Element invers

În matematică , și mai ales în algebră abstractă , dat un grup $(G,\cdot )$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ și unul dintre elementele sale $g,$ ${\ displaystyle g,}$ ${\ displaystyle g,}$ este definit ca elementul invers (sau pur și simplu invers ) al $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ un element $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ aparținând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ astfel încât:

g\cdot h=h\cdot g=1_{G},

{\ displaystyle g \ cdot h = h \ cdot g = 1_ {G},}

{\ displaystyle g \ cdot h = h \ cdot g = 1_ {G},}

unde este $1_{G}$ ${\ displaystyle 1_ {G}}$ ${\ displaystyle 1_ {G}}$ indică elementul neutru al grupului.

Elementul invers al unui element dat $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este unic, de fapt, dacă am avea două invers $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ Și $h^{*}$ ${\ displaystyle h ^ {*}}$ ${\ displaystyle h ^ {*}}$ pentru $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , am avea asta $h^{*}=1_{G}\cdot h^{*}=(h\cdot g)\cdot h^{*}=h\cdot (g\cdot h^{*})=h\cdot 1_{G}=h$ ${\ displaystyle h ^ {*} = 1_ {G} \ cdot h ^ {*} = (h \ cdot g) \ cdot h ^ {*} = h \ cdot (g \ cdot h ^ {*}) = h \ cdot 1_ {G} = h}$ ${\ displaystyle h ^ {*} = 1_ {G} \ cdot h ^ {*} = (h \ cdot g) \ cdot h ^ {*} = h \ cdot (g \ cdot h ^ {*}) = h \ cdot 1_ {G} = h}$ . Mai mult, din definiție rezultă imediat că dacă $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este inversul $g,$ ${\ displaystyle g,}$ ${\ displaystyle g,}$ asa de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este inversul $h .$ ${\ displaystyle h.}$ ${\ displaystyle h.}$

În notație aditivă, având în vedere grupul $(G,+)$ ${\ displaystyle (G, +)}$ ${\ displaystyle (G, +)}$ elementul invers asociat cu $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este indicat cu $-g$ ${\ displaystyle -g}$ ${\ displaystyle -g}$ și se numește de obicei opus . În notația multiplicativă, în cazul grupurilor numerice, elementul invers este, de asemenea, notat ca reciproc și este indicat de $g^{-1}.$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1}.}$

Opus unui număr

Același subiect în detaliu: Opus (matematică) .

În seturile numerice considerate cu adunare, opusul nu există dacă setul considerat nu conține numere negative. De exemplu, nu există în $\mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ .
În formule, dat un număr $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ e opusul $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ este acel număr astfel încât:

x+x'=0.

{\ displaystyle x + x '= 0.}

{\ displaystyle x + x '= 0.}

Opusul unui număr are întotdeauna semnul opus celui al numărului însuși: opusul unui număr negativ este un număr pozitiv și invers. Opusul zero este zero în sine.

Reciprocul unui număr

Același subiect în detaliu: reciproc .

Reciprocul sau inversul unui număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este numărul care, atunci când este înmulțit cu $X,$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle x,}$ dă 1 . Se notează cu $1/x$ ${\ displaystyle 1 / x}$ $1 / x$ sau cu $x^{-1}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle x ^ {- 1}}$ :

x\cdot x^{-1}=x\cdot {\frac {1}{x}}=1.

{\ displaystyle x \ cdot x ^ {- 1} = x \ cdot {\ frac {1} {x}} = 1.}

{\ displaystyle x \ cdot x ^ {- 1} = x \ cdot {\ frac {1} {x}} = 1.}

Reciprocitatea zero nu există.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică