Polinom ciclotomic

În matematică , $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -al polinom ciclotomic este polinomul monic ale cărui rădăcini sunt toate și numai primitive n -a rădăcinile unității

\Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}\left(z-z_{k}\right),

{\ displaystyle \ Phi _ {n} (z) = \ prod _ {k = 1} ^ {\ varphi (n)} \ left (z-z_ {k} \ right),}

\ Phi_n (z) = \ prod_ {k = 1} ^ {\ varphi (n)} \ left (z - z_k \ right),

unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este funcția lui Euler φ și $z_{k}$ ${\ displaystyle z_ {k}}$ $z_ {k}$ sunt acele numere distincte pentru care deține

{\begin{aligned}z_{k}^{n}&=1\\z_{k}^{m}&\neq 1\quad \forall \,m<n.\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} z_ {k} ^ {n} & = 1 \\ z_ {k} ^ {m} & \ neq 1 \ quad \ forall \, m <n. \ end {align}} }

\ begin {align} z_k ^ n & = 1 \\ z_k ^ m & \ neq 1 \ quad \ forall \, m <n. \ end {align}

Formula generală

Polinomul $z^{n}-1$ ${\ displaystyle z ^ {n} -1}$ $z ^ n - 1$ are toate rădăcinile ca rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea, primitivă și neprimitivă, a unității. Fiecare dintre aceste rădăcini este o rădăcină $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ -al primitiv, unde $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este un divizor pozitiv al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Prin urmare, polinomul poate fi descompus în produsul polinoamelor ciclotomice:

z^{n}-1=\prod _{d\mid n}\Phi _{d}(z).

{\ displaystyle z ^ {n} -1 = \ prod _ {d \ mid n} \ Phi _ {d} (z).}

z ^ n - 1 = \ prod_ {d \ mid n} \ Phi_d (z).

Se obține aplicarea formulei de inversare Möbius

\Phi _{n}(z)=\prod _{d\mid n}(z^{n/d}-1)^{\mu (d)}=\prod _{d\mid n}(z^{d}-1)^{\mu (n/d)},

{\ displaystyle \ Phi _ {n} (z) = \ prod _ {d \ mid n} (z ^ {n / d} -1) ^ {\ mu (d)} = \ prod _ {d \ mid n } (z ^ {d} -1) ^ {\ mu (n / d)},}

\ Phi_n (z) = \ prod_ {d \ mid n} (z ^ {n / d} -1) ^ {\ mu (d)} = \ prod_ {d \ mid n} (z ^ {d} -1 ) ^ {\ mu (n / d)},

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este funcția Möbius .

Proprietate

Fiecare polinom ciclotomic are coeficienți întregi și este ireductibil pe câmpul numerelor raționale , adică nu este posibil să-l descompunem ca produs al polinoamelor cu coeficienți raționali.

De sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim , polinomul ciclotomic este format din suma tuturor puterilor lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ de la catre $p-1$ ${\ displaystyle p-1}$ $p - 1$ :

\Phi _{p}(z)=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}

{\ displaystyle \ Phi _ {p} (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {p-1} z ^ {k}}

\ Phi_p (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {p - 1} z ^ k

.

Prin evaluarea expresiei de mai sus pentru orice număr natural $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ , $\Phi _{p}(n)$ ${\ displaystyle \ Phi _ {p} (n)}$ $\ Phi_p (n)$ este un repunit bazat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ; rezultă că dacă o repunitate este un număr prim, atunci lungimea sa în cifre este un număr prim. În general, valorile asumate de polinoamele ciclotomice pe numere întregi sunt supuse multor alte limitări; de exemplu, dacă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este prim și $d\mid \Phi _{p}$ ${\ displaystyle d \ mid \ Phi _ {p}}$ $d \ mid \ Phi_p$ , asa de $d\equiv 1\mod p$ ${\ displaystyle d \ equiv 1 \ mod p}$ $d \ equiv 1 \ mod p$ sau $d\equiv 0\mod p$ ${\ displaystyle d \ equiv 0 \ mod p}$ $d \ equiv 0 \ mod p$ .

Lista polinoamelor ciclotomice

Primele polinoame ciclotomice sunt:

{\begin{aligned}\Phi _{1}(z)&=z-1\\\Phi _{2}(z)&=z+1\\\Phi _{3}(z)&=z^{2}+z+1\\\Phi _{4}(z)&=z^{2}+1\\\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{6}(z)&=z^{2}-z+1\\\Phi _{7}(z)&=z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\\Phi _{8}(z)&=z^{4}+1\\\Phi _{9}(z)&=z^{6}+z^{3}+1\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Phi _ {1} (z) & = z-1 \\\ Phi _ {2} (z) & = z + 1 \\\ Phi _ {3} (z) & = z ^ {2} + z + 1 \\\ Phi _ {4} (z) & = z ^ {2} +1 \\\ Phi _ {5} (z) & = z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1 \\\ Phi _ {6} (z) & = z ^ {2} -z + 1 \\\ Phi _ {7} (z) & = z ^ {6} + z ^ {5} + z ^ {4} + z ^ {3} + z ^ {2} + z + 1 \\\ Phi _ {8} (z) & = z ^ {4 } +1 \\\ Phi _ {9} (z) & = z ^ {6} + z ^ {3} +1 \ end {align}}}

\ begin {align} \ Phi_1 (z) & = z - 1 \\ \ Phi_2 (z) & = z + 1 \\ \ Phi_3 (z) & = z ^ 2 + z + 1 \\ \ Phi_4 (z) & = z ^ 2 + 1 \\ \ Phi_5 (z) & = z ^ 4 + z ^ 3 + z ^ 2 + z + 1 \\ \ Phi_6 (z) & = z ^ 2-z + 1 \\ \ Phi_7 (z) & = z ^ 6 + z ^ 5 + z ^ 4 + z ^ 3 + z ^ 2 + z + 1 \\ \ Phi_8 (z) & = z ^ 4 + 1 \\ \ Phi_9 (z) & = z ^ 6 + z ^ 3 + 1 \ end {align}

A fost demonstrat de AS Bang și A. Migotti ^[1] că dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ atunci are doar unul sau doi factori primi impari distincti $\Phi _{n}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {n}}$ $\ Phi_ {n}$ are numai coeficienți între $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , Și $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ ^[2] . Primul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ a nu satisface aceste ipoteze este $105=3\cdot 5\cdot 7$ ${\ displaystyle 105 = 3 \ cdot 5 \ cdot 7}$ $105 = 3 \ cdot 5 \ cdot 7$ , și de calcul $\Phi _{105}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {105}}$ $\ Phi_ {105}$ observăm că a $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ . Conversa nu se aplică: $\Phi _{651}(z)$ ${\ displaystyle \ Phi _ {651} (z)}$ $\ Phi_ {651} (z)$ = $\Phi _{3\cdot 7\cdot 31}(z)$ ${\ displaystyle \ Phi _ {3 \ cdot 7 \ cdot 31} (z)}$ $\ Phi_ {3 \ cdot 7 \ cdot 31} (z)$ are doar coeficienți în $\{1,-1,0\}$ ${\ displaystyle \ {1, -1,0 \}}$ $\ {1, -1, 0 \}$ dar $651$ ${\ displaystyle 651}$ $651$ este produsul a trei prime impare distincte.