$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ ${\ displaystyle T: V \ to W}$ o aplicație liniară . Sunt:

B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})\quad C=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m})

{\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}) \ quad C = (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf { w} _ {m})}

{\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}) \ quad C = (\ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf { w} _ {m})}

două baze respectiv pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ Și $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ .

Matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ asociat cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ în baze $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este matricea $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ având în $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a coloana coordonatele vectorului $T(\mathbf {v} _{i})$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})}$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})}$ decât baza $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ : ^[1]

M={\Bigg (}M^{1}{\Bigg |}\cdots {\Bigg |}M^{n}{\Bigg )}

{\ displaystyle M = {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n} {\ Bigg)}}

{\ displaystyle M = {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n} {\ Bigg)}}

unde coloana $M^{i}$ ${\ displaystyle M ^ {i}}$ ${\ displaystyle M ^ {i}}$ este imaginea $T(\mathbf {v} _{i})$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})}$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {i})}$ de $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -al vectorul bazei de pornire $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ scris prin coordonatele cu privire la baza sosirii $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . ^[2]

Elementele $m_{i,j}$ ${\ displaystyle m_ {i, j}}$ ${\ displaystyle m_ {i, j}}$ din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ sunt, prin urmare, astfel încât:

T(\mathbf {v} _{1})=m_{1,1}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,1}\mathbf {w} _{m}

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {1}) = m_ {1,1} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 1} \ mathbf {w} _ {m} }

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {1}) = m_ {1,1} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 1} \ mathbf {w} _ {m} }

T(\mathbf {v} _{2})=m_{1,2}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,2}\mathbf {w} _{m}

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {2}) = m_ {1,2} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 2} \ mathbf {w} _ {m} }

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {2}) = m_ {1,2} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, 2} \ mathbf {w} _ {m} }

\dots

{\ displaystyle \ dots}

{\ displaystyle \ dots}

T(\mathbf {v} _{n})=m_{1,n}\mathbf {w} _{1}+\dots +m_{m,n}\mathbf {w} _{m}

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {n}) = m_ {1, n} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, n} \ mathbf {w} _ {m} }

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {n}) = m_ {1, n} \ mathbf {w} _ {1} + \ dots + m_ {m, n} \ mathbf {w} _ {m} }

și avem:

{\Bigg (}T(\mathbf {v} _{1}){\Bigg |}\cdots {\Bigg |}T(\mathbf {v} _{n}){\Bigg )}=(\mathbf {w} _{1}|\cdots |\mathbf {w} _{m}){\Bigg (}M^{1}{\Bigg |}\cdots {\Bigg |}M^{n}{\Bigg )}

{\ displaystyle {\ Bigg (} T (\ mathbf {v} _ {1}) {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} T (\ mathbf {v} _ {n}) {\ Bigg)} = (\ mathbf {w} _ {1} | \ cdots | \ mathbf {w} _ {m}) {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n } {\ Bigg)}}

{\ displaystyle {\ Bigg (} T (\ mathbf {v} _ {1}) {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} T (\ mathbf {v} _ {n}) {\ Bigg)} = (\ mathbf {w} _ {1} | \ cdots | \ mathbf {w} _ {m}) {\ Bigg (} M ^ {1} {\ Bigg |} \ cdots {\ Bigg |} M ^ {n } {\ Bigg)}}

Într-un mod echivalent putem scrie:

[T(\mathbf {v} )]_{C}=M[\mathbf {v} ]_{B}

{\ displaystyle [T (\ mathbf {v})] _ {C} = M [\ mathbf {v}] _ {B}}

{\ displaystyle [T (\ mathbf {v})] _ {C} = M [\ mathbf {v}] _ {B}}

Unde parantezele pătrate indică coordonatele față de baza relativă.

Corespondența unu la unu definită între hărți liniare și matrice este un izomorfism între spațiul vectorial al hărților liniare din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ în $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ și spațiul matricilor $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ : ^[3]

\operatorname {Hom} (V,W)\to M(m,n)

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) \ to M (m, n)}

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) \ to M (m, n)}

Acest izomorfism depinde de bazele alese pentru ambele spații.

Compoziția aplicațiilor liniare

În reprezentarea aplicațiilor prin matrice, compoziția funcțiilor are ca rezultat produsul obișnuit între matrice . Să luăm în considerare aplicațiile liniare:

T:V\to W\quad U:W\to Z

{\ displaystyle T: V \ to W \ quad U: W \ to Z}

{\ displaystyle T: V \ to W \ quad U: W \ to Z}

Lasa-i sa fie $M_{U}$ ${\ displaystyle M_ {U}}$ ${\ displaystyle M_ {U}}$ Și $M_{T}$ ${\ displaystyle M_ {T}}$ $M_T$ matricile reprezentative respective cu privire la trei baze ale spațiilor relative. Avem:

M_{U\circ T}=M_{U}M_{T}

{\ displaystyle M_ {U \ circ T} = M_ {U} M_ {T}}

{\ displaystyle M_ {U \ circ T} = M_ {U} M_ {T}}

adică matricea asociată cu compoziția este produsul matricilor asociate $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este la $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . ^[4]

Spus $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ bazele respectiv de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ avem:

[({U\circ T})(\mathbf {v} )]_{C}=M_{U}M_{T}[\mathbf {v} ]_{B}

{\ displaystyle [({U \ circ T}) (\ mathbf {v})] _ {C} = M_ {U} M_ {T} [\ mathbf {v}] _ {B}}

{\ displaystyle [({U \ circ T}) (\ mathbf {v})] _ {C} = M_ {U} M_ {T} [\ mathbf {v}] _ {B}}

Endomorfisme

Endomorfismul reprezentat de o matrice. Determinantul matricei este -1: aceasta implică faptul că endomorfismul este inversabil și inversează orientarea planului. Colțul orientat este de fapt trimis în colț cu orientare opusă.

În prezența unui endomorfism $T:V\to V$ ${\ displaystyle T: V \ to V}$ $T: V \ to V$ este firesc să alegeți aceeași bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ plecând și sosind. Este $B=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$ ${\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ ${\ displaystyle B = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})}$ acea bază și fii $M=(m_{ij})$ ${\ displaystyle M = (m_ {ij})}$ ${\ displaystyle M = (m_ {ij})}$ matricea asociată cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ decât baza $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Avem apoi: ^[3]

T(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}m_{ij}\mathbf {v} _{i}

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {ij} \ mathbf {v} _ {i}}

{\ displaystyle T (\ mathbf {v} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {ij} \ mathbf {v} _ {i}}

În special, $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este o matrice pătrată $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ .

Multe proprietăți ale endomorfismului pot fi citite prin matricea reprezentativă:

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este dacă și numai dacă identitate $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este matricea identică .
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este nula constant dacă și numai dacă funcția $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este matricea nulă .
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este de două mod , dacă și numai dacă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este inversabil , adică dacă are determinant $\det M$ ${\ displaystyle \ det M}$ ${\ displaystyle \ det M}$ non-zero.
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ păstrează orientarea spațiului dacă $\det M>0$ ${\ displaystyle \ det M> 0}$ ${\ displaystyle \ det M> 0}$ , în timp ce îl inversează dacă $\det M<0.$ ${\ displaystyle \ det M <0.}$ ${\ displaystyle \ det M <0.}$

Alte proprietăți mai complexe ale aplicațiilor liniare, cum ar fi diagonalizabilitatea , pot fi studiate mai ușor prin reprezentarea matricială.

Matrici similare

Același subiect în detaliu: Asemănarea între matrice .

Două matrice pătrate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt similare atunci când există o matrice inversabilă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât: ^[5] ^[6]

\ A=M^{-1}BM

{\ displaystyle \ A = M ^ {- 1} BM}

\ A = M ^ {{- 1}} BM

În special, matricea de identitate și matricea nulă sunt similare doar cu ele însele.

