Rădăcina unității

În matematică , rădăcinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zimi ale unității sunt toate numerele ( reale sau complexe ) ale căror $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -a puterea este egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , sau soluțiile ecuației:

x^{n}=1.

{\ displaystyle x ^ {n} = 1.}

x ^ {n} = 1.

Radacinile

În domeniul complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ pentru fiecare număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ există exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zimi ale unității și sunt în formă

A treia rădăcină a unității, dispusă la vârfurile unui triunghi

r_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}}=e^{2\pi ik/n}\;

{\ displaystyle r_ {k} = \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} + i \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} = e ^ {2 \ pi ik / n } \;}

r_ {k} = \ cos {\ frac {2 \ pi k} {n}} + i \ sin {\ frac {2 \ pi k} {n}} = e ^ {{2 \ pi ik / n}} \;

unde ultima egalitate provine din formula lui Euler , cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ întreg , $0\leq k\leq n-1$ ${\ displaystyle 0 \ leq k \ leq n-1}$ $0 \ leq k \ leq n-1$ .

Acestea sunt dispuse în planul complex de -a lungul circumferinței unității , la vârfurile unui poligon regulat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturi care are un vârf în $(1,0)$ ${\ displaystyle (1,0)}$ $(1,0)$ .

Dintre aceste rădăcini, singurele reale sunt r ₀ = 1 și, dacă $n=2k$ ${\ displaystyle n = 2k}$ $n = 2k$ (adică este par) r _k = -1 .

Pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ansamblul rădăcinilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din unitate, cu operația dată de înmulțirea obișnuită pe complexe, formează un grup ciclic .

Sunt numite rădăcini primitive $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth de unitate toate acele rădăcini care generează grupul de rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din unitate. Este ușor să demonstrezi că rădăcinile sunt primitive $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zeci de unitate sunt acele rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zeci de unitate astfel încât:

\forall m<n~:~r^{m}\neq 1\ \

{\ displaystyle \ forall m <n ~: ~ r ^ {m} \ neq 1 \ \}

\ forall m <n ~: ~ r ^ {m} \ neq 1 \ \

.

Numărul rădăcinilor a n-a primitive ale unității este egal cu numărul $\phi (n)$ ${\ displaystyle \ phi (n)}$ $\ phi (n)$ de numere întregi mai mici de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și acoperă-mă cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Aici $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este funcția lui Euler φ .

Rădăcinile oricărui număr complex

Radacinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea dintr-un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ele pot fi descrise mai ușor prin reprezentarea numărului complex sub formă polară

z=|z|e^{i\phi }=|z|\left(\cos \phi +i\sin \phi \right).

{\ displaystyle z = | z | e ^ {i \ phi} = | z | \ left (\ cos \ phi + i \ sin \ phi \ right).}

z = | z | e ^ {{i \ phi}} = | z | \ left (\ cos \ phi + i \ sin \ phi \ right).

De sine $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este diferit de zero, rădăcinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt de fapt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini distincte. Una dintre acestea este următoarea

w_{0}={\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}.

{\ displaystyle w_ {0} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} e ^ {\ frac {i \ phi} {n}}.}

w_ {0} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} e ^ {{{\ frac {i \ phi} n}}}.

Intr-adevar

w_{0}^{n}=\left({\sqrt[{n}]{|z|}}e^{\frac {i\phi }{n}}\right)^{n}=|z|e^{\frac {ni\phi }{n}}=|z|e^{i\phi }.

{\ displaystyle w_ {0} ^ {n} = \ left ({\ sqrt [{n}] {| z |}} e ^ {\ frac {i \ phi} {n}} \ right) ^ {n} = | z | e ^ {\ frac {ni \ phi} {n}} = | z | e ^ {i \ phi}.}

w_ {0} ^ {n} = \ left ({\ sqrt [{n}] {| z |}} e ^ {{{\ frac {i \ phi} n}}} \ right) ^ {n} = | z | e ^ {{{\ frac {ni \ phi} n}}} = | z | e ^ {{i \ phi}}.

Mai general, $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $w_{0},\ldots ,w_{n-1}$ ${\ displaystyle w_ {0}, \ ldots, w_ {n-1}}$ $w_ {0}, \ ldots, w _ {{n-1}}$ din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ se obțin prin multiplicare $w_{0}$ ${\ displaystyle w_ {0}}$ $w_ {0}$ cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini de unitate. Prin urmare

w_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)

{\ displaystyle w_ {k} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ phi} {n}} + {\ frac {2 \ pi k } {n}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ phi} {n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) \ right)}

w_ {k} = {\ sqrt [{n}] {| z |}} \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ phi} {n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n }} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ phi} {n}} + {\ frac {2 \ pi k} {n}} \ right) \ right)

Aceste rădăcini formează întotdeauna vârfurile unui poligon regulat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturile centrate în origine. Raza poligonului este ${\sqrt[{n}]{|z|}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {| z |}}}$ ${\ sqrt [{n}] {| z |}}$ .

Exemple

A patra rădăcină a unui număr real pozitiv $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ sunt obținute prin înmulțirea celei de-a patra rădăcini reale a $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pentru cele patru rădăcini ale unității. Cele patru patra rădăcini ale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ acestea sunt, prin urmare:

{\sqrt[{4}]{a}},i{\sqrt[{4}]{a}},-{\sqrt[{4}]{a}},-i{\sqrt[{4}]{a}}.

{\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {a}}, i {\ sqrt [{4}] {a}}, - {\ sqrt [{4}] {a}}, - i {\ sqrt [ {4}] {a}}.}

{\ sqrt [{4}] a}, i {\ sqrt [{4}] a}, - {\ sqrt [{4}] a}, - i {\ sqrt [{4}] a}.

Radacinile $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -ths din -1 formează în planul complex un poligon regulat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturi, centrate în origine: acest lucru poate fi obținut prin rotirea cu $\pi /n$ ${\ displaystyle \ pi / n}$ $\ pi / n$ în sens invers acelor de ceasornic poligonul format de rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din unitate. Numarul $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ este vârful poligonului atunci când $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ e ciudat.