Opus (matematică)

În matematică , opusul unui număr $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este numărul la care, dacă este adăugat la $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , returnează zero . Acest lucru este, de asemenea, cunoscut sub numele de schimbarea semnelor , inversul aditiv și negația . ^[1] Pentru un număr real constă într-o schimbare de semn: opusul unui număr pozitiv este negativ în timp ce opusul unui număr negativ este pozitiv. Numărul zero este opusul lui însuși.

Opusul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este indicat de operația unară minus : $-a$ ${\ displaystyle -a}$ $-la$ . De exemplu opusul lui $7$ ${\ displaystyle 7}$ $7$ Și $-7$ ${\ displaystyle -7}$ $-7$ atâta timp cât $7+(-7)=0$ ${\ displaystyle 7 + (- 7) = 0}$ $7 + (- 7) = 0$ , în timp ce opusul lui $-0,3$ ${\ displaystyle -0.3}$ $-0,3$ Și $0,3$ ${\ displaystyle 0,3}$ $0,3$ atâta timp cât $-0,3+0,3=0$ ${\ displaystyle -0,3 + 0,3 = 0}$ $-0,3 + 0,3 = 0$ .

Opusul este definit ca propriul său element invers în operația de adunare binară , care permite o generalizare mai largă a obiectelor matematice, altele decât numerele. În ceea ce privește toate operațiile inverse, dacă este aplicată de două ori, are o funcție de identitate : $-(-x)=x$ ${\ displaystyle - (- x) = x}$ $- (- x) = x$ .

Aceste numere complexe, două dintre cele opt valori ale

{\sqrt[{8}]{1}}

{\ displaystyle {\ sqrt [{8}] {1}}}

\ sqrt [8] {1}

, sunt reciproc opuse

Exemple comune

Pentru un număr și, mai general, în orice inel , opusul poate fi calculat prin înmulțirea cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ ; intr-adevar $-n=-1\times n$ ${\ displaystyle -n = -1 \ ori n}$ $-n = -1 \ ori n$ . Exemple de inele numerice sunt numere întregi , numere raționale , numere reale și numere complexe .

Relațiile cu scăderea

Opusul este strâns legat de scădere , care poate fi văzută ca o adăugare a opusului:

a-b=a+(-b)

{\ displaystyle ab = a + (- b)}

a-b = a + (- b)

În mod similar, opusul poate fi considerat o scădere de la zero:

-a=0-a

{\ displaystyle -a = 0-a}

-a = 0-a

Astfel semnul minus poate fi văzut ca o abreviere pentru scăderea cu omiterea lui 0, deși din punct de vedere tipografic nu ar trebui să existe spațiu după „-” operației unare.

Alte proprietăți

În plus față de identitățile enumerate mai sus, operația opusă are următoarele proprietăți algebrice

-(a+b)=(-a)+(-b)

{\ displaystyle - (a + b) = (- a) + (- b)}

- (a + b) = (- a) + (- b)

a-(-b)=a+b

{\ displaystyle a - (- b) = a + b}

a - (- b) = a + b

(-a)\times b=a\times (-b)=-(a*b)

{\ displaystyle (-a) \ times b = a \ times (-b) = - (a * b)}

(-a) \ times b = a \ times (-b) = - (a * b)

(-a)\times (-b)=a\times b

{\ displaystyle (-a) \ times (-b) = a \ times b}

(-a) \ times (-b) = a \ times b

(-a)^{2}=a^{2}

{\ displaystyle (-a) ^ {2} = a ^ {2}}

(-a) ^ 2 = a ^ 2

Definiție formală

Notarea + este rezervată în mod normal pentru operații binare comutative, de ex. $x+y=y+x$ ${\ displaystyle x + y = y + x}$ $x + y = y + x$ . Dacă o astfel de operație admite un element neutru $sau$ ${\ displaystyle o}$ $sau$ (astfel încât $x+o=o+x=x$ ${\ displaystyle x + o = o + x = x}$ $x + o = o + x = x$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) atunci acest element este unic ( $o'=o'+o=o$ ${\ displaystyle o '= o' + o = o}$ $o '= o' + o = o$ ). Pentru un dat $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , dacă există $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ astfel încât $x+x'=x'+x=o$ ${\ displaystyle x + x '= x' + x = o}$ $x + x '= x' + x = o$ asa de $X^{'}$ ${\ displaystyle x '}$ $X '$ se numește opus de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Dacă + este asociativ ( $(x+y)+z=x+(y+z)$ ${\ displaystyle (x + y) + z = x + (y + z)}$ $(x + y) + z = x + (y + z)$ ) atunci opusul este unic:

x''=x''+o=x''+(x+x')=(x''+x)+x'=o+x'=x'

{\ displaystyle x '' = x '' + o = x '' + (x + x ') = (x' '+ x) + x' = o + x '= x'}

x '' = x '' + o = x '' + (x + x ') = (x' '+ x) + x' = o + x '= x'

De exemplu, deoarece adunarea numerelor reale este asociativă, fiecare număr real are unul și doar unul opus.

Alte exemple

Toate exemplele ulterioare sunt grupuri abeliene

numere complexe: $-(a+bi)=-a+(-b)i$ ${\ displaystyle - (a + bi) = - a + (- b) i}$ $- (a + bi) = - a + (- b) i$ . Pe planul complex această operație produce o rotație de 180 ° în jurul originii.
adăugarea funcțiilor reale și complexe: opusul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $-f$ ${\ displaystyle -f}$ $-f$ definit ca $(-f)(x)=-f(x)$ ${\ displaystyle (-f) (x) = - f (x)}$ $(-f) (x) = - f (x)$ astfel încât $f+(-f)=o$ ${\ displaystyle f + (- f) = o}$ $f + (- f) = o$ .
mai general, precedentul se aplică tuturor funcțiilor cu valori dintr-un grup abelian („zero” identifică, prin urmare, elementul de identitate al acestui grup).
Într-un spațiu vectorial corespunde multiplicării scalare cu $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$

Nu exemple

Numerele naturale, cardinale și ordinale nu au opusul în cadrul seturilor lor relative. De exemplu, se poate spune că un număr natural are opusul său, dar acesta nu va fi un număr natural.

Notă

^ Termenul „negație” poate sugera un număr negativ, care este înșelător, deoarece opusul unui număr negativ este pozitiv.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Termenul „negație” poate sugera un număr negativ, care este înșelător, deoarece opusul unui număr negativ este pozitiv.

[1]