Matricile similare sunt de o importanță considerabilă, deoarece două matrice similare reprezintă același endomorfism față de două baze diferite. ^[7] Dacă $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ sunt două baze ale spațiului vectorial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , dat un endomorfism $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ avem:

[T]_{B}=M^{-1}[T]_{C}M\

{\ displaystyle [T] _ {B} = M ^ {- 1} [T] _ {C} M \}

{\ displaystyle [T] _ {B} = M ^ {- 1} [T] _ {C} M \}

Matricea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este matricea de schimbare a bazei de la bază $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ până la bază $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

Exemple

În plan cartezian, indicând cu $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ un punct generic, transformarea liniară $T(x,y)=(x,y)$ ${\ displaystyle T (x, y) = (x, y)}$ ${\ displaystyle T (x, y) = (x, y)}$ este reprezentată în raport cu orice bază de matricea identității de ordinul 2. O astfel de transformare este cunoscută și ca funcție de identitate .
În plan cartezian, fie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ reflectarea cu privire la bisectoarea cadranului I și III. Matrice asociate cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ folosind baza canonică și respectiv baza $B=((1,1),(1,-1))$ ${\ displaystyle B = ((1,1), (1, -1))}$ ${\ displaystyle B = ((1,1), (1, -1))}$ Sunt:

{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

În plan, rotația unui unghi wise în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii este liniară și definită de $x'=x\cos \theta -y\sin \theta$ ${\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta}$ Și $y'=x\sin \theta +y\cos \theta$ ${\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta}$ . În formă matricială se exprimă cu:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

În mod similar pentru o rotație în sensul acelor de ceasornic în jurul originii, funcția este definită de

x'=x\cos \theta +y\sin \theta

{\ displaystyle x '= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta}

{\ displaystyle x '= x \ cos \ theta + y \ sin \ theta}

Și

y'=-x\sin \theta +y\cos \theta

{\ displaystyle y '= - x \ sin \ theta + y \ cos \ theta}

{\ displaystyle y '= - x \ sin \ theta + y \ cos \ theta}

și sub formă de matrice corespunde transpunerii matricei anterioare, adică:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

Functia $T:\mathbb {R} ^{2}[x]\to \mathbb {R} ^{2}[x]$ ${\ displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {2} [x] \ to \ mathbb {R} ^ {2} [x]}$ ${\ displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {2} [x] \ to \ mathbb {R} ^ {2} [x]}$ din spațiul polinoamelor de grad cel mult două în sine, pe care le asociază cu un polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ derivatul său $T(p)=p'$ ${\ displaystyle T (p) = p '}$ ${\ displaystyle T (p) = p '}$ este liniar. Matricea asociată cu baza $B=(1,x,x^{2})$ ${\ displaystyle B = (1, x, x ^ {2})}$ ${\ displaystyle B = (1, x, x ^ {2})}$ Și:

{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Notă

^ S. Lang , pagina 106 .
^ Hoffman, Kunze , p. 87 .
^ ^a ^b Hoffman, Kunze , P. 88 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 90 .
^ S. Lang , pagina 115 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 94 .
^ Hoffman, Kunze , pagina 92 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Algebra liniară , ediția a II-a, Englewood Cliffs, NJ, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
F. Odetti, M. Raimondo, Elements of Linear Algebra and Analytical Geometry , ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe matricea de transformare

linkuri externe

( RO ) Pagina Matrix Exemple practice în POV-Ray
( RO ) Pagina de referință - Rotația axelor
( EN ) Calculator de transformare liniară , pe idomaths.com .
(EN) Applet de transformare - Generați matrici din transformări 2D și invers.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] S. Lang , pagina 106 .

[2] Hoffman, Kunze , p. 87 .

[end-3] Hoffman, Kunze , P. 88 .

[4] Hoffman, Kunze , pagina 90 .

[5] S. Lang , pagina 115 .

[6] Hoffman, Kunze , pagina 94 .

[7] Hoffman, Kunze , pagina 92 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]