În matematică , mai precis în algebră liniară , o transformare liniară , numită și aplicație liniară sau hartăliniară , este o funcțieliniară între două spații vectoriale pe același câmp, adică o funcție care păstrează operațiile de adunare a vectorilor și înmulțirea cu un scalar. Cu alte cuvinte, o transformare liniară păstrează combinații liniare. În limbajul algebrei abstracte , o transformare liniară este un omomorfism al spațiilor vectoriale, deoarece păstrează operațiile care caracterizează spațiile vectoriale.
Lasa-i sa fie {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} două spații vectoriale pe același câmp{\ displaystyle K.} O functie {\ displaystyle f \ colon V \ to W} este o transformare liniară dacă îndeplinește următoarele proprietăți: [1][2]
{\ displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {y}) = f (\ mathbf {x}) + f (\ mathbf {y}),}
{\ displaystyle f (a \ mathbf {x}) = af (\ mathbf {x}),}
pentru fiecare pereche de vectori {\ displaystyle \ mathbf {x}} Și {\ displaystyle \ mathbf {y}} în {\ displaystyle V} iar pentru fiecare urcare {\ displaystyle a} în {\ displaystyle K.} Prima proprietate se numește aditivitate , gradul al doilea omogenitate 1 .
pentru fiecare număr întreg pozitiv {\ displaystyle m} și orice alegere de transportatori {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {x} _ {m}} și scalari {\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}.}
De sine {\ displaystyle f \ colon V \ to W} este o aplicație liniară și {\ displaystyle \ mathbf {0} _ {V}} Și {\ displaystyle \ mathbf {0} _ {W}} sunt vectorii nul ai {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} respectiv, apoi: [3]
{\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} + \ mathbf {0} _ {V}) = f (\ mathbf {0} _ {V} ) + f (\ mathbf {0} _ {V}),}
și decolând {\ displaystyle f (\ mathbf {0} _ {V})} de la ambii membri se obține
Prin substituirea unei combinații liniare de vectori liniar dependenți la zero, se arată că o aplicație liniară non-trivială trimite subseturi liniar independente ale domeniului în subseturi liniar independente ale intervalului. [4]
O aplicație liniară este descrisă complet prin acțiunea sa asupra vectorilor oricărei baze a domeniului. [5] Deoarece scrierea unui vector într-o bază de date este unică, liniaritatea aplicației determină unicitatea vectorului de imagine.
O aplicație bijectivă liniară (sau inversabilă) este, de asemenea, un izomorfism între spațiile vectoriale. [6]
Existența și unicitatea aplicației liniare
Lasa-i sa fie {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} două spații vectoriale de dimensiune finită. Este {\ displaystyle B_ {V} = (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n})} o bază de {\ displaystyle V} și sunt {\ displaystyle \ mathbf {w} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {w} _ {n}} vectori ai {\ displaystyle W.} Apoi, există o singură aplicație liniară de la {\ displaystyle V} în {\ displaystyle W} astfel încât: [7]
Dacă forma explicită a aplicației nu este cunoscută, este încă posibil să se stabilească existența și unicitatea acesteia prin cunoașterea acțiunii aplicației asupra unui set de vectori de date {\ displaystyle \ {{\ mathbf {v}} _ {i} \}} , despre care imaginea este deci cunoscută. Dacă setul de vectori este o bază a domeniului, atunci aplicația este determinată în mod unic, în timp ce dacă vectorii dați nu constituie o bază există două cazuri:
Vectorii a căror imagine este cunoscută sunt liniar independenți: în acest caz aplicația există, dar nu este unică.
Vectorii a căror imagine este cunoscută sunt liniar dependenți: în acest caz unul sau mai mulți vectori sunt combinații liniare ale celorlalți. Avem:
Lasa-i sa fie {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} două spații vectoriale de dimensiune finită. Două baze alese {\ displaystyle B_ {V}} Și {\ displaystyle B_ {W}} pentru {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W,} orice transformare liniară din {\ displaystyle V} la {\ displaystyle W} poate fi reprezentat ca o matrice . Să ne întrebăm:
Fiecare transportator {\ displaystyle \ mathbf {v}} în {\ displaystyle V} este determinată în mod unic de coordonatele sale {\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {n},} definit astfel încât:
De aici și funcția {\ displaystyle f} este determinată de vectori {\ displaystyle f (\ mathbf {v} _ {1}), \ ldots, f (\ mathbf {v} _ {n})} . Fiecare dintre acestea se poate scrie ca:
Functia {\ displaystyle f} este deci în întregime determinată de valorile lui {\ displaystyle a_ {i, j},} care formează matricea asociată cu {\ displaystyle f} în baze {\ displaystyle B_ {V}} Și {\ displaystyle B_ {W}.}[8]
Matricea asociată {\ displaystyle A} este de tip {\ displaystyle m \ times n,} și poate fi ușor utilizat pentru a calcula imaginea {\ displaystyle f (\ mathbf {v})} din fiecare vector al {\ displaystyle V} datorită următorului raport:
unde este {\ displaystyle [\ mathbf {v}] _ {B_ {V}}} Și {\ displaystyle [\ mathbf {w}] _ {B_ {W}}} sunt coordonatele {\ displaystyle \ mathbf {v}} Și {\ displaystyle \ mathbf {w}} în bazele respective.
