Homomorfism

În algebra abstractă , un homomorfism este o aplicație între două structuri algebrice de același tip care păstrează operațiile definite în ele. Acest obiect, plasat în contextul mai abstract al teoriei categoriilor , ia numele de morfism .

De exemplu, luând în considerare seturi cu o singură operație binară (o magmă ), funcția $\varphi :\ A\ \to \ B$ ${\ displaystyle \ varphi: \ A \ \ to \ B}$ $\ varphi: \ A \ \ to \ B$ este un homomorfism dacă se menține

\varphi \left(u*v\right)=\varphi \left(u\right)\#\varphi \left(v\right)

{\ displaystyle \ varphi \ left (u * v \ right) = \ varphi \ left (u \ right) \ # \ varphi \ left (v \ right)}

\ varphi \ left (u * v \ right) = \ varphi \ left (u \ right) \ # \ varphi \ left (v \ right)

pentru fiecare cuplu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ de elemente ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , unde este $*\!\$ ${\ displaystyle * \! \}$ $* \! \$ Și $\#$ ${\ displaystyle \ #}$ $\ #$ sunt operațiile binare ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ respectiv.

Fiecare tip de structură algebrică are omomorfismele sale specifice:

Homomorfismul grupurilor
Homomorfismul inelelor
Aplicație liniară (homomorfism între spații vectoriale )
Homomorfismul algebrelor

Definiție

O definiție generală strictă a omomorfismului poate fi dată după cum urmează:

Lasa-i sa fie $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ două structuri algebrice de același tip. O functie $\phi :A\to B$ ${\ displaystyle \ phi: A \ to B}$ $\ phi: de la A la B$ este un omomorfism dacă, pentru fiecare operație $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (pe n elemente) a structurilor și pentru fiecare tuple n- $x_{1},\dots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}$ $x_1, \ dots, x_n$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ avem:

\phi (f_{A}(x_{1},\dots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\dots ,\phi (x_{n}))

{\ displaystyle \ phi (f_ {A} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})) = f_ {B} (\ phi (x_ {1}), \ dots, \ phi (x_ {n} ))}

\ phi (f_ {A} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})) = f_ {B} (\ phi (x_ {1}), \ dots, \ phi (x_ {n}))

unde este $f_{A}$ ${\ displaystyle f_ {A}}$ $face}$ Și $f_{B}$ ${\ displaystyle f_ {B}}$ $f_ {B}$ reprezintă operațiunea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în structuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ respectiv.

Clasificare

În algebră abstractă :

Orice omomorfism injectiv se numește monomorfism;
Orice omomorfism surjectiv se numește epimorfism;
Orice omomorfism bijectiv se numește izomorfism .

Dacă în special A și B coincid:

Orice omomorfism al lui A în sine este numit endomorfism al structurii A ;
Orice izomorfism al lui A în sine se numește automorfism al structurii A.

Rețineți că sunt date definiții mai slabe ale conceptelor de monomorfism și epimorfism în teoria categoriilor .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Homomorfism , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85061771 · GND (DE) 4160602-4

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică