Magma (matematică)
O magmă (sau grupidă ) este o mulțime M în care este definită o singură operație binară * care asociază elementul a * b fiecărei perechi de elemente a, b din M. Singura axiomă satisfăcută de operația dintr-o magmă este aceea a închiderii :
- pentru fiecare a, b aparținând lui M, elementul a * b aparține în continuare lui M
care, printre altele, ar putea fi lăsate deoparte în definiție, odată ce se stabilește că operația este o funcție de tipul M x M → M.
Magmele constituie o structură algebrică foarte simplă și generală , care are puține proprietăți; este util pentru combinarea structurilor dintr-o singură familie cu o singură operație binară.
Termenul de magmă a fost introdus în matematică de Bourbaki în volumul privind structurile algebrice împreună cu noțiunea legii compoziției interne . Termenul grupid este, de asemenea, utilizat pentru a defini această structură. Rețineți totuși că termenul grupid este mai frecvent utilizat cu un al doilea sens, pentru a desemna un alt tip de structură algebrică și o categorie.
Particularizări și mici îmbogățiri ale magmelor
- Quasigroup : magmă în care diviziunea este definită peste tot ( pătratul latin merge).
- Bucla : cvasigrup cu elemente de unitate .
- Semigrup : magmă cu operația asociativă .
- Monoid : semi-grup echipat cu un element unitar .
- Semigrup Abelian : semigrup cu operația comutativă .
- Monoid Abelian : monoid cu operația comutativă .
- Semireticolo : semigrup Abelian cu operația idempotentă .
- Grup : monoid în care fiecare element are un element invers , sau echivalent, un cvasigrup asociativ.
- Grup Abelian : grup cu operația comutativă .
Caracterizări posibile
O magmă ( S , *) se numește
- medial dacă îndeplinește identitatea xy * uz = xu * yz (asteriscurile „secundare” vor fi omise pentru a nu cântări notația: identitatea tocmai exprimată cu precizie ar fi ( x * y ) * ( u * z ) = ( x * u ) * ( y * z ) pentru fiecare x , y , u , z în S );
- jumătate media lăsată dacă satisface identitatea xx * yz = xy * xz ;
- semi-media pe dreapta dacă satisface identitatea yz * xx = yx * zx ;
- semimedial dacă este semimedial stânga și dreapta;
- stâng distributiv dacă satisface identitatea x * yz = xy * xz ;
- distributiv pe dreapta dacă satisface identitatea yz * x = yx * zx ;
- autodistribuitor dacă este distributiv la stânga și la dreapta;
- comutativ dacă satisface identitatea xy = yx ;
- idempotent dacă satisface identitatea xx = x ;
- unipotent dacă satisface identitatea xx = yy ;
- zeropotente dacă satisface identitatea xx * y = yy * x = xx ;
- alternativă dacă satisface identitățile xx * y = x * xy și x * yy = xy * y ;
- cu asociativitatea puterii dacă submagma generată de fiecare dintre elementele sale este asociativă;
- stâng cancelar dacă xy = xz implică y = z
- anulator în dreapta dacă yx = zx implică y = z
- anulator dacă stânga și dreapta anulator
- semigrup dacă satisface identitatea x * yz = xy * z ( asociativitate );
- semigrup cu zerouri în stânga dacă satisface identitatea x = xy ;
- semigrup cu zero la dreapta dacă satisface identitatea x = yx ;
- semigrup cu multiplicare zero dacă satisface identitatea xy = uv ;
- lăsat unar dacă satisface identitatea xy = xz ;
- unar în dreapta dacă satisface identitatea yx = zx ;
- trimediale dacă fiecare triadă a elementelor sale (nu neapărat distincte) generează o submagmă medială;
- entropic dacă este o imagine homomorfă a unei magme de anulare medială.
Magmă gratuită
O magmă liberă deasupra unui set X joacă rolul „celei mai mari magme posibile” generate de X ; de fapt, nici o relație sau axiomă nu este impusă generatoarelor; (vezi obiectul liber ). Poate fi descris în termeni cunoscuți în informatică , ca magmă din copaci binari saturați cu frunze etichetate cu elemente de X. Compoziția acestor obiecte este sudarea a doi copaci la o nouă rădăcină. Prin urmare, are un rol fundamental pentru sintaxă .
Traduceri
Fiecărui element a dintr-o magmă ( X , *) i se asociază două funcții finale în cadrul lui X , traducerea la stânga lui a , o funcție care se asociază cu fiecare x de la X la * x și traducerea la dreapta lui a , a funcție care la fiecare x din X asociază x * a .
Aceste funcții finale se referă la noțiunea de traduceri în algebră.
Dacă magma este un grup, traducerile spre stânga și traducerile spre dreapta sunt permutări ale grupului în sine. Deosebit de interesante sunt traducerile referitoare la diferite grupuri de permutări.
Cele două traduceri asociate cu un element a coincid pentru fiecare a în cazul unei magme abeliene și pentru fiecare a aparținând centrului unui grup în cazul unui grup generic.
Noțiunea de traducere în geometrie poate fi urmărită înapoi la noțiunea algebrică definită mai sus în cazul unui spațiu vectorial considerat drept suportul unui grup abelian legat de operația de adunare binară.
Noțiunea algebrică de translație aplicată grupului (abelian) de rotații plane duce la rotațiile circumferinței care reprezintă acest grup.
Bibliografie
- Levy Bruhl: Introducere aux Structures Algebriques , Dunod