Se observă că alegerea bazelor este esențială: aceeași matrice, utilizată pe baze diferite, poate reprezenta aplicații liniare diferite.
Structura spațiului vectorial
Întregul {\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W)} de aplicații liniare din {\ displaystyle V} în {\ displaystyle W} este un subspatiu vectorial al spatiului vectorial de pe camp {\ displaystyle K} format din toate funcțiile din {\ displaystyle V} în {\ displaystyle W,} de fapt: [9]
de sine {\ displaystyle f \ colon V \ to W} Și {\ displaystyle g \ colon V \ to W} sunt liniari, deci suma lor este liniară {\ displaystyle f + g,} definit de relație
{\ displaystyle (f + g) (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v}) + g (\ mathbf {v});}
de sine {\ displaystyle f \ colon V \ to W} este liniar și {\ displaystyle a} este un element al câmpului {\ displaystyle K,} apoi funcția {\ displaystyle af,} definit de {\ displaystyle (af) (\ mathbf {v}) = a (f (\ mathbf {v})),} este, de asemenea, liniar.
În cazul dimensiunii finite, după fixarea unor baze, operațiile de adunare și produs ale unei funcții pentru un scalar de hărți liniare corespund, respectiv, cu suma matricilor și multiplicarea matricilor cu un scalar. Prin urmare, bazele definesc un izomorfism{\ displaystyle \ mathrm {Hom} (V, W) \ to M (n, m)} între spațiile vectoriale ale hărților și matricilor liniare {\ displaystyle n \ times m,} unde este {\ displaystyle m} Și {\ displaystyle n} sunt dimensiunile respectiv {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W.}
în timp ce imaginea de {\ displaystyle f} este întregul: [11]
{\ displaystyle \ operatorname {Im} (f) = \ {f (\ mathbf {x}) \ în W: \ mathbf {x} \ în V \}.}
Întregul {\ displaystyle \ mathrm {Ker} (f)} este un subspatiu al {\ displaystyle V} , in timp ce {\ displaystyle \ operatorname {Im} (f)} este un subspatiu al {\ displaystyle W} . De sine {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} au dimensiune finită, teorema dimensiunii afirmă că: [12]
{\ displaystyle \ dim (\ mathrm {Ker} (f)) + \ dim (\ operatorname {Im} (f)) = \ dim (V).}
Această teoremă oferă un criteriu necesar și suficient pentru a stabili existența unei transformări liniare.
Endomorfisme și automorfisme
O transformare liniară {\ displaystyle f \ colon V \ to V} este un endomorfism al {\ displaystyle V.} Ansamblul tuturor endomorfismelor {\ displaystyle {\ text {End}} (V)} împreună cu adunarea, compoziția și multiplicarea cu un scalar așa cum este descris mai sus formează o algebră asociativă cu unitate pe teren {\ displaystyle K} : în special formează un inel și un spațiu vectorial pe {\ displaystyle K.} Elementul identitar al acestei algebre este transformarea identității{\ displaystyle V.}
Un bijectiv endomorfism de {\ displaystyle V} se numește automorfism al {\ displaystyle V.} Compoziția a două automorfisme este din nou un automorfism și ansamblul tuturor automorfismelor lui {\ displaystyle V} formează un grup , grupul liniar general al {\ displaystyle V,} numit {\ displaystyle \ mathrm {Aut} (V)} sau {\ displaystyle \ mathrm {GL} (V).}
Dacă dimensiunea {\ displaystyle V} s-a terminat va fi suficient ca. {\ displaystyle f} este injectiv pentru a afirma că este și surjectiv (prin teorema dimensiunii ). Mai mult, izomorfism
{\ displaystyle {\ textrm {End}} (V) \ to M (n)}
între endomorfisme și matrici pătrate{\ displaystyle n \ times n} descris mai sus este un izomorfism al algebrelor. Grupul de automorfisme ale {\ displaystyle V} este izomorf pentru grupul liniar general{\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)} dintre toate matricile {\ displaystyle n \ times n} inversabil la valori în {\ displaystyle K.}
Tragerea înapoi a funcțiilor și aplicația transpusă
Lasa-i sa fie {\ displaystyle A,}{\ displaystyle B} Și {\ displaystyle C} setează și sunt {\ displaystyle F (A, C)} Și {\ displaystyle F (B, C)} familiile de funcții din {\ displaystyle A} în {\ displaystyle C} și din {\ displaystyle B} în {\ displaystyle C} respectiv. Fiecare {\ displaystyle \ phi \ colon A \ to B} determină în mod unic o potrivire {\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon F (B, C) \ to F (A, C)}retragere apel prin {\ displaystyle \ phi,} care trimite {\ displaystyle F} în{\ displaystyle F \ circ \ phi.}
Dacă sunt luate în considerare în mod specific {\ displaystyle A = V} Și {\ displaystyle B = W} două spații vectoriale pe un câmp{\ displaystyle K = C} și în loc să ia în întregime {\ displaystyle F (V, K)} Și {\ displaystyle F (W, K)} se consideră spații duale{\ displaystyle V ^ {*}} Și {\ displaystyle W ^ {*}} avem asta la fiecare transformare liniară {\ displaystyle \ phi \ colon V \ to W}restricția adecvată de retragere poate fi asociată {\ displaystyle \ phi} , aceasta este funcția {\ displaystyle \ phi ^ {*} \ colon W ^ {*} \ to V ^ {*}} care ia numele de transpunere a {\ displaystyle \ phi.}
Urmează direct din modul în care sunt definite operațiile {\ displaystyle V ^ {*}} Și {\ displaystyle W ^ {*}} acea {\ displaystyle \ phi ^ {*}} este în sine liniară. Cu un calcul simplu, se poate vedea că ați stabilit niște temelii{\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} și dualii lor respectivi în {\ displaystyle V ^ {*}} Și {\ displaystyle W ^ {*},}matricea de transformare asociată cu {\ displaystyle \ phi ^ {*}} este transpunerea celei de {\ displaystyle \ phi.}
Din definiție rezultă că un funcțional {\ displaystyle \ lambda \ în W ^ {*}} este trimis în zero de către {\ displaystyle \ phi ^ {*}} numai dacă imaginea de {\ displaystyle \ phi} este cuprins în nucleul{\ displaystyle \ lambda} adică denotând cu {\ displaystyle U ^ {\ perp}} subspațiul funcționalităților care anulează {\ displaystyle U \ subset W} , da {\ displaystyle \ mathrm {Ker} (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ Im \ phi) ^ {\ perp}} . Mai mult, din aceeași definiție se poate deduce că o funcționalitate{\ displaystyle \ mu \ în V ^ {*}} este imaginea unui funcțional {\ displaystyle \ eta \ în W ^ {*}} (asta inseamna {\ displaystyle \ mu = \ phi ^ {*} (\ eta)} doar dacă {\ displaystyle \ eta} anulează nucleul {\ displaystyle \ phi} , sau {\ displaystyle \ Im (\ phi ^ {*}) \ subseteq (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}} . În cazul în care {\ displaystyle V} Și {\ displaystyle W} sunt de dimensiune finită se deduce din teorema dimensiunii și din relații {\ displaystyle \ dim ~ V = \ mathrm {Ker} \ phi + (\ mathrm {Ker} \ phi) ^ {\ perp}} Și {\ displaystyle \ dim ~ W ^ {*} = \ dim ~ W = \ Im \ phi + (\ Im \ phi) ^ {\ perp}} că cele două incluziuni anterioare sunt de fapt egalități.
Exemple
Înmulțirea {\ displaystyle f (v) = av,} în orice spațiu vectorial de pe {\ displaystyle K,} pentru o constantă fixă {\ displaystyle a \ in K.}
O rotație a planului euclidian în raport cu originea unui unghi fix.
O reflectare a planului euclidian în raport cu o linie dreaptă care trece prin origine.
unde este {\ displaystyle Av} este produsul{\ displaystyle A} Și {\ displaystyle v.} Orice transformare liniară între spațiile vectoriale cu dimensiuni finite este în esență de acest tip: vezi secțiunea următoare.
Integrala unei funcții reale pe un interval definește o hartă liniară din spațiul vectorial al funcțiilor continue definite pe intervalul din spațiul vectorial{\ displaystyle \ mathbb {R}.}
Derivata definește o hartă liniară din spațiul vectorial al tuturor funcțiilor derivabile într-un interval deschis de {\ displaystyle \ mathbb {R}} în spațiul tuturor funcțiilor.
Spaţiu {\ displaystyle \ mathbb {C}} a numerelor complexe are o structură a spațiului vectorial complex de dimensiunea 1 și, de asemenea, a spațiului vectorial real de dimensiunea 2. Conjugarea
{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \ qquad f (z) = {\ bar {z}}}
este o hartă {\ displaystyle \ mathbb {R}} - liniar, dar nu {\ displaystyle \ mathbb {C}} -liniar: de fapt proprietatea de omogenitate este valabilă doar pentru scalarii reali.