Ștergerea proprietății

În algebră , se numesc următoarele proprietăți de anulare sau simplificare : fie $\left(G;\star \right)$ ${\ displaystyle \ left (G; \ star \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (G; \ star \ right)}$ un grup ; apoi am luat trei elemente $a,b,c\in G$ ${\ displaystyle a, b, c \ în G}$ ${\ displaystyle a, b, c \ în G}$ implicațiile sunt valabile

$a\star b=a\star c\implies b=c$ ${\ displaystyle a \ star b = a \ star c \ implică b = c}$ ${\ displaystyle a \ star b = a \ star c \ implică b = c}$ ( anulare în stânga )
$a\star b=c\star b\implies a=c$ ${\ displaystyle a \ star b = c \ star b \ implică a = c}$ ${\ displaystyle a \ star b = c \ star b \ implică a = c}$ ( ștergere în dreapta )

Cele două proprietăți sunt echivalente dacă $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup abelian .

Pentru a demonstra această proprietate este suficient să se țină cont de proprietatea asociativă, de faptul că într-un grup fiecare element are un element invers și că elementul neutru există. De exemplu, pentru a demonstra legea de anulare stânga este suficient să observăm că dacă $a\star b=a\star c$ ${\ displaystyle a \ star b = a \ star c}$ ${\ displaystyle a \ star b = a \ star c}$ asa de

b=e\star b=(a^{-1}\star a)\star b=a^{-1}\star (a\star b)=a^{-1}\star (a\star c)=(a^{-1}\star a)\star c=e\star c=c,

{\ displaystyle b = e \ star b = (a ^ {- 1} \ star a) \ star b = a ^ {- 1} \ star (a \ star b) = a ^ {- 1} \ star (a \ star c) = (a ^ {- 1} \ star a) \ star c = e \ star c = c,}

{\ displaystyle b = e \ star b = (a ^ {- 1} \ star a) \ star b = a ^ {- 1} \ star (a \ star b) = a ^ {- 1} \ star (a \ star c) = (a ^ {- 1} \ star a) \ star c = e \ star c = c,}

unde am indicat cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ elementul neutru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Legea de anulare a dreptului este dovedită într-un mod foarte similar.

Este important să rețineți că proprietățile de ștergere pot deține și seturi care nu sunt grupuri și, prin urmare, validitatea proprietăților de ștergere într-un set $\left(S;\star \right)$ ${\ displaystyle \ left (S; \ star \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (S; \ star \ right)}$ nu este în general o condiție suficientă pentru a stabili că $\left(S;\star \right)$ ${\ displaystyle \ left (S; \ star \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (S; \ star \ right)}$ este grup.

O magmă în care proprietatea de anulare din stânga (respectiv în dreapta) se menține se numește anulatoare în stânga (respectiv în dreapta ). Un cvasigrup este întotdeauna anulator.

Exemple

Numerele naturale formează un monoid cancelar în ceea ce privește adunarea .
Setul de matrice pătrate cu produsul nu satisface această proprietate: dacă $AB=AC$ ${\ displaystyle AB = AC}$ ${\ displaystyle AB = AC}$ Și $A\neq 0$ ${\ displaystyle A \ neq 0}$ ${\ displaystyle A \ neq 0}$ , atunci anularea este valabilă numai dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabil . Dacă în schimb $\det(A)=0$ ${\ displaystyle \ det (A) = 0}$ ${\ displaystyle \ det (A) = 0}$ , apoi ecuația matricei $AX=B$ ${\ displaystyle AX = B}$ $AX = B$ nu are o singură soluție.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică